【正文】 2 2解析 過點 D作 DF⊥ AC于點 F. 在 Rt△ DEF中 ,∠ DFE=90176。,∠ CED=45176。 167。 解直角三角形 中考數(shù)學(xué) (北京專用 ) 20222022年北京中考題組 五年中考 1.(2022北京 ,19,5分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,對角線 AC,BD交于點 E,∠ BAC=90176。, ∠ DCE=30176。,∠ DEF=45176。,∠ DCF=30176。,∠ AEB=∠ CED=45176。DF+? AC (2)若 AB=5,sin∠ CBF=? ,求 BC和 BF的長 . ? 1255解析 (1)證明 :連接 AE. ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ AEB=90176。. ∵ AB=AC,∴∠ 1=? ∠ CAB. ∵∠ CBF=? ∠ CAB, ∴∠ 1=∠ CBF,∴∠ CBF+∠ 2=90176。. ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴ 直線 BF是☉ O的切線 . ? (2)過點 C作 CG⊥ AB于點 G. 1212∵ sin∠ CBF=? ,∠ 1=∠ CBF,∴ sin∠ 1=? . ∵∠ AEB=90176。sin∠ 1=? . ∵ AB=AC,∠ AEB=90176。,AC=1,BC=3,則 ∠ A的正切值為 ? ( ) B.? C.? D.? 13 1010 3 1 010答案 A ∵ AC=1,BC=3,∠ C=90176。, ∴∠ ABD+∠ CBE=90176。, ∴ tan∠ BAC=? =1,故選 B. ? ,9 0 ,A D B EA D B B E CB D C E???? ? ? ? ??? ??BCAB3.(2022黑龍江哈爾濱 ,8,3分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,BC=2AB,則 cos A= ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 52 12255 55答案 D 設(shè) AB=k(k0),則 BC=2k, ∵∠ B=90176。和南偏西 45176。,∠ A=40176。 50176。 50176。,∠ A=40176。,又 tan B=? ,∴ AC=BCtan B=3tan 50176。,∠ A=60176。.E為 AB的中點 ,過點 E作 EF⊥ CD于點 AD=4 cm,則 EF的長為 cm. ? 答案 (? +? ) 2 6解析 如圖 ,連接 DE,過點 E作 EM⊥ BD于點 M,設(shè) EF交 BD于點 N,∵ AD=4 cm,∠ A=60176。,∴ 在 Rt△ ENM中 ,EN=? EM=2? cm,MN=EM=2 cm, ∴ DN=DMMN=? DBMN=(2? 2)cm,在 Rt△ DFN中 ,FN=? DN=(? ? )cm,∴ EF=EN+FN= 2? +? ? =(? +? )cm. ? 312 122 2123 226 22 6 2 2 6一題多解 過點 A作 AG⊥ CD的延長線于點 G,∵∠ CDB=∠ CBD=45176。,∴∠ ADG= 45176。,∴ BD=? AD=4? cm,∵∠ CBD=45176。 方向 ,且與航母相距 80海里 ,再航行一段時間后到達(dá) B處 ,測得小島 C位于它的北偏東 37176?！?,cos 70176。≈ ,sin 37176?！?,tan 37176。,∠ BCD=37176。 (2)用 測得 BC=a米 ,CD=b 米 . 計算過程 解析 測量步驟 :(1)測角儀 .? (1分 ) (2)皮尺 .? (2分 ) 計算過程 :由題意可知 ∠ ADE=α,DE=BC=a,BE=CD=b. 在 Rt△ ADE中 ,∠ AED=90176。tan∠ ADE.? (4分 ) ∴ AE=atan α. ∴ AB=AE+BE=(b+atan α)米 .? (7分 ) 評分說明 :計算結(jié)果沒寫單位或不加括號不扣分 . AEDE14.(2022黑龍江哈爾濱 ,22,7分 )如圖 ,方格紙中每個小正方形的邊長均為 1,線段 AB的兩個端點 均在小正方形的頂點上 . (1)在圖中畫出以 AB為底、面積為 12的等腰△ ABC,且點 C在小正方形的頂點上 。+sin283176。+sin268176。+sin261176。+sin253176。+sin245176。α)=1. (1)當(dāng) α=30176。α)=1是否成立 。若不成立 ,請舉出一個反例 . 222??????222??????解析 (1)當(dāng) α=30176。α)=sin230176。=? +? =? +? =1. 所以 ,當(dāng) α=30176。α)=1成立 . (2)小明的猜想成立 .證明如下 : 如圖 ,△ ABC中 ,∠ C=90176。α. sin2α+sin2(90176。.然后沿在同一剖面的斜坡 AB行走 13米至坡頂 B 處 ,然后再沿水平方向行走 6米至大樹底端 D處 ,斜面 AB的坡度 (或坡比 )i=1∶ ,那么大樹 CD 的高度約為 (參考數(shù)據(jù) :sin 36176?！?,tan 36176。tan 36176。的方向 ,從 B測得船 C在北偏東 176。, ∴ AB=EB=2 km,∴ AE=2? km, ∵∠ EBC=176。, ∴∠ EBC=∠ ECB,∴ EB=EC=2 km, ∴ AC=AE+EC=(2? +2)km. 在 Rt△ ADC中 ,∠ CAD=45176。角 ,路燈采用圓錐形燈罩 ,燈罩的軸線 DO與燈臂 CD垂直 .當(dāng)燈罩的軸線 DO通過公路路面的中心線時照明效果最佳 .此時 ,路燈的燈柱 BC高度應(yīng)該設(shè)計為 ? ( ) ? A.(112? )米 B.(11? 2? )米 C.(112? )米 D.(11? 4)米 2 3 23 3答案 D 延長 BC、 OD交于點 E, ∵ CD⊥ OD,∠ DCB=120176。, ∵∠ B=90176。,則點 A到 BC的距離為 cm(參考數(shù)據(jù) :sin 20176。≈ ,sin 40176。≈ cm,可用科學(xué)計算器 ). ? 答案 解析 過點 A作 AD⊥ BC于點 D,因為 AB=AC,∠ BAC=40176。. 在 Rt△ ADC中 ,AD=AC≈ 15= cm. 125.(2022浙江寧波 ,17,4分 )為解決停車難的問題 ,在如圖一段長 56米的路段開辟停車位 ,每個車 位是長 5米、寬 ,矩形的邊與路的邊緣成 45176。=? ≈ , ? CE=5sin 45176。sin 45176。? ≈ , ()247。+1≈ 16+1=17(個 ). 故這個路段最多可以劃出 17個這樣的停車位 . 222222答案 17 6.(2022天津 ,22,10分 )如圖 ,甲、乙兩座建筑物的水平距離 BC為 78 m,從甲的頂部 A處測得乙的 頂部 D處的俯角為 48176。,求甲、乙建筑物的高度 AB和 DC(結(jié)果取整 數(shù) ). 參考數(shù)據(jù) :tan 48176?！?. ? 解析 如圖 ,過點 D作 DE⊥ AB,垂足為 E. ? 則 ∠ AED=∠ BED=90176。,∠ ACB=58176。,∠ DCB=90176。tan 58176。tan 48176。tan 58176。tan 48176。 (2)若 AB=2,求△ AFD的面積 . ? 解析 (1)證明 :∵ AE是 BC邊上的高 , ∴∠ AEB=90176。, ∴ △ AED是直角三角形 . ∵ F是 ED的中點 , ∴ AF=EF=FD. ∵ AE與 AF關(guān)于 AG對稱 , ∴ AE=AF, ∴ AE=AF=EF, ∴ △ AEF是等邊三角形 . (2)由 (1)知△ AEF是等邊三角形 , ∴∠ EFA=∠ EAF=∠ AEF=60176。,AG⊥ EF,設(shè)垂足為點 N, ∴∠ B=90176。. ∵ 在 Rt△ ABE中 ,AE=ABsin B=? ,∴ FD=AE=? . ∵ 在 Rt△ AEN中 ,AN=AEsin∠ AEN=? , ∴ S△ AFD=? FD, 平面鏡 E的俯角為 45176?！?,tan 176。, ∴∠ AEF=90176。, 在△ ABE和△ FDE中 ,∠ ABE=∠ FDE=90176。, ∴ AB=FDtan 176。, 即 ? =tan 176。,從而可推出△ ABE∽ △ FDE,最后由相似三角形 中對應(yīng)邊的比相等求解 。. (1)如圖 1,分別過 A、 C兩點作經(jīng)過點 B的直線的垂線 ,垂足分別為 M、 N,求證 :△ ABM∽ △ BCN。 (3)如圖 3,D是邊 CA延長線上一點 ,AE=AB,∠ DEB=90176。, ∴∠ MAB+∠ MBA=∠ NBC+∠ MBA=90176。,∠ BAP=∠ C, ∴∠ MPC=∠ C,∴ CN=PN=2t. 易得△ ABP∽ △ CBA, ∴ AB2=BP( BP+4t), ∴ BP=t,∴ BC=5t, ∴ tan C=? . PNAB PMAP 255 5555? (3)在 Rt△ ABC中 ,sin∠ BAC=? =? ,∴ tan∠ BAC=? =? . 過點 A作 AG⊥ BE于點 G,過點 C作 CH⊥ BE交 EB的延長線于點 H, ∵∠ DEB=90176。 (2)作 PM⊥ AP,MN⊥ PC,先判斷出△ PMN∽ △ APB,得出 ? =? =? ,設(shè) PN=2t,則 AB=? t,再 判斷出△ ABP∽ △ CBA,設(shè) PN=2t,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得 BP=t,則 BC=5t,即可得出結(jié)論 。,升旗臺底部到教學(xué)樓底部的距離 DE =7米 ,升旗臺坡面 CD的坡度 i=1∶ ,坡長 CD=2米 ,若旗桿底部到坡面 CD的水平距離 BC=1米 , 則旗桿 AB的高度約為 ? ( ) (參考數(shù)據(jù) :sin 58176?！?,tan 58176。=? ≈ , 解得 AB≈ (米 ),故選 B. CJDJ 10 . 7 5 432585 65465AMEM 85465AB?思路分析 延長 AB交 ED的延長線于 M,作 CJ⊥ DM于 J,則四邊形 BMJC是矩形 .在 Rt△ CJD中求 出 CJ、 DJ的長 ,再根據(jù) tan∠ AEM=? 即可解決問題 . AMEM方法總結(jié) 解直角三角形的實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是根據(jù)實際情況建立數(shù)學(xué)模型 ,正確畫出圖 形 ,找到直角三角形 .根據(jù)題目中的已知條件 ,將實際問題抽象為解直角三角形的數(shù)學(xué)問題 ,畫 出平面幾何圖形 ,弄清已知條件中各量之間的關(guān)系 ,若圖中有直角三角形 ,根據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)行計 算即可 。, 高杠的支架 BD與直線 AB的夾角 ∠ DBF為 176?！?,cos 176?！?,sin 176?！?,tan 176。,樓高 AB=60米 , 在斜坡下的點 C處測得樓頂 B的仰角為 60176。,其中點 A,C, E在同一直線上 . (1)求坡底 C點到大樓距離 AC的值 。, ∴ AC=? =20? 米 . (2)過點 D作 DF⊥ AB于點 F,則四邊形 AEDF為矩形 ,∴ AF=DE,DF=AE. ? 設(shè) CD=x米 ,在 Rt△ CDE中 ,DE=? x米 ,CE=? x米 , 在 Rt△ BDF中 ,∠ BDF=45176。 28176?！?, cos 38176?！?,sin 28176?！?,tan 28176。 (2)該小組要寫出一份完整的課題活動報告 ,除上表的項目外 ,你認(rèn)為還需要補充哪些項目 (寫 出一個即可 ). 解析 (1)如圖 ,過點 C作 CD⊥ AB于點 D.? (1分 ) ? 設(shè) CD=x米 ,在 Rt△ ADC中 ,∠ ADC=90176。. ∵ tan 38176。,∠ B=28176。=? ,∴ BD=? ≈ ? =2x.? (3分 ) ∵ AD+BD=AB=234,∴ ? x+2x=234.? (5分 ) 解得 x=72.? (6分 ) 答 :斜拉索端點 C到 AB的距離為 72米 .? (7分 ) (2)答案不唯一 ,還需要補充的項目可為測量工具 ,計算過程 ,人員分工 ,指導(dǎo)教師 ,活動感受等 .? (8分 ) CDAD tan 38CD? 0 . 8x 54CDBD tan 28CD? 0 . 5x5415.(2022江西 ,19,8分 )圖 1是一種折疊門 ,由上下軌道和兩扇長寬相等的活頁門組成 ,整個活頁 門的右軸固定在門框上 ,通過推動左側(cè)活頁門開關(guān) .圖 2是其俯視簡化示意圖 ,已知軌道 AB=120 cm,兩扇活頁門的寬 OC=OB=60 cm,點 B固定 ,當(dāng)點 C在 AB上左右運動時 ,OC與 OB的長度不變 (所有結(jié)果保留小數(shù)點后一位 ). (1)若 ∠ OBC=50176。 (2)當(dāng)點 C從點 A向右運動 60 cm時 ,求 O在此過程中運動的路徑長 . 參考數(shù)據(jù) :sin 50176?！?,tan 50176。cos∠ OBD=60cos 50176。. ∵ 點 O的運動路徑為 ? , ∴ 點 O運動的路徑長為 ? =20π=(cm). OC︵60 60180? ?思路分析 (1)過點 O作 OD⊥ AB于點 D,先根據(jù) ∠ OBC的余弦求出 BD,然后根據(jù)等腰三角形的 性質(zhì)求得 BC,進(jìn)而求得 A