【正文】 . 12122 2CDOAACAB2254t? 58 245∴ △ BDC∽ △ AOB,∴ ? =? , ∴ ? =? ,解得 t=? . BDOABCAB4t 58 3259.(2022邢臺臨城一模 ,19)如圖 ,△ ABC的三條中線 AD,BE,CF交于點 G,若 S△ ABC=12,則圖中陰影 部分面積是 . ? 答案 4 解析 ∵ CF為△ ABC的中線 , ∴ S△ BFC=? S△ ABC, 連接 EF,∵ 點 E、 F分別為 AC、 AB的中點 , ∴ EF∥ CB,EF=? BC, ∴ ? =? =? ,∴ FG=? CF, ∴ S△ BFG=? S△ BFC=? S△ ABC, 同理 S△ CGE=? S△ ABC, ∴ S陰影 =S△ BFG+S△ CGE=? S△ ABC, ∵ S△ ABC=12,∴ S陰影 =4. 1212FGCG EFBC 12 1313 16161310.(2022邯鄲二模 ,19)如圖 ,已知△ ABC的周長是 20,BO,CO分別平分 ∠ ABC和 ∠ ACB,OD⊥ BC 于 D,且 OD=3,則△ ABC的面積是 . ? 答案 30 解析 如圖 ,過點 O作 OE⊥ AB,OF⊥ AC,垂足分別為 E,F. ∵ BO平分 ∠ ABC,OD⊥ BC,OE⊥ AB, ∴ DO=EO=3,同理 DO=FO=3. ∴ S△ ABC=S△ OBC+S△ AOB+S△ AOC=? BC3+? AB3+? AC。, ∴ △ ADC∽ △ BOA,∴ ? =? , ∴ ? =? ,解得 t=? 。 (2)當(dāng)△ ABC的邊與坐標軸平行時 ,t= . ? 答案 (1)4? (2)? 和 ? 2245 325解析 (1)∵ BC=AC=5,CD⊥ AB, ∴ AD=BD=? AB=4. ∵∠ AOB=90176。2=108176。, ∴∠ OEC=180176。, ∵ AB=AC,∠ BAO=∠ CAO,AO=AO, ∴ △ BAO≌ △ CAO,∴ OB=OC, ∴∠ OBC=∠ OCB=36176。27176。, ∵ OD垂直平分 AB, ∴ OA=OB,∴∠ BAO=∠ OBA=27176。, ∴∠ ABC=∠ ACB=63176。,∠ BAC的平分線與 AB的垂直平 分線交于點 O,將 ∠ C沿 EF(E在 BC上 ,F在 AC上 )折疊 ,點 C與點 O恰好重合 ,則 ∠ OEC的度數(shù)為 . ? 答案 108176。,∴∠ C=21176。 176。 176。AD, 121212 3212 1412 12 32 34∴ S△ DAC∶ S△ ABC=? ∶ ? =1∶ 3,故④正確 . 14 A C A D???????34 A C A D???????5.(2022邯鄲二模 ,9)如圖 ,△ ABC中 ,∠ ABC=63176。BC=? ACCD=? AC ④ 如圖 ,∵ 在直角△ ACD中 ,∠ 2=30176。 ③ ∵∠ 1=∠ B=30176。, 即 ∠ ADC=60176。, ∴∠ 3=90176。,∴∠ CAB=60176。④ S△ DAC∶ S△ ABC=1∶ 3. ? 12答案 D ①根據(jù)作圖的過程可知 ,AD是 ∠ BAC的平分線 ,故①正確 。② ∠ ADC=60176。,∠ B=30176。,∴∠ ACD=70176。,∴ CD=BD, ∵∠ ADC=∠ B+∠ BCD=40176。 在選項 D的圖中 ,可使 ∠ BCD=20176。, ∴∠ ACD=55176。,∴ CD=BD, ∵∠ ADC=∠ B+∠ BCD=55176。 在選項 C的圖中 ,可使 ∠ BCD=176。,∠ A=70176。(CD為剪切線 ), ∵∠ BCD=∠ B=35176。, ∵ AE∥ BC,∴∠ ABC=∠ EAB=30176。,AB=8,則點 A到 BC的距離是 ? ( ) ? ? 3答案 A 過點 A作 AF⊥ CB,垂足為 F,∵ DE垂直平分 AB, ∴ AE=BE,∴∠ EAB=∠ ABE, ∵∠ AEB=120176。,∴∠ 1+∠ 2=60176。E, 由折疊可得 ∠ DAE=∠ DA39。+∠ EA39。+∠ DA39。+∠ EA39。+∠ DA39。 答案 B 連接 AA39。 176。E與 AE重合 , 若 ∠ A=30176。 提升題組 (時間 :30分鐘 分值 :40分 ) 一、選擇題 (每小題 2分 ,共 10分 ) 1.(2022保定定興二模 ,7)如圖 ,將 ∠ BAC沿 DE向 ∠ BAC內(nèi)折疊 ,使 AD與 A39。=80176。, ∴∠ DAE=∠ BAD∠ BAE=130176。50176。,∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,∴ AD∥ BC, ∴∠ B+∠ BAD=180176。,依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡 ,計算 ∠ DAE= . ? 答案 80176。乙同學(xué) 作了 ∠ ABC的平分線和底邊 BC的垂直平分線 ,因為 AB=AC,所以 BC的垂直平分線平分 ∠ BAC, 則點 O為△ ABC的內(nèi)心 ,故選 D. 2.(2022石家莊十八縣一模 ,18)如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。 ② 作 BC的垂直平分線 EF。 ② 作 BC的垂直平分線 FG。=40176。70176。. ∴∠ BAC=180176。, ∵∠ DAC=2∠ ABD,∴∠ DAC=70176。,∠ DAC=2∠ ABD時 ,求 ∠ BAC的度數(shù) . ? 解析 (1)證明 :∵ BD平分 ∠ ABC,∴∠ ABD=∠ DBC, ∵ AB=AD,∴∠ ADB=∠ ABD,∴∠ ADB=∠ DBC,∴ AD∥ BC. (2)① 過點 D作 DF⊥ BC于 F, ∵ BD平分 ∠ ABC,DE⊥ AB,DF⊥ BC,DE=6 cm, ∴ DF=DE=6 cm,即點 D到 BC的距離為 6 cm. ② ∵ BD平分 ∠ ABC,∠ ABD=35176。 (2)① 若 DE=6 cm,求點 D到 BC的距離 。. 依此類推 ,第 5個三角形中以 A5為頂點的內(nèi)角的度數(shù)為 5176。, 同理可得 ∠ EA3A2=? ∠ DA2A1=20176。,A1B=CB,∴∠ BA1C=∠ C=80176。在邊 A2D上任取一點 E,延長 A1A2到 A3,使 A2A3=A2E,得到第 3 個△ A2A3E,…… ,按此做法繼續(xù)下去 ,則第 5個三角形中以 A5為頂點的內(nèi)角的度數(shù)是 . ? 答案 5176。,A1B=CB。=42176。, ∴∠ DBC=90176。. 在 Rt△ BDC中 ,∠ BDC=90176。)247。,∴∠ ABC=∠ C=(180176。 176。 176。,CD=BD,∠ ADC=∠ A,AC=CD,選項 D符合題意 ,故選 B. 3.(2022石家莊裕華一模 ,9)等腰三角形頂角的度數(shù)是 84176。 若 ∠ B=∠ BCD=40176。,CD=AD,∴∠ ACD=50176。 若 ∠ B=∠ BCD=25176。,CD=BD,∴∠ ACD=55176。 若 ∠ B=∠ BCD=176。,CD=BD,∴∠ ACD=80176。 答案 B 設(shè)過點 C的直線交 AB于 D. 若 ∠ B=∠ BCD=10176。 176。,將△ ABC沿過點 C的一條直線進行裁 剪 ,得到兩個新的三角形 ,若這兩個新的三角形都是等腰三角形 ,則 ∠ B的度數(shù)不可能是 ? ( ) ? 176。, ∴∠ B=30176。,AC=15 m,那么河寬 AB為 ? ( ) ? m ? m ? m ? m 3 3 3答案 A ∵∠ CAD是△ ABC的外角 , ∴∠ CAD=∠ BCA+∠ B, ∵∠ CAD=60176。CE. ∵ AB=2,BC=4,∴ 4AD=2CE,∴ ? =? =? . 12 12ADCE 24 12考點二 等腰三角形 1.(2022邢臺寧晉質(zhì)檢 ,13)如圖 ,小明為了測量河寬 AB,先在 BA延長線上取一點 D,再在同岸取一 點 C,測得 ∠ CAD=60176。CE, ∴ BC,故選 A. 2.(2022唐山路南一模 ,16)已知△ ABC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示 ,點 A、 B、 C、 P均在格 點上 ,則點 P叫做△ ABC的 ? ( ) ? 答案 B 連接并延長 AP與 BC的交點為 BC的中點 ,連接并延長 CP與 AB的交點為 AB的中點 ,所 以點 P是△ ABC的三條中線的交點 ,故選 B. 3.(2022唐山路南一模改編 ,11)如圖 ,在△ ABC中 ,AB=6,AC=10,點 D,E,F分別是 AB,BC,AC的中點 , 則四邊形 ADEF的周長為 . ? 答案 16 解析 ∵ 點 D、 E分別是 AB、 BC的中點 ,AC=10, ∴ DE∥ AC,DE=? AC=5, 同理 ,EF∥ AB,EF=? AB=3. ∵ DE∥ AC,EF∥ AB, ∴ 四邊形 ADEF為平行四邊形 , ∴ 四邊形 ADEF的周長 =(5+3)2=16. 12124.(2022保定清苑一模改編 ,15)圖 1為一張三角形 ABC紙片 ,點 P在 BC上 ,將 A折至 P時 ,出現(xiàn)折痕 BD,其中點 D在 AC上 ,如圖 2所示 .若△ ABC的面積為 80,△ ABD的面積為 30,則 AB與 PC的長度之 比為 . ? 答案 3∶ 2 解析 由翻折可得 S△ ABD=S△ PBD=30, ∵ S△ ABC=80,∴ S△ CDP=20, ∴ S△ PBD∶ S△ CDP=3∶ 2,所以 PB∶ PC=3∶ 2, ∵ AB=PB,∴ AB∶ PC=3∶ 2. 5.(2022唐山豐南一模 ,20)如圖 ,已知△ ABC中 ,AB=2,BC=4,畫出△ ABC的高 AD和 CE,并求出 ? 的值 . ? ADCE解析 AD和 CE如圖 . ? ∵ S△ ABC=? BC40176。,∠ B=40176。 176。 176。,∠ ACD=120176。 (2)在 (1)的條件下 ,判斷直線 DE與直線 AC的位置關(guān)系 (不要求證明 ). 解析 (1)作圖正確 (實線、虛線均可 ), 結(jié)論 :DE即為所求 .? (3分 ) (2)DE∥ AC.? (6分 ) 考點一 三角形的有關(guān)概念 三年模擬 A組 2022— 2022年模擬 ∠ A∠ B=105176。,∴∠ A=∠ CDA=50176。,則 ∠ ACB的度數(shù)為 . ? 12答案 105176。兩點確定一條直線 解析 連接 PA、 QA、 PB、 PA =QA,PB=QB,又 AB=AB, ∴ △ PAB≌ △ QAB(三邊分別相等的兩個三角形全等 ), ∴∠ PAB=∠ QAB(全等三角形的對應(yīng)角相等 ). 由兩點確定一條直線作直線 PQ.∵ PA =QA, ∴ AB⊥ PQ(等腰三角形的頂角平分線與底邊上的高重合 ). 7.(2022河南 ,11,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,按以下步驟作圖 :① 分別以點 B、 C為圓心 ,以大于 ? BC的 長為半徑作弧 ,兩弧相交于 M、 N兩點 。全等三角形的對應(yīng)角相等 。 (2)分別以點 A,B為圓心 ,AP,BP長為半徑作弧 ,兩弧相交于點 Q。, ∴∠ AQP+∠ ABQ=90176。, ∴∠ BPD+∠ PBD=90176。三角形的中位線平行于三角形的第三邊 . 5.(2022福建 ,19,8分 )如圖 ,△ ABC中 ,∠ BAC=90176。(保留作圖痕跡 ) (2)完成下面的證明 . 證明 :∵ AB= ,CB= , ∴ PQ∥ l( )(填推理的依據(jù) ). 解析 (1)補全圖形 ,如圖所示 : (2)AP。 ② 在直線 l上取一點 C(不與點 A重合 ),作射線 BC,以點 C為圓心 ,CB長為半徑畫弧 ,交 BC的延長線 于點 Q。直角三角形斜 邊上的中線等于斜邊的一半 。 (3)以 O為圓心 ,OA長為半徑作☉ O. ☉ O即為所求作的圓 . 12請回答 :該尺規(guī)作圖的依據(jù)是 . 答案 到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上 。. ? 求作 :Rt△ ABC的外接圓 . 作法 :如圖 . (1)分別以點 A和點 B為圓心 ,大于 ? AB的長為半徑作弧 , 兩弧相交于 P,Q兩點 。因為 ABAC,所以 ∠ ABC≠ ∠ ACB,即 ∠ DAE≠ ∠ EAC,故選項 D錯誤 ,故選 D. 思路分析 由作圖痕跡可知 ,在三角形 ABC的外角 ∠ CAD內(nèi)畫了一個新角 ∠ DAE,且 ∠ DAE= ∠ B,由此得到其他相關(guān)的結(jié)論 . 2.(2022四川成都 ,14,4分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,按以下步驟作圖 :① 分別以點 A和 C為圓心 ,以大 于 ? AC的長為半徑作弧 ,兩弧相交于點 M和 N。∠ C,∠ CAD=90176。. 12此時 P,O,B在一條直線上 ,△ PAB為直角三角形且 ∠ APB為直角 , 所以 AB=2PE=2? PQ=?