【正文】 ,AC=8 cm,BC=6 cm,EF=9 。角的直角三角形 . 三、解答題 (共 17分 ) 8.(2022陽江江城模擬 ,25)已知 :把 Rt△ ABC和 Rt△ DEF按如圖 1擺放 (點 C與點 E重合 ),點 B,C(E), F在同一條直線上 ,∠ ACB=∠ EDF=90176。,∠ C=90176。, ∴ BE=2BC=8 cm,EC=? =4247。,∴∠ BEC=30176。,∠ C=90176。如圖 2,分別以直角三角形的三個頂點為圓心 ,三邊長為半徑向外作圓心角都相等的扇 形 ,面積分別為 S S S1=16,S2=45,S5=11,S6=14,則 S3+S4= . ? 答案 54 解析 設(shè)面積為 S S S3的三個等邊三角形的邊長分別為 a a a3,面積為 S S S6的扇 形的半徑分別為 r r r6,每個扇形的圓心角為 x176。sin 60176。x=12BC,∴ x=24, ∵ ABPR,∵ AB=BC =AC, ∴ S△ ABC=? BC(PQ+PS+PR)=12BC, 設(shè)△ ABC的高為 x,則 ? PQ+? BC=45176。, ∴∠ BCD=75176。 30176。 答案 D ∵ DE垂直平分 AC,∴ AD=CD,∴∠ DCE=∠ A=30176。 176。,DE垂直平分 AC,則 ∠ BCD的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。,AC=2,點 D在 BC上 ,∠ ADC=2∠ B,AD=? ,則 BC 的長為 ? ( ) ? A.? 1 B.? +1 C.? 1 D.? +1 53355答案 D ∵∠ C=90176。, ∴∠ BAE=∠ CAD,又 ∠ B=∠ C,AB=AC,∴ △ ABE≌ △ ACD,故 C正確 。 ∵∠ BAE=∠ BAD+∠ DAE=72176。, ∴∠ DAB=∠ DAE=∠ CAE=36176。,∠ DAB=∠ CAE=36176。, ∴∠ ADC=∠ DAC,∴ CD=CA=BA,∴ BD=BCCD=BCBA, 則 ? =? =? ,易求得 ? =? =? ,故 A錯誤 。, ∴ △ BDA∽ △ BAC,∴ ? =? . ∵∠ ADC=∠ B+∠ BAD=72176。,∴ AB=AC,∠ BAC=108176。,∴ ACAM,∴ AC≠ DN, 綜上 ,正確結(jié)論的個數(shù)是 B. 2.(2022汕尾二模 ,10)如圖 ,在△ ABC中 ,∠ B=∠ C=36176。, ∴ △ ACM≌ △ DCN,∴ CM=CN,AM=DN, ∵∠ MAC60176。③ AC= ,正確結(jié)論的個數(shù)是 ? ( ) ? 答案 B ∵ △ DAC和△ EBC均是等邊三角形 , ∴∠ ACD=∠ BCE=60176。提升題組 (時間 :30分鐘 分值 :40分 ) 1.(2022韶關(guān)模擬 ,9)如圖 ,△ DAC和△ EBC均是等邊三角形 ,AE與 CD交于點 M,BD與 CE交于點 N,有如下結(jié)論 :①△ ACE≌ △ DCB。,M是斜邊 AB的中點 , ∴ CM=AM,∴∠ MCA=∠ MAC, ∵ AM=AN,∴∠ AMN=∠ ANM, ∵∠ N+∠ CAN=180176。,M是斜邊 AB的中點 ,AM=AN,∠ N+∠ CAN= 180176。 (2)求證 :∠ EMD=2∠ DAC. ? 證明 (1)∵ AD⊥ BC,∴ △ ADB為直角三角形 , ∵ M為 AB的中點 ,∴ MD=? AB, 同理 ,ME=? AB,∴ MD=ME, ∴ △ MED為等腰三角形 . (2)∵ M為 AB的中點 ,∴ MA=? AB, ∵ MD=? AB, ∴ MA=MD, ∴∠ BMD=2∠ MAD, 同理 ,∠ BMD+∠ EDM=2(∠ MAD+∠ DAC), ∴∠ EMD=2∠ DAC. 1212 1212考點二 直角三角形 1.(2022珠海模擬 ,7)如果將長為 6 cm,寬為 5 cm的長方形紙片折疊一次 ,那么這條折痕的長不可 能是 ? ( ) cm ? cm cm cm 2答案 A 長方形的對角線長為 ? =? cm8 cm,而折痕的長小于對角線的長 ,∴ 折痕 不可能是 8 cm,故選 A. 2265?612.(2022汕頭模擬 ,7)如圖 ,△ ABC的頂點 A、 B、 C在邊長為 1的正方形網(wǎng)格的格點上 ,BD⊥ AC于 點 D,則 CD的長為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 25335455答案 C AC=? =? ,S△ ABC=? 22=2, ∵ BD⊥ AC,∴ S△ ABC=? AC) 后 ,連接 BE、 DF,如圖 2,這時 DF=BE還成立嗎 ?請說明理由 . ? 解析 DF=BE成立 . 理由 :∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,△ AEF是等腰直角三角形 , ∴ AD=AB,AF=AE,∠ FAE=∠ DAB=90176。. 7.(2022廣州天河 ,24)如圖 1,正方形 ABCD的邊 AB、 AD分別在等腰直角△ AEF的腰 AE、 AF上 , 點 C在△ AEF內(nèi) ,則有 DF=BE(不必證明 ).將正方形 ABCD繞點 A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度 α(0176。,∴∠ ADB=50176。,AB=AD=DC,則 ∠ C= . ? 答案 25176?；?15176。, ∴ 底角為 15176。 ? (2)當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時 ,如圖 ,BD=? AB,則 ∠ BAD=30176。 解析 (1)當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時 ,如圖 ,BD=? AB,則頂角 ∠ A為 30176。MN,∴ ? 5MN=6,∴ MN=? ,故選 C. ? 22AC MC?2253?12 1212 12 1253.(2022深圳羅湖二模 ,7)某等腰三角形的兩條邊長分別為 3 cm和 6 cm,則它的周長為 ? ( ) cm cm cm cm或 15 cm 答案 C ∵ 3+3=6,∴ 該等腰三角形的邊長只能為 3 cm,6 cm,6 cm,∴ 周長為 15 cm,故選 C. 4.(2022梅州模擬 ,12)若等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半 ,則這個等腰三角形的底角為 . 答案 15176。 ②當(dāng) 3為腰長 ,7為底邊長時 ,三邊為 3,3+3=67,所以不能組成三角形 . 綜上 ,第三邊的長為 7. 2.(2022深圳羅湖模擬 ,9)如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC=5,BC=6,點 M為 BC的中點 ,MN⊥ AC于點 N,則 MN等于 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 65 95125165答案 C 連接 AM,∵ AB=AC,M為 BC的中點 , ∴ AM⊥ BC,∴ AM=? =? =4, ∴ S△ AMC=? MC. 在 Rt△ EAD中 ,ED2=AD2+AE2, ∴ ED2=AD2+BD2.? (6分 ) 又 ED2=EC2+CD2=2CD2,∴ 2CD2=AD2+DB2.? (7分 ) ,E C D CA C E B C DA C B C???? ? ??? ??考點一 等腰三角形 三年模擬 A組 2022— 2022年模擬 , ∴∠ ECD∠ ACD=∠ ACB∠ ACD, 即 ∠ ECA=∠ DCB.? (1分 ) 在△ ACE與△ BCD中 ,? ? (3分 ) ∴ △ ACE≌ △ BCD.? (4分 ) (2)∵ △ ACE≌ △ BCD, ∴ AE=BD.? (5分 ) ∵∠ EAC=∠ BAC=45176。,D為 AB邊上一點 . (1)求證 :△ ACE≌ △ BCD。,AM⊥ BM,點 C是 BM延長線上一點 , ∴ BM=AM,∠ BMD=∠ AMC=90176。, ∴ △ AMB和△ AMC是直角三角形 , ∵∠ ABM=45176。,AM⊥ BM,垂足為 M,點 C是 BM延長線上一點 , 連接 AC. (1)如圖 1,若 AB=3? ,BC=5,求 AC的長 。角所對直角邊等于斜邊的一半可得 ? =? ,又點 N是 CM的中點 ,可推出 ? =? ,從而可證 △ AFN∽ △ EFM,進一步即可證明 AN∥ EM。(3)由△ DAE≌ △ CEM可推 出△ DEM為等邊三角形 ,從而可得 ∠ MEF=30176。.② 由①②可知 AC=AM,又 N為 CM的中點 , ∴ AN⊥ CM,又 ∵ EM⊥ CF,∴ AN∥ EM.? (14分 ) 12思路分析 (1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證 。30176。,① 又 ∠ CMD=∠ EMC∠ EMD=30176。,∴ ? =? , 12 12MFEF12又 ∵ NM=? CM=? EM=? AE, ∴ FN=FM+NM=? EF+? AE=? (AE+EF)=? AF. ∴ ? =? =? . 又 ∵∠ AFN=∠ EFM,∴ △ AFN∽ △ EFM,∴∠ NAF=∠ MEF, ∴ AN∥ EM.? (14分 ) 證法二 :連接 AM,則 ∠ EAM=∠ EMA=? ∠ MEF=15176。. 證法一 :在 Rt△ EMF中 ,∠ EMF=90176。.? (9分 ) (3)證明 :∵ △ DAE≌ △ CEM, ∴∠ CME=∠ DEA=90176。, ∴∠ EMF=180176。. 又由 (1)知 CM=BM=EM, ∴∠ CME=∠ CMD+∠ DME=2(∠ CBM+∠ EBM)=2∠ CBA=240176。50176。 (3)如圖 2,若△ DAE≌ △ CEM,點 N為 CM的中點 .求證 :AN∥ EM. ? 圖 1 圖 2 解析 (1)證明 :由已知 ,在 Rt△ BCD中 ,∠ BCD=90176。 (2)若 ∠ BAC=50176。 DF=(8? ? t)? t=(2t2+16t)cm2,所以當(dāng) S1=2S2時 ,有 8t=4t2+32t,解得 t=6. 22 2 212 12 2226.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。S1=? AP,∴∠ CDE =∠ E,∠ CDB=∠ B,∴ CE=CD,CD=CB,∴ CD=? BE=5,∴ 0≤ CD≤ 5. 125.(2022貴州貴陽 ,15,4分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ BAC=90176。,∠ B=60176。,BE=10,D是線段 AE上一動點 , 過 D作 CD交 BE于 C,并使得 ∠ CDE=30176。=2? . 在 Rt△ ABP中 ,AP=? =? =? =2? . 綜上所述 ,AP的長為 2或 2? 或 2? . 3233 22B BP?4 (2 3)?28737? 4.(2022湖南常德 ,14,3分 )如圖 ,已知 Rt△ ABE中 ∠ A=90176。, 所以 BP=OBcos∠ OAP=4? =2? . 如圖③ ,∠ ABP=90176。,所以 ∠ OAP=30176。,因為 OA=OB=2,所以 OP=OA=OB=2,又 ∠ AOC=∠ BOP=60176。,因為 OA=OB=2,所以 OP=OA= 2,又因為 ∠ AOC=60176。? . ? 3 3332323233,223.(2022江西南昌 ,14,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=BC=4,AO=BO,P是射線 CO上的一個動點 , ∠ AOC=60176。sin 60176。C=AO39。cos 60176。AC中 , AC=AO39。AO=60176。AB=∠ OAB=30176。,由題意可得 AO39。C⊥ OA,垂足為 C,在 Rt△ AOB中 ,OA=? ,OB=1,∠ AOB=90176。B,則點 O39。,所以 OH=6,所以 OM=OHMH=61= C. ? 122.(2022寧夏 ,14,3分 )如圖 ,Rt△ AOB中 ,∠ AOB=90176。β, ∴∠ FRM=∠ ABC,∴ RM∥ BC, ∴∠ CBD=∠ RMB, ∵∠ CAD=∠ CBD=β, ∴∠ RMB=∠ CAD.? (9分 ) 又 ∠ RBM=∠ ACD,∴ △ RMB∽ △ DAC, ∴ ? =? =? =? ,∴ FBFM=BR=? CD. ∴ 2MH=FM+? CD.? (10分 ) BMACAB34 3434考點二 直角三角形 1.(2022江蘇揚州 ,7,3分 )如圖 ,已知 ∠ AOB=60176。,? (8分 ) ∵ H為 BF中點 ,∴ BF=2MH, 34在 FB上截取 FR=FM,連接 RM, ? 圖 2 ∴∠ FRM=∠ FMR=90176。β, ∵ GN=GD, ∴∠ GND=∠ GDN=90176。∠ BAC∠ ACB=90176。α=90176。, ∴ DF=2DE=4. 14.(2022黑龍江哈爾濱 ,28,10分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,對角線 AC、 BD相交于點 E,且 AC⊥ BD,∠ ADB=∠ CAD+∠ ABD,∠ BAD=3∠ CBD. (1)求證 :△ ABC為等腰三角形 。, ∴ △ EDC是等邊三角形 . ∴ ED=DC=2. ∵∠ DEF=90176。. (2)∵∠ ACB=60176。. ∴∠ F=90176。.