【正文】 時 ,如圖 2,判斷 EC,BC,ED之間的數(shù)量關(guān)系 ,并加以證明 。(用含 c,∠ B的三角函數(shù)表示 ) 丁同學(xué)順著他們的思路 ,求出 b2=AD2+DC2= (提示 :同角的正弦與余弦的平方和為 1). 請利用丁同學(xué)的結(jié)論解決如下問題 : 如圖 3,在四邊形 ABCD中 ,∠ B=∠ D=90176。. 在 Rt△ DEB中 ,∠ DEB=90176。sin∠ ABC=2. 在 Rt△ EMD中 ,DE=2EM=4. ∴ DF=8. 21227.(2022北京懷柔二模 ,21)已知 :如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AB⊥ BD,AD∥ BC,∠ ADB=45176?！?,tan 40176。,則辦公樓 CD的高約為 m. (精確到 m,sin 63176。 176。cos 45176。方向 ,距港口 86海里的 A處 ,沿 AP方向 以每小時 15海里的速度勻速駛向港口 P出發(fā) ,沿南偏東 45176。=10? =5? m. 3236.(2022北京豐臺一模 ,23)如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ ABC=90176?！?500=280米 . 5.(2022北京豐臺二模 ,13)某中學(xué)初三年級的學(xué)生開展測量物體高度的實踐活動 ,他們要測量 一幢建筑物 AB的高度 .如圖 ,他們先在點 C處測得建筑物 AB的頂點 A的仰角為 30176。,∴∠ CBE=30176。=10? =5? , 12323所以 HF=EF+HE=25+5? . 答 :兩高速公路間的距離為 (25+5? )km.? (8分 ) 33考點一 銳角三角函數(shù) 三年模擬 A組 2022— 2022年模擬 BC段與 AB、 CD段都垂直 ,長為 10 km?！?10=(千米 ),? (3分 ) 在 Rt△ BCH中 ,BH=CH247?！?,sin 37176。,∠ PNE=β=45176。tan 58176。, ∵ tan∠ CAO=? , ∴ CO=AO? =25海里 . ∴ B船到達 C船處約需時間 :25247?！?? , tan 53176?！?,? ≈ ) ? 2解析 在 Rt△ BDF中 ,由 sin β=? 可得 , DF=BD,∠ AEB=90176。cos A=120cos 64176。方向上的 B處 ,求 BP和 BA的長 (結(jié)果取整數(shù) ). 參考數(shù)據(jù) :sin 64176。, ∴ BE=? AB=? 10=5.? (2分 ) ∵ cos∠ EAB=? , ∴ AE=AB,測得隧道底端 B處的俯角為 30176。 (2)當點 C從點 A向右運動 60 cm時 ,求 O在此過程中運動的路徑長 . 參考數(shù)據(jù) :sin 50176。 (2)該小組要寫出一份完整的課題活動報告 ,除上表的項目外 ,你認為還需要補充哪些項目 (寫 出一個即可 ). 解析 (1)如圖 ,過點 C作 CD⊥ AB于點 D.? (1分 ) ? 設(shè) CD=x米 ,在 Rt△ ADC中 ,∠ ADC=90176。 28176?！?,tan 176。=? ≈ , 解得 AB≈ (米 ),故選 B. CJDJ 10 . 7 5 432585 65465AMEM 85465AB?思路分析 延長 AB交 ED的延長線于 M,作 CJ⊥ DM于 J,則四邊形 BMJC是矩形 .在 Rt△ CJD中求 出 CJ、 DJ的長 ,再根據(jù) tan∠ AEM=? 即可解決問題 . AMEM方法總結(jié) 解直角三角形的實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是根據(jù)實際情況建立數(shù)學(xué)模型 ,正確畫出圖 形 ,找到直角三角形 .根據(jù)題目中的已知條件 ,將實際問題抽象為解直角三角形的數(shù)學(xué)問題 ,畫 出平面幾何圖形 ,弄清已知條件中各量之間的關(guān)系 ,若圖中有直角三角形 ,根據(jù)邊角關(guān)系進行計 算即可 。( BP+4t), ∴ BP=t,∴ BC=5t, ∴ tan C=? . PNAB PMAP 255 5555? (3)在 Rt△ ABC中 ,sin∠ BAC=? =? ,∴ tan∠ BAC=? =? . 過點 A作 AG⊥ BE于點 G,過點 C作 CH⊥ BE交 EB的延長線于點 H, ∵∠ DEB=90176。. (1)如圖 1,分別過 A、 C兩點作經(jīng)過點 B的直線的垂線 ,垂足分別為 M、 N,求證 :△ ABM∽ △ BCN。, 在△ ABE和△ FDE中 ,∠ ABE=∠ FDE=90176。. ∵ 在 Rt△ ABE中 ,AE=ABsin B=? ,∴ FD=AE=? . ∵ 在 Rt△ AEN中 ,AN=AEsin∠ AEN=? , ∴ S△ AFD=? FDtan 48176。,∠ DCB=90176。+1≈ 16+1=17(個 ). 故這個路段最多可以劃出 17個這樣的停車位 . 222222答案 17 6.(2022天津 ,22,10分 )如圖 ,甲、乙兩座建筑物的水平距離 BC為 78 m,從甲的頂部 A處測得乙的 頂部 D處的俯角為 48176?！?15= cm. 125.(2022浙江寧波 ,17,4分 )為解決停車難的問題 ,在如圖一段長 56米的路段開辟停車位 ,每個車 位是長 5米、寬 ,矩形的邊與路的邊緣成 45176。,則點 A到 BC的距離為 cm(參考數(shù)據(jù) :sin 20176。, ∴ AB=EB=2 km,∴ AE=2? km, ∵∠ EBC=176。.然后沿在同一剖面的斜坡 AB行走 13米至坡頂 B 處 ,然后再沿水平方向行走 6米至大樹底端 D處 ,斜面 AB的坡度 (或坡比 )i=1∶ ,那么大樹 CD 的高度約為 (參考數(shù)據(jù) :sin 36176。α)=sin230176。+sin245176。+sin283176?！?,tan 37176。,∴ BD=? AD=4? cm,∵∠ CBD=45176。,∠ A=60176。 50176。, ∴ tan∠ BAC=? =1,故選 B. ? ,9 0 ,A D B EA D B B E CB D C E???? ? ? ? ??? ??BCAB3.(2022黑龍江哈爾濱 ,8,3分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。. ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴ 直線 BF是☉ O的切線 . ? (2)過點 C作 CG⊥ AB于點 G. 1212∵ sin∠ CBF=? ,∠ 1=∠ CBF,∴ sin∠ 1=? . ∵∠ AEB=90176。,∠ AEB=∠ CED=45176。 解直角三角形 中考數(shù)學(xué) (北京專用 ) 20222022年北京中考題組 五年中考 1.(2022北京 ,19,5分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,對角線 AC,BD交于點 E,∠ BAC=90176。,DE=? , ∴ DF=EF=1. ? 在 Rt△ CFD中 ,∠ CFD=90176。. ∴∠ 1+∠ 2=90176。,∴ tan A=? =3. BCAC2.(2022貴州貴陽 ,7,3分 )如圖 ,A,B,C是小正方形的頂點 ,且每個小正方形的邊長都為 1,則 tan∠ BAC的值為 ? ( ) ? A.? C.? D.? 12 333答案 B 如圖 ,連接 BC. 在△ ABD和△ BCE中 ,? ∴ △ ABD≌ △ BCE(SAS), ∴ AB=BC,∠ ABD=∠ BCE. ∵∠ BCE+∠ CBE=90176。方向上 .符合條件的示意圖是 ? ( ) ? 答案 D 本題考查方向角的簡單識別 ,選 D. 9.(2022浙江杭州 ,3,3分 )在直角三角形 ABC中 ,已知 ∠ C=90176。,∴∠ B=50176。,∠ ADB=90176。≈ ,tan 70176。. ∵ tan∠ ADE=? , ∴ AE=DE≈ += 3, sin237176。 (2)小明的猜想是否成立 ?若成立 ,請給予證明 。, 設(shè) ∠ A=α,則 ∠ B=90176?！?18= , ∴ CD=CEDE=≈ ,故選 A. 2.(2022江蘇蘇州 ,10,3分 )如圖 ,在一筆直的海岸線 l上有 A、 B兩個觀測站 ,AB=2 km,從 A測得船 C 在北偏東 45176。,∴∠ E=30176。,所以 ∠ DAC=? ∠ BAC=20176。=247。. 由題意可知 ,BC=78,∠ ADE=48176。. ∴ DC=EB=ABAE=BC. 又 ∵ AB與 AG關(guān)于 AE對稱 ,AE與 AF關(guān)于 AG對稱 , ∴∠ BAE=∠ GAE=∠ GAF=30176。≈ ) ? 解析 解法一 :由題意知 ,∠ AEB=∠ FED=45176。, 解得 AB=≈ 18(米 ). 答 :旗桿 AB的高度約為 18米 .? (10分 ) AGFG??思路分析 思路一 :由題意可確定 ∠ AEF=90176。, ∴∠ MAB=∠ NBC, ∴ △ ABM∽ △ BCN. (2)過點 P作 PM⊥ AP交 AC于點 M,過點 M作 MN⊥ PC交 BC于點 N, 則△ PMN∽ △ APB. ∴ ? =? =tan∠ PAC=? ,設(shè) PN=2t,則 AB=? t. ∵∠ BAP+∠ APB=∠ MPC+∠ APB=90176?！?,cos 58176?！?,tan 176。 (2)求斜坡 CD的長度 . ? 解析 (1)在 Rt△ ABC中 ,AB=60米 ,∠ ACB=60176。≈ ,cos 28176。. ∵ tan 28176?！?60=(cm). ∵ OC=OB,∴ BC=2BD. ∴ AC=ABBC=1202=(cm). (2)如圖 , ? ∵ AB=120 cm,AC=60 cm, ∴ BC=ABAC=60 cm. ∵ OC=OB=60 cm,∴ BC=OC=OB, ∴ △ OBC為等邊三角形 ,∴∠ OBC=60176。,∠ EAB=30176。tan 42176。,PA =120, 在 Rt△ APC中 ,sin A=? ,cos A=? , ∴ PC=PA 在 Rt△ PCB中利用 ∠ B的三角函 數(shù)求出 BC和 PB即可解決問題 . 解題關(guān)鍵 解此題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 ,根據(jù)實際情況建立數(shù)學(xué)模型 ,正確畫 出圖形 ,找準三角形 . 18.(2022貴州貴陽 ,20,8分 )貴陽市某消防支隊在一幢居民樓前進行消防演習 ,如圖所示 ,消防官 兵利用云梯成功救出在 C處的求救者后 ,發(fā)現(xiàn)在 C處正上方 17米的 B處又有一名求救者 ,消防官 兵立刻升高云梯將其救出 .已知點 A與居民樓的水平距離是 15米 ,且在 A點測得第一次施救時云 梯與水平線的夾角 ∠ CAD=60176。,β=45176。方向 ,B船測得漁船 C在其南偏東 53176。,即 x=(x5)≈ ,cos 58176。tan∠ DBO=x≈ ,sin 31176。.因城市規(guī)劃的需要 ,將在 A,B兩地之間修建一條筆直的公路 . (1)求改直后的公路 AB的長 ?！?10=(千米 ),? (2分 ) AH=AC≈ 247。sin 30176。 B.? tan ? 176。≈ , tan 34176。,∴∠ CAD=30176。,AC=AE+CE=24, ∴ BC=12,AB=AC=28, 在 Rt△ PDC中 ,∠ PDC=90176?！? 列角度中正弦值最接近 ? ( ) 答案 A 通過量角器可以發(fā)現(xiàn) ,圓和度數(shù)的交點的半圓半徑即相應(yīng)銳角的正弦值的近似值 . 所以正弦值最接近 70176。,∠ B=45176。時 ,車門是否會碰到墻 ? (填“是”或“否” )。 (2)若 ∠ FDB=30176。,AB=? , ∴∠ DAB=45176。. ∵ sin C=? ,tan C=? , ∴ CD=2,CE=1.∴ BC=BE+CE=? +1. ∴ 四邊形 ABCD的周長 =AB+BC+CD+AD=? +? +1+2+2? =? +3? +3. DEBD3 3DECD DECE36 3 3 6 38.(2022北京門頭溝一模 ,26)在一節(jié)數(shù)學(xué)實踐課上 ,老師出示了這樣一道題 , 如圖 1,在銳角三角形 ABC中 ,∠ A、 ∠ B、 ∠ C所對的邊分別是 a、 b、 c,請用 a、 c、 ∠ B表示 b2. ? 經(jīng)過同學(xué)們的思考 , 甲同學(xué)說 :要將銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來解決 ,并且不能破壞 ∠ B,因此可以經(jīng)過點 A,作 AD⊥ BC于點 D,如圖 2,大家認同 。cos B. 補全圖形如圖 . ? 結(jié)果 :AC=2? . 79.(2022北京門頭溝一模 ,28)已知△ ABC,AB=AC,∠ BAC=α,在 BA的延長線上任取一點 D,過點 D 作 BC的平行線交 CA的延長線于點 E. (1)當 ∠ BAC=60176。),請寫出 EC,BC,ED之間的數(shù)量關(guān)系并寫出解題思路 . ? 解析 (1)補全圖形如圖 . ? 數(shù)量關(guān)系 :EC=BC+ED. (2)數(shù)量關(guān)系 :BC+ED=? EC. 過 D作 DF∥ AC交 BC的延長線于 F點 . ? 2∵ DF∥ AC,ED∥ BC, ∴ 四邊形 EDFC為平行四邊形 . ∴ ED=CF,EC=DF. ∵ AB=AC, ∴∠ ABC=∠ ACB. ∵ ED∥ BC,
。sin B,BD=c,sin∠ DBC=? . ∴∠ DBC=∠ BDE,DE=? .∴ BE=DE=? .