【正文】 ),請寫出 EC,BC,ED之間的數(shù)量關(guān)系并寫出解題思路 . ? 解析 (1)補全圖形如圖 . ? 數(shù)量關(guān)系 :EC=BC+ED. (2)數(shù)量關(guān)系 :BC+ED=? EC. 過 D作 DF∥ AC交 BC的延長線于 F點 . ? 2∵ DF∥ AC,ED∥ BC, ∴ 四邊形 EDFC為平行四邊形 . ∴ ED=CF,EC=DF. ∵ AB=AC, ∴∠ ABC=∠ ACB. ∵ ED∥ BC,
。 (3)當(dāng) ∠ BAC=α?xí)r (0176。 (2)當(dāng) ∠ BAC=90176。cos B. 補全圖形如圖 . ? 結(jié)果 :AC=2? . 79.(2022北京門頭溝一模 ,28)已知△ ABC,AB=AC,∠ BAC=α,在 BA的延長線上任取一點 D,過點 D 作 BC的平行線交 CA的延長線于點 E. (1)當(dāng) ∠ BAC=60176。sin B,BD=c,∠ BAD=60176。 丙同學(xué)說 :那就要先求出 AD= ,BD= 。. ∵ sin C=? ,tan C=? , ∴ CD=2,CE=1.∴ BC=BE+CE=? +1. ∴ 四邊形 ABCD的周長 =AB+BC+CD+AD=? +? +1+2+2? =? +3? +3. DEBD3 3DECD DECE36 3 3 6 38.(2022北京門頭溝一模 ,26)在一節(jié)數(shù)學(xué)實踐課上 ,老師出示了這樣一道題 , 如圖 1,在銳角三角形 ABC中 ,∠ A、 ∠ B、 ∠ C所對的邊分別是 a、 b、 c,請用 a、 c、 ∠ B表示 b2. ? 經(jīng)過同學(xué)們的思考 , 甲同學(xué)說 :要將銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來解決 ,并且不能破壞 ∠ B,因此可以經(jīng)過點 A,作 AD⊥ BC于點 D,如圖 2,大家認同 。,sin∠ DBC=? . ∴∠ DBC=∠ BDE,DE=? .∴ BE=DE=? . 在 Rt△ DEC中 ,∠ DEC=90176。,∠ DBC=45176。. 過點 D作 DE⊥ BC,交 BC于點 E. ? ∴∠ DEB=∠ DEC=90176。,AB=? , ∴∠ DAB=45176。. 在 Rt△ ABD中 ,∠ ABD=90176。,∠ C=60176。,BC=4? ,求 DF的長 . ? 2解析 (1)證明 :∵ CF∥ AB, ∴∠ ECF=∠ EBD. ∵ E是 BC的中點 , ∴ CE=BE. ∵∠ CEF=∠ BED, ∴ △ CEF≌ △ BED. ∴ CF=BD. ∴ 四邊形 CDBF是平行四邊形 . (2)如圖 ,作 EM⊥ DB于點 M, ? ∵ 四邊形 CDBF是平行四邊形 ,BC=4? , ∴ BE=? BC=2? ,DF=2DE. 在 Rt△ EMB中 ,EM=BE (2)若 ∠ FDB=30176。sin 40176?！?) ? 答案 否 ?！?,cos 40176。時 ,車門是否會碰到墻 ? (填“是”或“否” )?！?) ? 答案 解析 過點 A作 AE∥ BD交 CD于 E, ∵ tan∠ CAE=? =? , ∴ ≈ ? ,∴ CE= , ∴ CD=CE+DE=+= . CEAE CEBD20CE4.(2022北京朝陽二模 ,11)2022年 5月 5日我國自主研發(fā)的大型飛機 C919成功首飛 .下圖是一種 機翼的示意圖 ,用含有 m、 n的式子表示 AB的長 : . ? 答案 m+? nn 33解析 過點 C作 CE垂直 BA,交 BA的延長線于點 E,則四邊形 CFBE為長方形 ,且長方形的長為 m+ ? n,寬為 n.∵∠ ACE=45176?！?,cos 63176。tan A=300? 米 ,DB=CD=300米 .∴ AB= (300? +300)米 .故選 D. 33二、填空題 (每小題 3分 ,共 9分 ) 3.(2022北京石景山一模 ,15)在距辦公樓 20 m的點 B處 ,用高為 m的測角儀測得辦公樓頂點 C 的仰角為 63176。,∠ B=45176。,另一端 B處的俯角為 45176。 176。 176?！? 列角度中正弦值最接近 ? ( ) 答案 A 通過量角器可以發(fā)現(xiàn) ,圓和度數(shù)的交點的半圓半徑即相應(yīng)銳角的正弦值的近似值 . 所以正弦值最接近 70176。 提升題組 (時間 :35分鐘 分值 :40分 ) 1.(2022北京海淀二模 ,10)利用量角器可以制作“銳角正弦值速查卡” .制作方法如下 :如圖 ,設(shè) OA=1,以 O為圓心 ,分別以 ,… , ,再以 OA為直徑作☉ “銳角正弦值速查卡”可以讀出相應(yīng)銳角正弦的近似值 .例如 :sin 60176。=? , ∴ PD=PC=28, 在 Rt△ PDC中 ,∠ PDC=90176。, ∴ PD=PB方向勻速駛離港口 P, 現(xiàn)兩船同時出發(fā) ,2小時后乙船在甲船的正東方向 .求乙船的航行速度 .(結(jié)果精確到個位 ,參考 數(shù)據(jù) :? ≈ ,? ≈ ,? ≈ ) ? 2 3 5解析 依題意 ,設(shè)乙船的航行速度為每小時 x海里 ,2小時后甲船在點 B處 ,乙船在點 C處 ,則 PC= 2x. 過 P作 PD⊥ BC于 D, ? ∴ BP=86215=56, 在 Rt△ PDB中 ,∠ PDB=90176。=12? . ∵ DE⊥ AC,AE=CE, ∴ AD=DC=13. ∴ 四邊形 ABCD的周長為 AB+BC+CD+AD=38+12? . 22AE DE? 2212 5?337.(2022北京延慶一模 ,24)如圖 ,甲船在港口 P的南偏西 60176。,AC=AE+CE=24, ∴ BC=12,AB=AC,求四邊形 ABCD的周長 . ? 解析 (1)∵∠ ABC=90176。,DE⊥ AC于點 E,且 AE=CE,DE=5, EB=12. (1)求 AD的長 。 sin 60176。,∴∠ CAD=30176。,∴∠ DAB=30176。,然后向建筑 物 AB前進 10 m到達點 D處 ,又測得點 A的仰角為 60176。sin 34176。≈ , tan 34176。的斜坡從 A滑行至 B,已知 AB= 500米 ,則這名滑雪運動員的高度下降了約 米 .(參考數(shù)據(jù) :sin 34176。.∴ h=? BC=? 8=4 D. ? 12 123.(2022北京懷柔二模 ,8)如圖 ,在地面上的點 A處測得樹頂 B的仰角為 α,AC=7米 ,則樹高 BC為 ? ( ) ? α米 α米 α米 D.(7+α)米 答案 C ∵ tan α=? ,∴ BC=tan α,BC的長是 8 m,則乘電梯從點 B到點 C上升的高度 h是 ? ( ) ? ? m m C.? ? m m 3833答案 D ∵∠ ABC=150176。 B.? tan ? 176。,CD是 AB邊上的中線 ,∴ AD=CD,∴∠ ACD=∠ A,∴ tan∠ ACD=tan∠ A =? =? =? . BCAC 68 342.(2022北京西城一模 ,7)如圖 ,小明在地面上放了一個平面鏡 ,選擇合適的位置 ,剛好在平面鏡 中看到旗桿的頂部 ,此時小明與平面鏡的水平距離為 2 m,旗桿底部與平面鏡的水平距離為 16 m,則旗桿的高度為 (單位 :m)? ( ) ? A.? D.? 163 643答案 C 如圖 : ? 由題意得 ? =? ,∴ ? =? .∴ DE=12 C. ABBC DECD 1 . 52 16DE思路分析 通過讀題 ,首先要標(biāo)清邊角條件 ,并借助解直角三角形的相關(guān)知識來解題 . 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要明確平面鏡的性質(zhì) ,從而得到反射角等于入射角 ,進而才能借 助解直角三角形或相似的相關(guān)知識來解決 . 3.(2022北京延慶一模 ,6)如圖 ,在 44的正方形網(wǎng)格中 ,tan α的值等于 ? ( ) ? B.? C.? D.? 12 55 255答案 A 如圖 ,設(shè)每個小正方形邊長為 1,則 AB=2,CB=1,∴ tan α=? = A. ? ABBC考點二 解直角三角形 1.(2022北京海淀二模 ,6)我國古代有一種通過測量日影長度來確定時間的儀器 ,稱為圭表 .下圖 是一個根據(jù)北京的地理位置設(shè)計的圭表 ,其中 ,立柱 AC的高為 ,冬至?xí)r北京的正午日光入 射角 ∠ ABC約為 176。 基礎(chǔ)題組 1.(2022北京燕山一模 ,6)如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。sin 60176。sin 30176。,∠ EAH=60176。CD段長為 30 km,求兩高速公路間的距離 (結(jié)果保留根號 ). ? 解析 如圖 ,過點 A作 AB的垂線交 DC的延長線于點 E,過點 E作 l1的垂線與 l l2分別交于點 H、 F,則 HF⊥ l2. ? 由題意知 AB⊥ BC,BC⊥ CD,又 AE⊥ AB, ∴ 四邊形 ABCE為矩形 ,∴ AE=BC,AB=EC.? (2分 ) ∴ DE=DC+CE=DC+AB=50. 又 AB與 l1成 30176。角 ,長為 20 km?！?247。=(千米 ),? (4分 ) ∴ AB=AH+BH=+=(千米 ).? (5分 ) (2)在 Rt△ BCH中 ,BC=CH247。tan 37176。cos 25176?！?10=(千米 ),? (2分 ) AH=ACsin∠ CAB=AC≈ ,tan 37176?！?,cos 25176。.因城市規(guī)劃的需要 ,將在 A,B兩地之間修建一條筆直的公路 . (1)求改直后的公路 AB的長 。DG=? 3624=432(平方米 ). PEME300 . 6 012 12? ∴ 需要填筑土石方 432100=43 200(立方米 ).? (7分 ) 設(shè)施工隊原計劃平均每天填筑土石方 x立方米 , 根據(jù)題意 ,得 10+? =? 20.? (9分 ) 解方程 ,得 x= ,x=864是原方程的根且符合題意 . 答 :施工隊原計劃平均每天填筑土石方 864立方米 .? (10分 ) 43 200 102 xx? 43 200x23.(2022浙江寧波 ,21,8分 )如圖 ,從 A地到 B地的公路需經(jīng)過 C地 ,圖中 AC=10千米 ,∠ CAB=25176。,PE=30米 . 在 Rt△ PEN中 ,PE=NE=30(米 ).? (2分 ) 在 Rt△ PEM中 ,tan 31176。,∠ PME=α=31176?！?,sin 31176。.已知 MN所在直線與 PC所在直線垂直 ,垂足為 E,且 PE長為 30米 . (1)求兩漁船 M,N之間的距離 (結(jié)果精確到 1米 )。(+x). ∴ x=? ≈ ? =. 因此 ,B處距離碼頭 O大約 km.? (8分 ) COAODOBO36 1???? 36 1???22.(2022重慶 ,24,10分 )某水庫大壩的橫截面是如圖所示的四邊形 ABCD,其中 AB∥ 上有一錡望臺 PC,PC正前方有兩艘漁船 M,N,觀察員在錡望臺頂端 P處觀測到漁船 M的俯角 α為 31176。.? (4分 ) ∵ DC=DOCO, ∴ 36=xtan∠ DBO=x=+x.? (2分 ) 在 Rt△ DBO中 ,∠ DBO=58176。tan∠ CAO=(45+x)≈ ) ? 解析 設(shè) B處距離碼頭 Ox km. 在 Rt△ CAO中 ,∠ CAO=45176。≈ ,cos 58176。.輪船甲自西向東勻速行駛 ,同時輪船乙沿正北方向勻速行駛 ,它們的速 度分別為 45 km/h和 36 km/ h,輪船甲行駛至 B處 ,輪船乙行駛至 D處 ,測得 ∠ DBO=58176。25=1(小時 ).? (7分 ) 在 Rt△ ADC中 ,AC=? x≈ 20= , ∴ A船到達 C船處約需時間 :247。, ∴ x=? ≈ ? =20.? (6分 ) ∴ BC=? =? ≈ 20247。,即 x=(x5),設(shè) CD=x海里 ,則 AD=CD=x海里 . ∴ BD=ADAB=(x5)海里 .? (3分 ) 在 Rt△ BDC中 ,CD=BD≈ ? ,? ≈ ? ? 45 35432解析 過點 C作 CD⊥ AB交 AB延長線于點 D,則 ∠ CDA=90176。≈ ? ,cos 53176。方向 ,B船測得漁船 C在其南偏東 53176。cos α=600cos 75176。sin β=600sin 45176。≈ ,cos 75176。,β=45176。. 答 :第二次施救時云梯與水平線的夾角 ∠ BAD的度數(shù)約為 71176。, 在 Rt△ ACE中 ,tan∠ CAE=? , ∴ CE=AEtan 60176。) ? 解析 如圖 ,延長 AD,交 BC所在的直線于點 E, ? 由題意 ,得 BC=17米 ,AE=15米 ,∠ CAE=60176。在 Rt△ PCB中利用 ∠ B的三角函 數(shù)求出 BC和 PB即可解決問題 . 解題關(guān)鍵 解此題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 ,根據(jù)實際情況建立數(shù)學(xué)模型 ,正確畫 出圖形 ,找準三角形 . 18.(2022貴州貴陽 ,20,8分 )貴陽市某消防支隊在一幢居民樓前進行消防演習(xí) ,如圖所示 ,消防官