【正文】 長為 . ? 3答案 3或 解析 易知 ∠ B39。DE的位置 ,B39。,BC=1,∴ AB=2. ∵ 點 D,E分別是 BC,AC的中點 , ∴ DE=? AB=? 2=1. 12 124.(2022新疆烏魯木齊 ,15,4分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。C=? =3? . 22 223 (3 2)? 33.(2022四川南充 ,7,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ A=30176。,∴ △ AB39。C中 ,易知 ∠ CAB39。全等且均為等腰直角三角形 ,∵ AC=BC=3,∴ AB=3? ,∴ AB39。B39。,AC=BC=3,則 B39。B39。落在邊 AB上 ,連接 B39。拼在一起 ,其中點 A39。B39。,CD為 AB邊上的高 ,CE為 AB邊上的中 線 ,AD=2,CE=5,則 CD=? ( ) ? ? 3考點二 直角三角形 答案 C 在 Rt△ ABC中 ,因為 CE為 AB邊上的中線 ,所以 AB=2CE=25=10,又 AD=2,所以 BD=8, 易證△ ACD∽ △ CBD,則 CD2=ADtan 60176。, ∴ △ CDE為等邊三角形 , ∴ DE=CD=2.? (4分 ) ∵ EF⊥ DE,∴∠ DEF=90176。, ∵ DE∥ AB, ∴∠ EDF=∠ B=60176。,所以△ AOB是正三角形 ,故 AB=18 cm. 8.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,18,6分 )如圖 ,等腰三角形 ABC中 ,BD,CE分別是兩腰上的中線 . (1)求證 :BD=CE。. 5.(2022吉林 ,14,3分 )我們規(guī)定 :等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的 “特征值” ,記作 k=? ,則該等腰三角形的頂角為 度 . 12答案 36 解析 設(shè)等腰三角形的頂角為 x度 ,則一個底角的度數(shù)為 2x度 ,由 x+22x=180?x= 3 6度 . 思路分析 設(shè)出頂角度數(shù) ,根據(jù)“特征值”可知底角度數(shù) ,再由三角形內(nèi)角和定理即可求得 . 6.(2022吉林 ,12,3分 )如圖 ,已知線段 AB,分別以點 A和點 B為圓心 ,大于 ? AB的長為半徑作弧 ,兩 弧相交于 C,D兩點 ,作直線 CD交 AB于點 CD上任取一點 F,連接 FA , FA =5,則 FB= . ? 12答案 5 解析 由題意可知 EF垂直平分 AB,所以 FB=FA =5. 7.(2022浙江紹興 ,13,5分 )由于木質(zhì)的衣架沒有柔性 ,在掛置衣服的時候不太方便操作 .小敏設(shè) 計了一種衣架 ,在使用時能輕易收攏 ,然后套進(jìn)衣服后松開即可 .如圖 1,衣架桿 OA=OB=18 cm. 若衣架收攏時 ,∠ AOB=60176。2=80176。 解析 ∵ 等腰三角形的兩底角相等 ,∴ 180176。,AB=AC,BD是△ ABC的角平分線 .若在邊 AB上截 取 BE=BC,連接 DE,則圖中等腰三角形共有 ? ( ) ? 答案 D 依題意 ,可知題圖中的△ ABC,△ AED,△ BDC,△ BDE,△ ADB為等腰三角形 ,則共有 5 個等腰三角形 .故選 D. 4.(2022四川成都 ,11,4分 )等腰三角形的一個底角為 50176。② 當(dāng) AB=BC時 ,以點 B為圓心 ,AB長 為半徑作圓 ,與坐標(biāo)軸有兩個交點 ,均符合題意 。=70176。.因為 ∠ ADC=∠ B+∠ BAD,所以 ∠ BAD=∠ ADC∠ B=130176。+25176。,所以 ∠ ADC=1 80176。 176。 176。,∠ C=25176。,從而得出 ∠ MON=135176。② 利用 (1)的結(jié)論及已知可得出△ PEQ為等腰直角三角形 ,由△ ARB∽ △ PEQ可得 ∠ ARB=90176。,可得 AR=BR,∠ ARB=2∠ CRD=60176。. 此時 P,O,B在一條直線上 ,△ PAB為直角三角形且 ∠ APB為直角 ,所以 AB=2PE=2? PQ=? PQ,則 ? =? .? (14分 ) 1222 2ABPQ2思路分析 (1)先證四邊形 ODEC為平行四邊形得 ∠ OCE=∠ ODE,再根據(jù)△ OAP,△ OBQ都是 等腰直角三角形證明 ∠ PCE=∠ EDQ,結(jié)合已知可證△ PCE≌ △ EDQ。,∠ CRD=? ∠ ARB=45176。, 即△ PEQ為等腰直角三角形 . 由于△ ARB∽ △ PEQ,所以 ∠ ARB=90176。. ∴∠ ARB=∠ ARO+∠ BRO=2∠ CRO+2∠ ORD=2∠ CRD=60176。,∠ MON=150176。 ② 如圖 3,若△ ARB∽ △ PEQ,求 ∠ MON的大小和 ? 的值 . ? ABPQ解析 (1)證明 :∵ 點 C,D,E分別是 OA,OB,AB的中點 , ∴ DE?? OC,CE?? OD.∴ 四邊形 ODEC為平行四邊形 . ∴∠ OCE=∠ ODE. 又 ∵ △ OAP,△ OBQ都是等腰直角三角形 , ∴∠ PCO=∠ QDO=90176。 (2)延長 PC,QD交于點 R. ① 如圖 2,若 ∠ MON=150176。角所對直角邊等于斜邊的一半可得 ? =? ,又點 N是 CM的中點 ,可推出 ? =? ,從而可證 △ AFN∽ △ EFM,進(jìn)一步即可證明 AN∥ EM。(3)由△ DAE≌ △ CEM可推 出△ DEM為等邊三角形 ,從而可得 ∠ MEF=30176。.② 由①②可知 AC=AM,又 N為 CM的中點 , ∴ AN⊥ CM,又 ∵ EM⊥ CF,∴ AN∥ EM.? (14分 ) 12思路分析 (1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證 。30176。,① 又 ∠ CMD=∠ EMC∠ EMD=30176。, 1212∴ ? =? , 又 ∵ NM=? CM=? EM=? AE, ∴ FN=FM+NM=? EF+? AE=? (AE+EF)=? AF. ∴ ? =? =? . 又 ∵∠ AFN=∠ EFM, ∴ △ AFN∽ △ EFM,∴∠ NAF=∠ MEF, ∴ AN∥ EM.? (14分 ) 證法二 :連接 AM,則 ∠ EAM=∠ EMA=? ∠ MEF=15176。. 證法一 :在 Rt△ EMF中 ,∠ EMF=90176。.? (9分 ) (3)證明 :∵ △ DAE≌ △ CEM, ∴∠ CME=∠ DEA=90176。, ∴∠ EMF=180176。. 又由 (1)知 CM=BM=EM, ∴∠ CME=∠ CMD+∠ DME=2(∠ CBM+∠ EBM)=2∠ CBA=240176。50176。 (3)如圖 2,若△ DAE≌ △ CEM,點 N為 CM的中點 .求證 :AN∥ EM. ? 圖 1 圖 2 解析 (1)證明 :由已知 ,在 Rt△ BCD中 ,∠ BCD=90176。 (2)若 ∠ BAC=50176。.設(shè) AB的中 點為 O,則 P在以 AB為直徑的圓上 .當(dāng)點 O,P,C三點共線時 ,線段 CP最短 ,∵ OB=? AB=3,BC=4,∴ OC=? =5,又 OP=? AB=3,∴ 線段 CP長的最小值為 53=2,故選 B. 122234?12解題關(guān)鍵 想到 P在以 AB為直徑的圓上運動 ,由此將問題轉(zhuǎn)化為 O,P,C三點的共線問題是解題 的關(guān)鍵 . 2.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,∴∠ PAB+∠ ABP=90176。,可得 ∠ P=90176。第四章 圖形的認(rèn)識 167。 等腰三角形與直角三角形 中考數(shù)學(xué) (安徽專用 ) A組 2022— 2022年安徽中考題組 五年中考 1.(2022安徽 ,10,4分 )如圖 ,Rt△ ABC中 ,AB⊥ BC,AB=6,BC=△ ABC內(nèi)部的一個動點 ,且滿足 ∠ PAB=∠ CP長的最小值為 ? ( ) ? A.? C.? D.? 328 1 313 1 2 1 313思路分析 由 ∠ PAB=∠ PBC,∠ PBC+∠ ABP=90176。,取 AB的中點 O,則 OP=? AB=3 為定值 ,所以 O,P,C三點共線時 CP的長最小 . 12答案 B ∵∠ PAB=∠ PBC,∠ PBC+∠ ABP=90176。,∴∠ P=90176。.點 D為邊 AC上一點 ,DE⊥ AB于點 M為 BD的中點 ,CM的延長線交 AB于點 F. (1)求證 :CM=EM。,求 ∠ EMF的大小 。,M為斜邊 BD的中點 , ∴ CM=? BD. 又 DE⊥ AB,同理 ,EM=? BD, ∴ CM=EM.? (4分 ) (2)由已知得 ,∠ CBA=90176。=40176。=80176?！?CME=100176。,DE=CM,AE=EM. 又 CM=DM=EM,∴ DM=DE=EM, ∴ △ DEM是等邊三角形 , ∴∠ MEF=∠ DEF∠ DEM=30176。,∠ MEF=30176。, MFEF 1212 12 1212 12 12 12MFEF FNAF 1212∴∠ AMC=∠ EMC∠ EMA=75176。,且 MC=MD, ∴∠ ACM=? (180176。)=75176。(2)由直角三角形中兩銳角 互余求出 ∠ CBA,由等腰三角形的性質(zhì)可得 ∠ MEB=∠ MBE,∠ MCB=∠ MBC,從而可得 ∠ CME= ∠ DME+∠ CMD=2(∠ CBM+∠ EBM),最后由補角性質(zhì)求出 ∠ EMF。,下面證 AN∥ EM有兩個思路 :一是根據(jù)直角三角 形 30176。二是連接 AM,計算可得 ∠ AMC=∠ ACM,而 N是 CM 的中點 ,從而 AN⊥ CM,進(jìn)一步即可證明 AN∥ EM. MFEF 12NFAF 123.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,A,B分別在射線 OM,ON上 ,且 ∠ MON為鈍角 .現(xiàn)以線段 OA,OB為斜 邊向 ∠ MON的外側(cè)作等腰直角三角形 ,分別是△ OAP,△ OBQ,點 C,D,E分別是 OA,OB,AB的中 點 . (1)求證 :△ PCE≌ △ EDQ。,求證 :△ ABR為等邊三角形 。. ∴∠ PCE=∠ PCO+∠ OCE=∠ QDO+∠ ODE=∠ EDQ. 又 ∵ PC=? AO=CO=ED,CE=OD=? OB=DQ, ∴ △ PCE≌ △ EDQ.? (5分 ) (2)① 證明 :如圖 ,連接 OR. ? ∵ PR與 QR分別為線段 OA與 OB的中垂線 , 12 12∴ AR=OR=BR,∠ ARC=∠ ORC,∠ ORD=∠ BRD. 在四邊形 OCRD中 ,∠ OCR=∠ ODR=90176。, ∴∠ CRD=30176。. ∴ △ ABR為等邊三角形 .? (9分 ) ② 如圖 ,由 (1)知 EQ=PE,∠ DEQ=∠ CPE. ? 又 ∵ AO∥ ED,∴∠ CED=∠ ACE. ∴∠ PEQ=∠ CED∠ CEP∠ DEQ=∠ ACE∠ CEP∠ CPE=∠ ACE∠ RCE=∠ ACR=90176。. 于是在四邊形 OCRD中 ,∠ OCR=∠ ODR=90176。,∴∠ MON=135176。(2)① 連接 OR,由 PR與 QR 分別為線段 OA與 OB的中垂線及 ∠ MON=150176。,即△ ABR為等 邊三角形 。,進(jìn)一步得出 ∠ CRD=45176。,并說明 P,O,B在一條直線上 ,△ PAB為 直角三角形且 ∠ APB為直角 ,由此得出 AB=? PQ,進(jìn)而求解 . 2考點一 等腰三角形 B組 2022— 2022年全國中考題組 1.(2022湖北黃岡 ,4,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,直線 DE是 AC的垂直平分線 ,且分別交 BC,AC于點 D和 E,∠ B=60176。,則 ∠ BAD為 ? ( ) ? 176。 176。 答案 B 因為直線 DE是 AC的垂直平分線 ,所以 AD=DC,所以 ∠ DAC=∠ C=25176。(25176。)=130176。60176。,故選 B. 2.(2022湖北武漢 ,10,3分 )平面直角坐標(biāo)系中 ,已知 A(2,2),B(4,0),若在坐標(biāo)軸上取點 C,使△ ABC 為等腰三角形 ,則滿足條件的點 C的個數(shù)是 ? ( ) 答案 A 如圖 ,① 當(dāng) AB=AC時 ,以點 A為圓心 ,AB長為半徑作圓 ,與坐標(biāo)軸有兩個交點 (點 B除 外 ),即 O(0,0),C0(0,4),其中點 C0與 A、 B兩點共線 ,不符合題意 。③ 當(dāng) AC=BC時 ,作 AB的垂直平分線 ,與坐標(biāo)軸有 兩個交點 ,均符合題意 .所以滿足條件的點 C有 5個 ,故選 A. ? 3.(2022陜西 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ A=36176。,則它的頂角的度數(shù)為 . 答案 80176。50176。,