【正文】 BM,∵ AM2=32+12=10, ∴ AN=5,∴ DN=52=3. 設(shè) ME=x,則 NE=NMME=5x, ∵ AN∥ BC, ∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 x=? . 1212132132DNCM NEME 315 xx? 54經(jīng)檢驗 ,x=? 是原分式方程的解 .∴ ME=? . 54 54。AN≤ ? , ∴ 當 BM=2時 ,BMAM=? AM2. 在 Rt△ AMB中 ,有 AM2=AB2+BM2=9+BM2, ∴ BM,∠ MAN=∠ AMB, ∴ △ NAH∽ △ AMB, ∴ ? =? , 12ANAM AHBM∴ BMAN的最大值 。的周長就是所求的周長的最小值 . 在 Rt△ ABN中 , ∵ AB=4,BN=2BM=2AB=8, ∴ AN=? =4? . ∴ △ ABE周長的最小值為 AB+AN=4+4? . 22AB BN? 556.(2022福州質(zhì)檢 ,26)如圖所示 ,矩形 ABCD中 ,AB=3,BC=2,點 M在 BC邊上 ,連接 AM,作 ∠ AMN=∠ AMB,點 N在直線 AD上 ,MN交 CD邊于點 E. (1)求證 :△ AMN是等腰三角形 。+AE39。+AE39。,連接 BE39。, ∴∠ BAD=∠ MAE, 22 2 2AHAG AEAD2 2在等腰直角△ BAM和等腰直角△ DAE中 , AM=? AB,AE=? AD. ∴ ? =? . ∴ △ ABD∽ △ AME. ∴∠ AME=∠ ABD=45176。,∠ AMC=45176。,∠ AMB=∠ BAM=45176。. ∵ H為 BC中點 ,∴ AH⊥ BC. ∴∠ BAH=45176。 (2)如圖 3,連接 BE,直接寫出當 BD為何值時 ,△ ABE是等腰三角形 。,AB=AC=4,D是 BC上一個動點 ,連接 AD,以 AD為邊向右側(cè)作等腰直角△ ADE,其中 ∠ ADE=90176。AC,∴ x(8x)=4BE2,∴ AC2=16BE2=4x(8x). 由勾股定理得 AC2=x2+(8x)2, ∴ 4x(8x)=x2+(8x)2,解得 x=4177。, ∴ OB=2BE,∴ AC=2OB=4BE, 設(shè) AB=x,則 BC=8x.∵ AB,∴∠ ACB=∠ DCB∠ DCA=15176。,∴ 點 D與點 B在圓 O上 ,∵ BD平分 ∠ ABC,∴ AD=CD,∴∠ DCA=45176。,BD平分 ∠ ABC,∠ DCB=60176。DE=? AD,AC=6,BC=8,AD平分 ∠ BAC,則點 B到 AD的距離 是 ? ( ) ? D.? 5 1 2 1 31322AC CD? 512 125 5答案 C 過點 D作 DE⊥ AB于 E,設(shè) CD=x,∵ AD平分 ∠ BAC,∠ C=90176。2α,∴∠ BAD=∠ BAC∠ CAD=2β=2∠ CDE,即 ∠ CDE=? ∠ BAD,C正確 。設(shè) ∠ B=∠ C=α,∠ CDE=β,則 ∠ AED=α+β,∴∠ CAD=180176。D=5, ∴ AB=AD+ED+BE=3+5+4=12. ∵ AC2+BC2=AB2, ∴ 2BC2=AB2, ∴ BC=? =? =6? . 故選 C. 22AB 212222.(2022寧德質(zhì)檢 ,10)如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,點 D,E分別在邊 BC和 AC上 ,若 AD=AE,則下列結(jié) 論錯誤的是 ? ( ) ? A.∠ ADB=∠ ACB+∠ CAD B.∠ ADE=∠ AED C.∠ CDE=? ∠ BAD D.∠ AED=2∠ ECD 12答案 D 由三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和 ,可知 A正確 。C=EC,DC=DC, ∴ △ E39。, ∴∠ E39。45176。CD=∠ E39。AE AD? 2243?∵∠ DCE=45176。, ∴ DE39。AD=∠ E39。,AE39。CA≌ △ ECB, ∴∠ E39。CE∠ ACE=∠ ACB∠ ACE, 即 ∠ E39。,∠ E39。. ∵∠ ACB=90176。=CE,∠ E39。,DE39。,點 E旋轉(zhuǎn)到點 E39。,AC=BC,∠ DCE=45176。,BC=1,AC= B為圓心 ,BC長為半徑畫弧 交 AB于點 D,以點 A為圓心 ,AD長為半徑畫弧 ,交 AC于點 E,保留作圖痕跡 ,并求 ? 的值 . ? AEAC解析 如圖所示 . ? ∵ 在 Rt△ ABC中 ,BC=1,AC=2, ∴ AB=? =? . 由作圖知 BD=BC,AE=AD. ∵ BC=1,∴ AE=AD=? 1.∴ ? =? . 2212? 55AEAC 512?B組 2022— 2022年模擬 =90176。, ∴∠ CDB=∠ ADC∠ ADB=150176。,∴ △ ABD是等邊三角形 , ∴ BD=AD=3,∠ ADB=60176。,∠ D=150176。=∠ A.∴ AC=CD. 7.(2022泉州質(zhì)檢 ,19)如圖 ,在銳角△ ABC中 ,AB=2 cm,AC=3 cm. (1)尺規(guī)作圖 :作 BC邊的垂直平分線分別交 AC,BC于點 D、 E(保留作圖痕跡 ,不要求寫作法 )。.∴∠ 2=180176。40176。∠ A∠ B=60176。. ∵∠ A=80176。. ∵∠ A=80176。 (要求 :尺規(guī)作圖 ,保留作圖痕跡 ,不寫作法 ) (2)在 (1)的條件下 ,連接 CD,求證 :AC=CD. 解析 (1)如圖 ,直線 DE即為所求 . ? (2)證法一 :∵ DE垂直平分 BC,∴ BD=CD, ∴∠ 1=∠ B=40176。,∠ B=40176。,∴ BC=2DC, ∵∠ ACB=∠ E+∠ CDE,∴∠ CDE=∠ E=30176。,BA=BC,∵ BD平分 ∠ ABC,∴∠ DBC=∠ E =30176。, ∴ EF∥ BC,又 BC=4,E為 AC中點 , ∴ EF=? BC=2,AB=2AF,DE=EF=2,∵ A為 DE中點 ,∴ AE=1,由勾股定理得 AF=? =? , 故 AB=2AF=2? . 1222AE EF? 555.(2022龍巖質(zhì)檢 ,15)如圖 ,△ ABC是等邊三角形 ,BD平分 ∠ ABC,點 E在 BC的延長線上 ,且 CE=1, ∠ E=30176。,A,E分別是 DE,AC的中點 ,點 F在 AB邊上 ,則 AB= . ? 答案 2? 5解析 ∵ △ DEF是等腰直角三角形 ,∠ DEF=90176?！?AB=5,BC=3,AC=4,點 E,F分別是 AB,BC的中點 ,∴ BE=? AB=,BF=? BC=,EF=? AC=2, ∴ △ BEF的周長為 6,D正確 . 12 12 12二、填空題 (每小題 3分 ,共 9分 ) 3.(2022莆田質(zhì)檢 ,14)如圖 ,△ ABC中 ,AB=3? ,AC=4? ,點 F在 AC上 ,AE平分 ∠ BAC,AE⊥ BF于 點 D為 BC的中點 ,則 DE的長為 . ? 5 5答案 ? 52解析 由 AE平分 ∠ BAC,AE⊥ BF可證得△ ABE≌ △ AFE, ∴ BE=EF,AF=AB=3? .∵ AC=4? ,∴ CF=? .∵ 點 D為 BC的中點 ,∴ DE為△ BCF的中位線 ,∴ DE=? CF=? . 5 5 512 524.(2022廈門質(zhì)檢 ,14)如圖 ,在 Rt△ ACB中 ,∠ C=90176。F是 BC的中點 ,所以 AF是△ ABC的中線 ,而不是中位線 ,B錯誤 。 基礎(chǔ)題組 (時間 :40分鐘 分值 :55分 ) 一、選擇題 (每小題 3分 ,共 6分 ) 1.(2022南平質(zhì)檢 ,8)如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。.求證 :a2+b2=c2. 圖 1 證明 :連接 DB,過點 D作 BC邊上的高 DF,則 DF=EC=ba. ∵ S四邊形 ADCB=S△ ACD+S△ ABC=? b2+? ab,又 ∵ S四邊形 ADCB=S△ ADB+S△ DCB=? c2+? a(ba),∴ ? b2+? ab=? c2+? a (ba).∴ a2+b2=c2. 請參照上述證法 ,利用圖 2完成下面的證明 . 12 12 12 12 12 12 12 12圖 2 將兩個全等的直角三角形按圖 2所示擺放 ,其中 ∠ DAB=90176。. ∴∠ BMN=∠ BMC+∠ CMN=90176。. 由 BM=AM,可得 ∠ BMC=2∠ BAC=60176。,M為 AC的中點 ,∴ BM=? AC. ∵ N為 CD的中點 , ∴ MN=? AD. ∵ AC=AD,∴ BM=MN. (2)∵∠ BAD=60176。 (2)若 ∠ BAD=60176。.? (2分 ) ∵ AC=a,∴ Rt△ ADC中 ,AD=? AC=? ,CD=? AD=? a.? (4分 ) 同理可得 ,Rt△ DFC中 ,DF=? CD=? a,CF=? DF=? a.? (5分 ) Rt△ FHC中 ,FH=? CF=? a,CH=? FH=? a,? (6分 ) Rt△ CHI中 ,CI=? CH=? a.? (7分 ) 12 2a33212 3433412 383 338398評析 本題考查直角三角形的基本性質(zhì)與運算 . 10.(2022北京 ,23,5分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ ABC=90176。.? (1分 ) ∵ CD⊥ AB,∴∠ ADC=90176。,∠ ACB=90176。,繼續(xù)用同樣的方法作 Rt△ HIC,∠ HCI=90176。,∠ DCE=90176。,∠ ACB=90176。.將△ ABC繞點 A旋轉(zhuǎn) ,使點 B落在原 △ ABC的點 C處 ,此時點 C落在點 D處 .延長線段 AD,交原△ ABC的邊 BC的延長線于點 E,那么線 段 DE的長等于 . 答案 4? 4 3解析 如圖 ,作 BF⊥ AE交 AE于點 F,在 Rt△ ABF中 ,∠ BAF=60176。,AC=3,點 P為邊 BC的三等 分點 ,連接 AP,則 AP的長為 . 答案 ? 或 ? 10 13解析 當 CP=1時 ,根據(jù)勾股定理得 AP=? =? 。=? .∴ OC=AOAC=? .∴ O39。=? ,O39。.在 Rt△ O39。,∴∠ O39。=AO=? ,∠ O39。,∴ tan∠ BAO=? , ∴∠ BAO=30176。的坐標為 . ? 3答案 ? 33,22??????解析 如圖 ,作 O39。,OA在 x軸上 ,OB在 y軸上 ,點 A,B的坐標分別為 (? ,0),(0,1).把 Rt△ AOB沿著 AB對折得到△ AO39。,∴ BD=? AD=4? cm,∵∠ CBD=45176。,∴∠ ADG=4 5176。,∴ 在 Rt△ ENM中 ,EN=? EM =2? cm,MN=EM=2 cm,∴ DN=DMMN=? DBMN=(2? 2)cm,在 Rt△ DFN中 ,FN=? DN=(? ? )cm,∴ EF=EN+FN=2 ? +? ? =(? +? )cm. ? 312 122 2123 226 22 6 2 2 6一題多解 過點 A作 AG⊥ CD的延長線于點 G,∵∠ CDB=∠ CBD=45176。.E為 AB的中點 ,過點 E作 EF⊥ CD于點 AD=4 cm,則 EF的長為 cm. ? 答案 (? +? ) 2 6解析 如圖 ,連接 DE,過點 E作 EM⊥ BD于點 M,設(shè) EF交 BD于點 N,∵ AD=4 cm,∠ A=60176。,∠ A=60176。,∠ B+∠ 6=90176。,CD⊥ AB,垂足為 D,AF平分 ∠ CAB, 交 CD于點 E,交 CB于點 AC=3,AB=5,則 CE的長為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 32 4353 85答案 A 過 F作 FG⊥ AB于點 G, ∵ AF平分 ∠ CAB,∠ ACB=90176。, ∠ BCF+∠ DBC=90176。,在 Rt△ AEF中 ,EF=? AE,又 ∵ AD=4? ,DE=EF,∴ AE=? AD=? ? ,故選 D. 212223 832思路分析 首先利用 AC的長及 ∠ C的正弦求出 AD的長 ,進而通過角平分線的性質(zhì)及直角三角 形中 30度角的性質(zhì)確定 DE和 AE的數(shù)量關(guān)系 ,最后求出 AE的長 . 2.(2022黑龍江齊齊哈爾 ,16,3分 )四邊形 ABCD中 ,BD是對角線 ,∠ ABC=90176。=4? ,過點 E作 EF⊥ AB于點 F,∵ BE是 ∠ ABC的平分線 ,∴ DE=EF,∵∠ ABC=60176。,AD⊥ BC,垂足為 D,∠ ABC的平 分線交 AD于點 E,則 AE的長為 ? ( ) ? ? ? C.? ? D.? ? 2 2432832答案 D ∵ AC=8,∠ C=45176。.(結(jié)論不寫不扣分 ) (3)如圖 ,CD,AE就是所求的三分線 ,