【正文】 =∠ PBH, ∵ BP=BP,∴ △ PBE≌ △ PBH.∴ EP=PH=AH+AP=CE+AP, ∴ △ POE的周長 =OP+OE+PE=OP+OE+CE+AP=OA+OC=4+4=8. 2 22。,得到△ BAH, ∴ BE=BH,CE=AH,∠ EBH=90176。. ∴∠ FBP=∠ FBA+∠ ABP=∠ EBC+∠ ABP=45176。,∠ ABC=90176?！?BEC=∠ EBC. 在△ POE和△ ECB中 ,? ∴ △ POE≌ △ ECB(AAS).∴ OE=CB=OC, ∴ 點(diǎn) E與點(diǎn) C重合 (EC=0),∴ 點(diǎn) P與點(diǎn) O重合 (PO=0). ∵ 點(diǎn) B(4,4),∴ AO=CO= t=4. ③若 BP=BE, 在 Rt△ BAP和 Rt△ BCE中 ,? ∴ Rt△ BAP≌ Rt△ BCE(HL).∴ AP=CE. ∵ AP=t,∴ CE=t,∴ PO=EO=4t. ∵∠ POE=90176。. ,B P A P D QB A P P Q DA B P Q? ? ???? ? ??? ??∴∠ BEP=90176。, ∴ 點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (t,t),∠ PBD=∠ PDB=45176。,∴∠ BPA=90176。(t,t). 由題意可得 AP=OQ=1t=t.∴ AO=PQ. ∵ 四邊形 OABC是正方形 ,l平行于 y軸 , ∴∠ BAP=∠ PQD=90176。 (2)當(dāng) t為何值時(shí) ,△ PBE為等腰三角形 ? (3)探索△ POE周長是否隨時(shí)間 t的變化而變化 .若變化 ,說明理由 。,∴ AE2+AG2=EG2, ∴ AE2+BF2=EF2. 2.(2022濟(jì)南天橋一模 ,27)如圖 ,正方形 OABC的邊 OA,OC在坐標(biāo)軸上 ,點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (4,4).點(diǎn) P從 點(diǎn) A出發(fā) ,以每秒 1個(gè)單位長度的速度沿 x軸向點(diǎn) O運(yùn)動 。,∴∠ GBC=90176。, ∵ BC=CB,∴ △ ACB≌ △ EBC, ∴ CE=AB,∴ CD=? CE=? AB. (2)線段 AE、 EF、 BF之間的數(shù)量關(guān)系是 AE2+BF2=EF2. 理由如下 : 如圖① ,過 B作 BG∥ AC交 ED的延長線于點(diǎn) G,連接 FG, ∵ BG∥ AC,∴∠ A=∠ DBG,∠ AED=∠ DGB, 又點(diǎn) D為 AB的中點(diǎn) ,∴ AD=DB, ∴ △ ADE≌ △ BDG,∴ AE=BG,GD=ED, 又 ∵ DE⊥ DF,∴ EF=FG, ? 1212∵ BG∥ AC,∴∠ ACB+∠ GBC=180176。, 又 ∠ ACB=90176。,點(diǎn) D為 AB的中點(diǎn) ,點(diǎn) E是線段 AC延長線上一動點(diǎn) ,連接 DE, 線段 DF始終與 DE垂直且交 CB延長線于點(diǎn) (2)小題中線段 AE,EF,BF之間的數(shù)量關(guān)系 會發(fā)生改變嗎 ?若會 ,請寫出關(guān)系式 。,點(diǎn) D為 AB的中點(diǎn) ,點(diǎn) E是線段 AC上一動點(diǎn) ,連接 DE,線段 DF 始終與 DE垂直且交 BC于點(diǎn) AE,EF,BF之間的數(shù)量關(guān)系 ,并加以證明 。, 點(diǎn) D是斜邊 AB上的中點(diǎn) ,連接 CD. 求證 :CD=? AB. ? 12問題思考 (1)經(jīng)過獨(dú)立思考 ,同學(xué)們想出了多種正確的證明思想 ,其中有位同學(xué)的思路如下 :如圖 1,過點(diǎn) B 作 BE∥ AC交 CD的延長線于點(diǎn) E,請你根據(jù)這位同學(xué)的思路證明上述框中的問題 。,由題意知 OB=OF. 在△ OBM和△ OFN中 , 4 5 ,M B O FO B O FB O M F O N? ? ? ? ??????? ? ??? ∴ △ OBM≌ △ OFN. ∴ BM=FN. 1 3 5 ,M B O N F OO B O FB O M F O N? ? ? ? ??????? ? ??C組 2022— 2022年模擬 ,∠ CBM=90176。,∴∠ NFO=135176。若不成立 ,請說 明理由 . ? 解析 (1)BM=FN. 證明 :∵ △ GEF是等腰直角三角形 ,四邊形 ABCD是正方形 , ∴∠ ABD=∠ F=45176。,∴ ? =? . FGAF12三、解答題 (共 8分 ) 5.(2022臨沂羅莊一輪模擬 ,21)如圖① ,一等腰直角三角尺 GEF的兩條直角邊與正方形 ABCD的 兩條邊分別重合 .現(xiàn)正方形 ABCD保持不動 ,將三角尺 GEF繞斜邊 EF的中點(diǎn) O(點(diǎn) O也是 BD的中 點(diǎn) )按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) . (1)如圖② ,當(dāng) EF與 AB相交于點(diǎn) M,GF與 BD相交于點(diǎn) N時(shí) ,通過觀察或測量 BM,FN的長度 ,猜想 BM,FN滿足的數(shù)量關(guān)系 ,并證明你的猜想 。 ∵ 根據(jù)已知不能推出 DE平分 ∠ CDF,∴ ④錯(cuò)誤 . 12 12121212 1212故答案為①②③ . 4.(2022泰安新泰 ,22)如圖 ,等邊三角形 ABC中 ,D、 E分別為 AB、 BC邊上的兩動點(diǎn) ,且總使 AD= BE,AE與 CD交于點(diǎn) F,AG⊥ CD于點(diǎn) G,則 ? = . ? FGAF答案 ? 12解析 在等邊△ ABC中 ,∠ ECA=∠ B,AC=AB=BC, ∵ AD=BE,∴ BD=CE,∴ △ CAE≌ △ BCD, ∴∠ DCB=∠ EAC, ∴∠ AFG=∠ CAF+∠ ACF=∠ DCB+∠ ACF=60176。FN,S△ ACD=? AD 12∵ E為 BC的中點(diǎn) ,F為 AB的中點(diǎn) , ∴ AF=? AB,EF為△ ABC的中位線 , ∴ EF∥ AC,EF=? AC,∴ EF=AF, 又 ∵ 四邊形 ABED為平行四邊形 , ∴ AF∥ ME,又 ∵ EF∥ AC, ∴ 四邊形 AFEM為平行四邊形 , ∴ 四邊形 AFEM為菱形 ,∴ ②正確 。, ∴ 四邊形 AECD為矩形 , ∴∠ AEC=90176。 ③ S△ BEF=? S△ ACD。,BC=2AD,F、 E分別是 BA、 BC 的中點(diǎn) ,則下列結(jié)論正確的是 .(填序號 ) ①△ ABC是等腰三角形 。,BE=BC=3 cm,∴ AE=ABBE=2 cm, 設(shè) DC=x cm,則 DE=x cm,AD=(4x)cm, 在 Rt△ ADE中 ,由勾股定理得 AE2+DE2=AD2,即 22+x2=(4x)2, 解得 x=? .故選 B. 22AB AC?32二、填空題 (每小題 3分 ,共 9分 ) 2.(2022青島中考樣題二 ,13)如圖 ,平面直角坐標(biāo)系中 ,點(diǎn) A、 B分別是 x軸、 y軸上的動點(diǎn) ,以 AB為 邊作邊長為 2的正方形 ABCD,則 OC的最大值為 . ? 答案 ? +1 5解析 取 AB的中點(diǎn) E,連接 OE、 CE,則 BE=? 2=1, 在 Rt△ BCE中 ,由勾股定理 ,得 CE=? =? , ∵∠ AOB=90176。 提升題組 (時(shí)間 :15分鐘 分值 :20分 ) 答案 B ∵∠ C=90176。④ 72+242=①④可作為直角三角形 的三邊長 . 2.(2022聊城陽谷一模 ,10)在△ ABC中 ,∠ A,∠ B,∠ C的對邊分別為 a,b,c,且 (a+b)(ab)=c2,則 ? ( ) A.∠ A為直角 B.∠ C為直角 C.∠ B為直角 D.△ ABC不是直角三角形 答案 A ∵ (a+b)(ab)=c2,∴ a2b2=c2,即 c2+b2=a2,故△ ABC是直角三角形 ,且 a為直角三角形的 斜邊 ,∴∠ A為直角 .故選 A. 一、選擇題 (共 3分 ) 1.(2022青島市南區(qū)一模 ,5)如圖 ,在△ ABC中 ,∠ C=90176。② 72+122≠ 152。③ 12,15,20。,AB=AC, ∴∠ EBF=∠ ACB,∴ △ AEB≌ △ ADC(SAS), ∴ AE=AD. ? 考點(diǎn)二 直角三角形 1.(2022青島膠州期末 ,7)下列各組數(shù) :① 8,15,17。, ∴ △ EFB是等邊三角形 ,∴ EB=EF,∠ EBF=60176。, ∵∠ EFB=60176。,DC=EF. (1)求證 :四邊形 EFCD是平行四邊形 。, ∵ CE=CD,∴∠ CDE=∠ E, 又 ∵∠ ACB=∠ CDE+∠ E,∴∠ E=30176。=30176。 基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)一 等腰三角形 三年模擬 1.(2022泰安新泰 ,14)如圖所示的正方形網(wǎng)格中 ,網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn) .已知 A、 B是兩格點(diǎn) ,如 果 C也是圖中的格點(diǎn) ,且使得△ ABC為等腰三角形 ,則點(diǎn) C的個(gè)數(shù)是 ? ( ) ? 答案 C 如圖 ,分兩種情況討論 : ① AB為等腰△ ABC底邊時(shí) ,符合條件的 C點(diǎn)有 4個(gè) 。. 方法 2:如圖② ,在 OA ,OB上分別取點(diǎn) C ,D ,以 CD為直徑畫圓 . ? 若點(diǎn) O在圓上 ,則 ∠ AOB=90176。AD=? 1412=84.? (10分 ) ? 12 129.(2022江蘇南京 ,22,8分 )“直角”在初中幾何學(xué)習(xí)中無處不在 .如圖 ,已知 ∠ AOB ,請仿照小麗 的作圖方法 ,再用兩種不同的方法判斷 ∠ AOB是不是直角 (僅限用直尺和圓規(guī) ). ? ? 小麗的作圖方法 : 如圖 ,在 OA,OB上分別取點(diǎn) C,D,以 C為圓心 ,CD長 為半徑畫弧 ,交 OB的反向延長線于點(diǎn) E,若 OE=OD, 則 ∠ AOB=90176。BE=? AB,CD⊥ AB,垂足為 D,點(diǎn) E是 AB的中點(diǎn) ,CD= DE=a,則 AB的長為 ? ( ) ? ? a D.? a 2433答案 B 在 Rt△ CDE中 ,∵ CD=DE=a,∴ CE=? CD=? a,∴ AB=2CE=2? a,故選 B. 22 24.(2022福建 ,15,4分 )把兩個(gè)同樣大小的含 45176。,∴∠ FGC=∠ EAC. ∴ △ FGC≌ △ EAC(SAS).? (11分 ) ∴ CF=CE,∠ ACE=∠ GCF. ∵∠ ECF=∠ ECG+∠ GCF=∠ ECG+∠ ACE=∠ ACG=60176。, ∴ △ GAC為等邊三角形 .? (10分 ) ∴ AC=CG,∠ ACG=∠ AGC=60176。, 又 ∵ AE=? AD,∴ AE=FG. 在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。, ∴∠ FDA∠ HDA=∠ FAD∠ EAD, ∴∠ FDH=∠ FAE.? (7分 ) ∴ △ FDH≌ △ FAE(SAS).∴ FH=FE.? (8分 ) (3)△ CEF是等邊三角形 .? (9分 ) 理由如下 :取 AB的中點(diǎn) G,連接 FG, . ? 12∵ F是 BD的中點(diǎn) ,∴ FG∥ DA,FG=? DA. ∴∠ FGA=180176。,∴∠ ADE=30176。, ∴ DH=? AD. ∵ AE平分 ∠ BAC, ∴∠ CAE=? ∠ BAC=30176。. ∵∠ DHA=90176。, ∴ BD2=AD2+