【正文】 ACB=60176?！?) ? 解析 在 Rt△ CAE中 ,AE=? =? ≈ ? ≈ .? (3分 ) 在 Rt△ DBF中 ,BF=? =? ≈ ? =40.? (6分 ) ∴ EF=AE+AB+BF=+90+40=≈ 151. ∵ 四邊形 CEFH為矩形 ,∴ CH=EF=151. 即高、低杠間的水平距離 CH的長約是 151 cm.? (9分 ) tanCECAE? 155tan ? tan DFDBF? 234tan ? 2345 .8 5 0思路分析 根據(jù) Rt△ CAE和 Rt△ DBF中的邊和角的數(shù)值 ,用正切函數(shù)分別求得 AE,BF的長度 , 得 EF=AE+AB+BF,由矩形的性質(zhì)可知 CH=EF,可以求出問題的答案 . 方法總結(jié) 解直角三角形的應(yīng)用問題 ,一般根據(jù)題意抽象出幾何圖形 ,結(jié)合所給的線段或角 ,借 助邊角關(guān)系、三角函數(shù)的定義解題 ,若幾何圖形中無直角三角形 ,則需要根據(jù)條件構(gòu)造直角三 角形 ,再解直角三角形 ,求出實際問題的答案 . 13.(2022湖北黃岡 ,21,7分 )如圖 ,在大樓 AB正前方有一斜坡 CD,坡角 ∠ DCE=30176?！?,tan 176。若圖中沒有直角三角形 ,可通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形來解決 . 12.(2022河南 ,20,9分 )“高低杠”是女子體操特有的一個競技項目 ,其比賽器材由高、低兩根 平行杠及若干支架組成 ,運動員可根據(jù)自己的身高和習(xí)慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)高、低兩杠間的 距離 .某興趣小組根據(jù)高低杠器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學(xué)問題 ,請你解答 . 如圖所示 ,底座上 A,B兩點間的距離為 90 C到直線 AB的距離 CE的長為 155 cm,高 杠上點 D到直線 AB的距離 DF的長為 234 cm,已知低杠的支架 AC與直線 AB的夾角 ∠ CAE為 176?！?,cos 58176。,∴ CH∥ AG∥ DE, ∴ ? =? =? , 同 (1)的方法得 ,△ ABG∽ △ BCH, ∴ ? =? =? =? , 設(shè) BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,∴ GH=BG+BH=4m+3n, ∵ AB=AE,AG⊥ BE,∴ EG=BG=4m, ∴ ? =? =? ,∴ n=2m,∴ EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m, 在 Rt△ CEH中 ,tan∠ CEB=? =? . BCAC 35BCAB 34GHEG ACAD 52BGCH AGBH ABBC 43GHEG 434mnm? 52CHEH 314? 思路分析 (1)利用同角的余角相等判斷出 ∠ MAB=∠ NBC,即可得出結(jié)論 。, ∴∠ MAB=∠ NBC, ∴ △ ABM∽ △ BCN. (2)過點 P作 PM⊥ AP交 AC于點 M,過點 M作 MN⊥ PC交 BC于點 N, 則△ PMN∽ △ APB. ∴ ? =? =tan∠ PAC=? ,設(shè) PN=2t,則 AB=? t. ∵∠ BAP+∠ APB=∠ MPC+∠ APB=90176。 (2)如圖 2,P是邊 BC上一點 ,∠ BAP=∠ C,tan∠ PAC=? ,求 tan C的值 。, 解得 AB=≈ 18(米 ). 答 :旗桿 AB的高度約為 18米 .? (10分 ) AGFG??思路分析 思路一 :由題意可確定 ∠ AEF=90176。,∠ AEB=∠ FED, ∴ △ ABE∽ △ FDE, ∴ ? =? =tan 176?！?) ? 解析 解法一 :由題意知 ,∠ AEB=∠ FED=45176。AN=? ? ? =? . 3 33212 12332 3348.(2022貴州貴陽 ,18,8分 )如圖① ,在 Rt△ ABC中 ,以下是小亮探索 ? 與 ? 之間關(guān)系的方法 : ∵ sin A=? ,sin B=? , ∴ c=? ,c=? , ∴ ? =? . 根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識 ,在圖②的銳角△ ABC中 ,探索 ? ,? ,? 之間的關(guān)系 ,并寫出 探索過程 . ? sina A sinb Bac bcsina A sinb Bsina A sinb Bsina A sinb B sinc C解析 如圖 1,過點 A作 BC邊上的高 AD, ? 圖 1 ∵ 在 Rt△ ABD中 ,sin B=? ,在 Rt△ ACD中 ,sin C=? , ∴ AD=csin B,AD=bsin C, ∴ csin B=bsin C,∴ ? =? . 同理 ,如圖 2,過點 B作 AC邊上的高 BE, ? 圖 2 ADc ADbsinb B sinc C∵ 在 Rt△ ABE中 ,sin A=? ,在 Rt△ BCE中 ,sin C=? , ∴ BE=csin A,BE=asin C, ∴ csin A=asin C, ∴ ? =? . 綜上 ,? =? =? . BEc BEasina A sinc Csina A sinb B sinc C9.(2022安徽 ,19,10分 )為了測量豎直旗桿 AB的高度 ,某綜合實踐小組在地面 D處豎直放置標(biāo)桿 CD,并在地面上水平放置一個平面鏡 E,使得 B,E,D在同一水平線上 ,如圖所示 .該小組在標(biāo)桿的 F處通過平面鏡 E恰好觀測到旗桿頂 A(此時 ∠ AEB=∠ FED).在 F處測得旗桿頂 A的仰角為 176。. 又 ∵ AB與 AG關(guān)于 AE對稱 ,AE與 AF關(guān)于 AG對稱 , ∴∠ BAE=∠ GAE=∠ GAF=30176?！?78≈ 38. ABBCAEED答 :甲建筑物的高度 AB約為 125 m,乙建筑物的高度 DC約為 38 m. 思路分析 過點 D作 DE⊥ AB,構(gòu)造直角△ ADE和矩形 BCDE,通過解直角△ ABC和直角△ ADE 可求出答案 . 7.(2022貴州貴陽 ,20,10分 )如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,AE是 BC邊上的高 ,點 F是 DE的中點 ,AB 與 AG關(guān)于 AE對稱 ,AE與 AF關(guān)于 AG對稱 . (1)求證 :△ AEF是等邊三角形 。. ∴ DC=EB=ABAE=BC. 可得四邊形 BCDE為矩形 . ∴ ED=BC=78,DC=EB. 在 Rt△ ABC中 ,tan∠ ACB=? , ∴ AB=BC. 由題意可知 ,BC=78,∠ ADE=48176。,測得底部 C處的俯角為 58176。=247。角 ,那么這個路段最多可以劃出 個這樣的停車位 .(? ≈ ) ? 2解析 如圖 ,易知 BC=cos 45176。,所以 ∠ DAC=? ∠ BAC=20176。 ≈ ,cos 20176。,∴∠ E=30176。,∴∠ ECB=∠ AEB∠ EBC=176?！?18= , ∴ CD=CEDE=≈ ,故選 A. 2.(2022江蘇蘇州 ,10,3分 )如圖 ,在一筆直的海岸線 l上有 A、 B兩個觀測站 ,AB=2 km,從 A測得船 C 在北偏東 45176。≈ ,cos 36176。, 設(shè) ∠ A=α,則 ∠ B=90176。+sin260176。 (2)小明的猜想是否成立 ?若成立 ,請給予證明 。=? +? =1. 據(jù)此 ,小明猜想 :對于任意銳角 α,均有 sin2α+sin2(90176?！?+= 3, sin237176?！?+= 5, sin222176。. ∵ tan∠ ADE=? , ∴ AE=DE≈ ) 解析 由題可知 ∠ ACD=70176。≈ ,tan 70176。,∴ BC=? =2? cm,∵ AG⊥ CG,EF⊥ CG,CB⊥ CG,∴ AG∥ EF∥ BC,∵ E是 AB的中點 ,∴ 點 F為 CG的中點 ,∴ EF= ? (AG+BC)=? (2? +2? )=(? +? )cm. ? 2AD2 3 32BD612 122 6 2 611.(2022四川綿陽 ,18,3分 )如圖 ,過銳角△ ABC的頂點 A作 DE∥ BC,AB恰好平分 ∠ DAC,AF平分 ∠ EAC交 BC的延長線于點 F,在 AF上取點 M,使得 AM=? AF,連接 CM并延長交直線 DE于點 AC=2,△ AMH的面積是 ? ,則 ? 的值是 . ? 131121tan ACH?答案 8? 15解析 過 H作 HG⊥ AC于點 G,如圖 . ? ∵ AF平分 ∠ EAC,∴∠ EAF=∠ CAF. ∵ DE∥ BF,∴∠ EAF=∠ AFC, ∴∠ CAF=∠ AFC,∴ CF=CA=2. ∵ AM=? AF,∴ AM∶ MF=1∶ 2. ∵ DE∥ BF,∴ ? =? =? =? , ∴ AH=1,S△ AHC=3S△ AHM=? , ∴ ? 2GH=? ,∴ GH=? , 13AHCF HMMC AMMF 121412 14 14∴ 在 Rt△ AHG中 ,AG=? =? , ∴ GC=ACAG=2? =? , ∴ ? =? =8? . 22AH GH?154154 8 1 54?1tan ACH? GCGH15解題思路 過 H作 HG⊥ AC于點 G,構(gòu)造直角三角形 ,再分別求出相應(yīng)的邊即可 . 12.(2022四川成都 ,18,8分 )由我國完全自主設(shè)計、自主建造的首艘國產(chǎn)航母于 2022年 5月成功 完成第一次海上試驗任務(wù) .如圖 ,航母由西向東航行 ,到達(dá) A處時 ,測得小島 C位于它的北偏東 70176。,∠ ADB=90176。,∠ CBD=45176。,∴∠ B=50176。 40176。方向上 .符合條件的示意圖是 ? ( ) ? 答案 D 本題考查方向角的簡單識別 ,選 D. 9.(2022浙江杭州 ,3,3分 )在直角三角形 ABC中 ,已知 ∠ C=90176。,AB=4,AC=1,則 cos B的值為 ? ( ) A.? B.? C.? D.? 154 141515 4 1 717答案 A 由勾股定理可得 BC=? ,所以 cos B=? =? .故選 A. 15BCAB 1544.(2022甘肅蘭州 ,3,4分 )如圖 ,一個斜坡長 130 m,坡頂離水平地面的距離為 50 m,那么這個斜坡 與水平地面夾角的正切值等于 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 513 1213 512 1312答案 C 在直角三角形中 ,根據(jù)勾股定理可知水平的直角邊長為 120 m,故這個斜坡與水平地 面夾角的正切值等于 ? =? ,故選 C. 50120512思路分析 先利用勾股定理求得第三邊的長 ,再利用正切的定義求正切值 . 5.(2022福建福州 ,9,3分 )如圖 ,以 O為圓心 ,1為半徑的弧交坐標(biāo)軸于 A,B兩點 ,P是 ? 上一點 (不與 A,B重合 ),連接 OP,設(shè) ∠ POB=α,則點 P的坐標(biāo)是 ? ( ) ? A.(sin α,sin α) B.(cos α,cos α) C.(cos α,sin α) D.(sin α,cos α) AB︵答案 C 過 P作 PQ⊥ OB,交 OB于點 Q, ? 在 Rt△ OPQ中 ,OP=1,∠ POQ=α, ∴ sin α=? ,cos α=? ,即 PQ=sin α,OQ=cos α, ∴ 點 P的坐標(biāo)為 (cos α,sin α).故選 C. PQOP OQOP6.(2022廣東 ,8,3分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,點 A的坐標(biāo)為 (4,3),那么 cos α的值是 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 34 43 35 45答案 D 過點 A作 AB垂直 x軸于 B, 則 AB=3,OB=4. 由勾股定理得 OA=5. ∴ cos α=? =? .故選 D. ? OBOA457.(2022甘肅蘭州 ,4,4分 )如圖 ,△ ABC中 ,∠ B=90176。,∴ tan A=? =3. BCAC2.(2022貴州貴陽 ,7,3分 )如圖 ,A,B,C是小正方形的頂點 ,且每個小正方形的邊長都為 1,則 tan∠ BAC的值為 ? ( ) ? A.? C.? D.? 12 333答案 B 如圖 ,連接 BC. 在△ ABD和△ BCE中 ,? ∴ △ ABD≌ △ BCE(SAS), ∴ AB=BC,∠ ABD=∠ BCE. ∵∠ BCE+∠ CBE=90176。,AB=5,∴ BE=AB. ∴∠ 1+∠ 2=90176。,BE=2? , ∴ AB=AE=2. ∴ AC=AE+EF+FC=3+? . 2323∴ S四邊形 ABCD=S△ ACD+S△ ABC =? AC,DE=? , ∴ DF=EF=1. ? 在 Rt△ CFD中 ,∠ CFD=90176。,∠ CED=45176。 解直角三角形 中考數(shù)學(xué) (北京專用 ) 20222022年北京中考題組 五年中考 1.(2022北京 ,19,5分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,對角線 AC,BD交于點 E,∠ BAC=90176。,∠ DEF=45176。,∠ AEB=∠ CED=45176。 (2)若 AB=5,sin∠ CBF=? ,求 BC和 BF的長 . ? 1255解析