【正文】 ? =? .∴ DE=12 C. ABBC DECD 1 . 52 16DE思路分析 通過讀題 ,首先要標清邊角條件 ,并借助解直角三角形的相關知識來解題 . 解題關鍵 解決本題的關鍵是要明確平面鏡的性質(zhì) ,從而得到反射角等于入射角 ,進而才能借 助解直角三角形或相似的相關知識來解決 . 3.(2022北京延慶一模 ,6)如圖 ,在 44的正方形網(wǎng)格中 ,tan α的值等于 ? ( ) ? B.? C.? D.? 12 55 255答案 A 如圖 ,設每個小正方形邊長為 1,則 AB=2,CB=1,∴ tan α=? = A. ? ABBC考點二 解直角三角形 1.(2022北京海淀二模 ,6)我國古代有一種通過測量日影長度來確定時間的儀器 ,稱為圭表 .下圖 是一個根據(jù)北京的地理位置設計的圭表 ,其中 ,立柱 AC的高為 ,冬至時北京的正午日光入 射角 ∠ ABC約為 176。,則立柱根部與圭表的冬至線的距離 (即 BC的長 )約為 ? ( ) ? 176。 B.? tan ? 176。 D.? cos ?答案 B ∵ tan∠ ABC=? ,∴ BC=? =? =? .故選 B. ACBC tan ACABC? tan ? tan ?2.(2022北京平谷一模 ,6)某商場一樓與二樓之間的手扶電梯如圖所示 .其中 AB、 CD分別表示 一樓、二樓地面的水平線 ,∠ ABC=150176。,BC的長是 8 m,則乘電梯從點 B到點 C上升的高度 h是 ? ( ) ? ? m m C.? ? m m 3833答案 D ∵∠ ABC=150176。,∴∠ CBE=30176。.∴ h=? BC=? 8=4 D. ? 12 123.(2022北京懷柔二模 ,8)如圖 ,在地面上的點 A處測得樹頂 B的仰角為 α,AC=7米 ,則樹高 BC為 ? ( ) ? α米 α米 α米 D.(7+α)米 答案 C ∵ tan α=? ,∴ BC=tan αAC=7tan α米 .故選 C. BCAC4.(2022北京平谷二模 ,14)如圖 ,一名滑雪運動員沿著傾斜角為 34176。的斜坡從 A滑行至 B,已知 AB= 500米 ,則這名滑雪運動員的高度下降了約 米 .(參考數(shù)據(jù) :sin 34176?！?,cos 34176。≈ , tan 34176。≈ ) ? 答案 280 解析 AC=ABsin 34176。≈ 500=280米 . 5.(2022北京豐臺二模 ,13)某中學初三年級的學生開展測量物體高度的實踐活動 ,他們要測量 一幢建筑物 AB的高度 .如圖 ,他們先在點 C處測得建筑物 AB的頂點 A的仰角為 30176。,然后向建筑 物 AB前進 10 m到達點 D處 ,又測得點 A的仰角為 60176。,那么建筑物 AB的高度是 m. ? 答案 5? 3解析 ∵∠ ABC=90176。,∴∠ DAB=30176。,∠ CAB=60176。,∴∠ CAD=30176。,∴ AD=CD=10 m,∴ AB=AD sin 60176。=10? =5? m. 3236.(2022北京豐臺一模 ,23)如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ ABC=90176。,DE⊥ AC于點 E,且 AE=CE,DE=5, EB=12. (1)求 AD的長 。 (2)若 ∠ CAB=30176。,求四邊形 ABCD的周長 . ? 解析 (1)∵∠ ABC=90176。,AE=CE,EB=12, ∴ EB=AE=CE=12. ∵ DE⊥ AC,DE=5, ∴ 在 Rt△ ADE中 ,由勾股定理得 AD=? =? =13. (2)∵ 在 Rt△ ABC中 ,∠ CAB=30176。,AC=AE+CE=24, ∴ BC=12,AB=ACcos 30176。=12? . ∵ DE⊥ AC,AE=CE, ∴ AD=DC=13. ∴ 四邊形 ABCD的周長為 AB+BC+CD+AD=38+12? . 22AE DE? 2212 5?337.(2022北京延慶一模 ,24)如圖 ,甲船在港口 P的南偏西 60176。方向 ,距港口 86海里的 A處 ,沿 AP方向 以每小時 15海里的速度勻速駛向港口 P出發(fā) ,沿南偏東 45176。方向勻速駛離港口 P, 現(xiàn)兩船同時出發(fā) ,2小時后乙船在甲船的正東方向 .求乙船的航行速度 .(結果精確到個位 ,參考 數(shù)據(jù) :? ≈ ,? ≈ ,? ≈ ) ? 2 3 5解析 依題意 ,設乙船的航行速度為每小時 x海里 ,2小時后甲船在點 B處 ,乙船在點 C處 ,則 PC= 2x. 過 P作 PD⊥ BC于 D, ? ∴ BP=86215=56, 在 Rt△ PDB中 ,∠ PDB=90176。,∠ BPD=60176。, ∴ PD=PBcos 60176。=28, 在 Rt△ PDC中 ,∠ PDC=90176。,∠ DPC=45176。, ∴ PD=PCcos 45176。=? 2 x=? x, ∴ ? x=28,即 x=14? ≈ 20. 答 :乙船的航行速度為每小時 20海里 . 22 22 2一、選擇題 (每小題 3分 ,共 6分 ) B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時間 :35分鐘 分值 :40分 ) 1.(2022北京海淀二模 ,10)利用量角器可以制作“銳角正弦值速查卡” .制作方法如下 :如圖 ,設 OA=1,以 O為圓心 ,分別以 ,… , ,再以 OA為直徑作☉ “銳角正弦值速查卡”可以讀出相應銳角正弦的近似值 .例如 :sin 60176?！?,sin 45176?！? 列角度中正弦值最接近 ? ( ) 答案 A 通過量角器可以發(fā)現(xiàn) ,圓和度數(shù)的交點的半圓半徑即相應銳角的正弦值的近似值 . 所以正弦值最接近 70176。,故選 A. 176。 176。 176。 176。 2.(2022北京西城一模 ,9)某滑雪場舉辦冰雪嘉年華活動 ,采用直升機航拍技術拍攝活動盛況 .如 圖 ,通過直升機的鏡頭 C觀測水平雪道一端 A處的俯角為 30176。,另一端 B處的俯角為 45176。.若直升機 鏡頭 C處的高度 CD為 300米 ,點 A,D,B在同一直線上 ,則雪道 AB的長度為 ? ( ) ? ? 米 D.(300? +300)米 23答案 D 由題意可知 ∠ A=30176。,∠ B=45176。,∴ AD=300247。tan A=300? 米 ,DB=CD=300米 .∴ AB= (300? +300)米 .故選 D. 33二、填空題 (每小題 3分 ,共 9分 ) 3.(2022北京石景山一模 ,15)在距辦公樓 20 m的點 B處 ,用高為 m的測角儀測得辦公樓頂點 C 的仰角為 63176。,則辦公樓 CD的高約為 m. (精確到 m,sin 63176?！?,cos 63176?！?,tan 63176?！?) ? 答案 解析 過點 A作 AE∥ BD交 CD于 E, ∵ tan∠ CAE=? =? , ∴ ≈ ? ,∴ CE= , ∴ CD=CE+DE=+= . CEAE CEBD20CE4.(2022北京朝陽二模 ,11)2022年 5月 5日我國自主研發(fā)的大型飛機 C919成功首飛 .下圖是一種 機翼的示意圖 ,用含有 m、 n的式子表示 AB的長 : . ? 答案 m+? nn 33解析 過點 C作 CE垂直 BA,交 BA的延長線于點 E,則四邊形 CFBE為長方形 ,且長方形的長為 m+ ? n,寬為 n.∵∠ ACE=45176。,∴ △ CEA為等腰直角三角形 ,∴ EA=CE=n,∴ AB的長為 m+? nn. 33 335.(2022北京豐臺二模 ,15)如圖 ,一輛小汽車與墻平行停放 ,汽車靠墻一側 OB與墻 MN平行且距 離為 ,小汽車車門的寬 AO為 ,當車門打開的角度 ∠ AOB為 40176。時 ,車門是否會碰到墻 ? (填“是”或“否” )。請簡述你的理由 . (參考數(shù)據(jù) :sin 40176?！?,cos 40176?！?,tan 40176?！?) ? 答案 否 。求出點 A到直線 OB的距離 ,通過計算可得 ,此距離小于 ,所以車門不會碰到墻 解析 過點 A作 AC⊥ OB,AC=AOsin 40176?！?=,所以車門不會碰到墻 . 三、解答題 (共 25分 ) 6.(2022北京朝陽一模 ,21)如圖 ,在△ ABC中 ,D是 AB邊上任意一點 ,E是 BC邊的中點 ,過點 C作 AB 的平行線 ,交 DE的延長線于點 F,連接 BF,CD. (1)求證 :四邊形 CDBF是平行四邊形 。 (2)若 ∠ FDB=30176。,∠ ABC=45176。,BC=4? ,求 DF的長 . ? 2解析 (1)證明 :∵ CF∥ AB, ∴∠ ECF=∠ EBD. ∵ E是 BC的中點 , ∴ CE=BE. ∵∠ CEF=∠ BED, ∴ △ CEF≌ △ BED. ∴ CF=BD. ∴ 四邊形 CDBF是平行四邊形 . (2)如圖 ,作 EM⊥ DB于點 M, ? ∵ 四邊形 CDBF是平行四邊形 ,BC=4? , ∴ BE=? BC=2? ,DF=2DE. 在 Rt△ EMB中 ,EM=BEsin∠ ABC=2. 在 Rt△ EMD中 ,DE=2EM=4. ∴ DF=8. 21227.(2022北京懷柔二模 ,21)已知 :如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AB⊥ BD,AD∥ BC,∠ ADB=45176。,∠ C=60176。, AB=? .求四邊形 ABCD的周長 . ? 6解析 ∵ AB⊥ BD,∴∠ ABD=90176。. 在 Rt△ ABD中 ,∠ ABD=90176。,∠ ADB=45176。,AB=? , ∴∠ DAB=45176。. ∴∠ DAB=∠ ADB.∴ AB=BD=? , 由勾股定理得 AD=? =2? . ∵ AD∥ BC,∴∠ ADB=∠ DBC=45176。. 過點 D作 DE⊥ BC,交 BC于點 E. ? ∴∠ DEB=∠ DEC=90176。. 在 Rt△ DEB中 ,∠ DEB=90176。,∠ DBC=45176。, 6622AB BD? 3∴∠ BDE=45176。,sin∠ DBC=? . ∴∠ DBC=∠ BDE,DE=? .∴ BE=DE=? . 在 Rt△ DEC中 ,∠ DEC=90176。,∠ C=60176。. ∵ sin C=? ,tan C=? , ∴ CD=2,CE=1.∴ BC=BE+CE=? +1. ∴ 四邊形 ABCD的周長 =AB+BC+CD+AD=? +? +1+2+2? =? +3? +3. DEBD3 3DECD DECE36 3 3 6 38.(2022北京門頭溝一模 ,26)在一節(jié)數(shù)學實踐課上 ,老師出示了這樣一道題 , 如圖 1,在銳角三角形 ABC中 ,∠ A、 ∠ B、 ∠ C所對的邊分別是 a、 b、 c,請用 a、 c、 ∠ B表示 b2. ? 經(jīng)過同學們的思考 , 甲同學說 :要將銳角三角形轉化為直角三角形來解決 ,并且不能破壞 ∠ B,因此可以經(jīng)過點 A,作 AD⊥ BC于點 D,如圖 2,大家認同 。 乙同學說 :要想得到 b2,要在 Rt△ ABD或 Rt△ ACD中解決 。 丙同學說 :那就要先求出 AD= ,BD= 。(用含 c,∠ B的三角函數(shù)表示 ) 丁同學順著他們的思路 ,求出 b2=AD2+DC2= (提示 :同角的正弦與余弦的平方和為 1). 請利用丁同學的結論解決如下問題 : 如圖 3,在四邊形 ABCD中 ,∠ B=∠ D=90176。,∠ BAD=60176。,AB=4,AD= AC的長 (補全圖形 ,直接寫 出結果即可 ). ? 圖 3 解析 AD=csin B,BD=ccos B. b2=a2+c22accos B. 補全圖形如圖 . ? 結果 :AC=2? . 79.(2022北京門頭溝一模 ,28)已知△ ABC,AB=AC,∠ BAC=α,在 BA的延長線上任取一點 D,過點 D 作 BC的平行線交 CA的延長線于點 E. (1)當 ∠ BAC=60176。時 ,如圖 1,依題意補全圖形 ,直接寫出 EC,BC,ED的數(shù)量關系 。 (2)當 ∠ BAC=90176。時 ,如圖 2,判斷 EC,BC,ED之間的數(shù)量關系 ,并加以證明 。 (3)當 ∠ BAC=α時 (0176。α180176。),請寫出 EC,BC,ED之間的數(shù)量關系并寫出解題思路 . ? 解析 (1)補全圖形如圖 . ? 數(shù)量關系 :EC=BC+ED. (2)數(shù)量關系 :BC+ED=? EC. 過 D作 DF∥ AC交 BC的延長線于 F點 . ? 2∵ DF∥ AC,ED∥ BC, ∴ 四邊形 EDFC為平行四邊形 . ∴ ED=CF,EC=DF. ∵ AB=AC, ∴∠ ABC=∠ ACB. ∵ ED∥ BC