【正文】 在 Rt△ DEC中 ,∠ DEC=90176。. 在 Rt△ ABD中 ,∠ ABD=90176。sin 40176?！?) ? 答案 解析 過(guò)點(diǎn) A作 AE∥ BD交 CD于 E, ∵ tan∠ CAE=? =? , ∴ ≈ ? ,∴ CE= , ∴ CD=CE+DE=+= . CEAE CEBD20CE4.(2022北京朝陽(yáng)二模 ,11)2022年 5月 5日我國(guó)自主研發(fā)的大型飛機(jī) C919成功首飛 .下圖是一種 機(jī)翼的示意圖 ,用含有 m、 n的式子表示 AB的長(zhǎng) : . ? 答案 m+? nn 33解析 過(guò)點(diǎn) C作 CE垂直 BA,交 BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,則四邊形 CFBE為長(zhǎng)方形 ,且長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為 m+ ? n,寬為 n.∵∠ ACE=45176。,另一端 B處的俯角為 45176。 提升題組 (時(shí)間 :35分鐘 分值 :40分 ) 1.(2022北京海淀二模 ,10)利用量角器可以制作“銳角正弦值速查卡” .制作方法如下 :如圖 ,設(shè) OA=1,以 O為圓心 ,分別以 ,… , ,再以 OA為直徑作☉ “銳角正弦值速查卡”可以讀出相應(yīng)銳角正弦的近似值 .例如 :sin 60176。, ∴ PD=PB,求四邊形 ABCD的周長(zhǎng) . ? 解析 (1)∵∠ ABC=90176。,∴∠ DAB=30176。的斜坡從 A滑行至 B,已知 AB= 500米 ,則這名滑雪運(yùn)動(dòng)員的高度下降了約 米 .(參考數(shù)據(jù) :sin 34176。,CD是 AB邊上的中線 ,∴ AD=CD,∴∠ ACD=∠ A,∴ tan∠ ACD=tan∠ A =? =? =? . BCAC 68 342.(2022北京西城一模 ,7)如圖 ,小明在地面上放了一個(gè)平面鏡 ,選擇合適的位置 ,剛好在平面鏡 中看到旗桿的頂部 ,此時(shí)小明與平面鏡的水平距離為 2 m,旗桿底部與平面鏡的水平距離為 16 m,則旗桿的高度為 (單位 :m)? ( ) ? A.? D.? 163 643答案 C 如圖 : ? 由題意得 ? =? ,∴ ? =? .∴ DE=12 C. ABBC DECD 1 . 52 16DE思路分析 通過(guò)讀題 ,首先要標(biāo)清邊角條件 ,并借助解直角三角形的相關(guān)知識(shí)來(lái)解題 . 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要明確平面鏡的性質(zhì) ,從而得到反射角等于入射角 ,進(jìn)而才能借 助解直角三角形或相似的相關(guān)知識(shí)來(lái)解決 . 3.(2022北京延慶一模 ,6)如圖 ,在 44的正方形網(wǎng)格中 ,tan α的值等于 ? ( ) ? B.? C.? D.? 12 55 255答案 A 如圖 ,設(shè)每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為 1,則 AB=2,CB=1,∴ tan α=? = A. ? ABBC考點(diǎn)二 解直角三角形 1.(2022北京海淀二模 ,6)我國(guó)古代有一種通過(guò)測(cè)量日影長(zhǎng)度來(lái)確定時(shí)間的儀器 ,稱為圭表 .下圖 是一個(gè)根據(jù)北京的地理位置設(shè)計(jì)的圭表 ,其中 ,立柱 AC的高為 ,冬至?xí)r北京的正午日光入 射角 ∠ ABC約為 176。,∠ EAH=60176。=(千米 ),? (4分 ) ∴ AB=AH+BH=+=(千米 ).? (5分 ) (2)在 Rt△ BCH中 ,BC=CH247。sin∠ CAB=ACDG=? 3624=432(平方米 ). PEME300 . 6 012 12? ∴ 需要填筑土石方 432100=43 200(立方米 ).? (7分 ) 設(shè)施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方 x立方米 , 根據(jù)題意 ,得 10+? =? 20.? (9分 ) 解方程 ,得 x= ,x=864是原方程的根且符合題意 . 答 :施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方 864立方米 .? (10分 ) 43 200 102 xx? 43 200x23.(2022浙江寧波 ,21,8分 )如圖 ,從 A地到 B地的公路需經(jīng)過(guò) C地 ,圖中 AC=10千米 ,∠ CAB=25176。.已知 MN所在直線與 PC所在直線垂直 ,垂足為 E,且 PE長(zhǎng)為 30米 . (1)求兩漁船 M,N之間的距離 (結(jié)果精確到 1米 )。=+x.? (2分 ) 在 Rt△ DBO中 ,∠ DBO=58176。.輪船甲自西向東勻速行駛 ,同時(shí)輪船乙沿正北方向勻速行駛 ,它們的速 度分別為 45 km/h和 36 km/ h,輪船甲行駛至 B處 ,輪船乙行駛至 D處 ,測(cè)得 ∠ DBO=58176。,設(shè) CD=x海里 ,則 AD=CD=x海里 . ∴ BD=ADAB=(x5)海里 .? (3分 ) 在 Rt△ BDC中 ,CD=BDcos α=600cos 75176。. 答 :第二次施救時(shí)云梯與水平線的夾角 ∠ BAD的度數(shù)約為 71176。+120cos 64176?！?,? 取 . 2解析 如圖 ,過(guò)點(diǎn) P作 PC⊥ AB,垂足為 C, 由題意可知 ,∠ A=64176。,∠ DAE=42176。≈ ,tan 42176。≈ ,π取 . ? 解析 (1)如圖 ,過(guò)點(diǎn) O作 OD⊥ AB于點(diǎn) D, ? 在 Rt△ OBD中 , BD=OB=? ,∴ AD=? ≈ ? =? x.? (2分 ) 在 Rt△ BDC中 ,∠ BDC=90176。≈ ,tan 38176。,在斜坡上的 D處測(cè)得樓頂 B的仰角為 45176。.求高、低杠間的水平距離 CH的長(zhǎng) . (結(jié)果精確到 1 :sin 176。 (3)作 AG⊥ BE,CH⊥ BE,先判斷出 ? =? =? ,同 (1)的方法得 ,△ ABG∽ △ BCH,所以 ? =? = ? =? ,設(shè) BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,進(jìn)一步得出關(guān)于 m,n的等式 ,解得 n=2m,最后得出結(jié)論 . PNAB PMAP 255 5GHEG ACAD 52BGCH AGBHABBC 43方法指導(dǎo) 幾何中的類比探究關(guān)鍵在于找到解決每一問(wèn)的通法 ,本題涉及的相似三角形 ,要尋 找的比例關(guān)系或添加的輔助線均類似 .同時(shí)要注意挖掘題干中不變的幾何特征 ,根據(jù)特征尋方 法 . 11.(2022重慶 ,10,4分 )如圖 ,旗桿及升旗臺(tái)的剖面和教學(xué)樓的剖面在同一平面上 ,旗桿與地面垂 直 ,在教學(xué)樓底部 E點(diǎn)處測(cè)得旗桿頂端的仰角 ∠ AED=58176。,sin∠ BAC=? ,? =? ,直接寫出 tan∠ CEB 的值 . ? 25535 ADAC 25解析 (1)證明 :∵∠ M=∠ N=∠ ABC=90176?！?=≈ 18(米 ). 答 :旗桿 AB的高度約為 18米 .? (10分 ) 解法二 :作 FG⊥ AB于點(diǎn) G, ? AEFEABFD AEFE由題意知 ,△ ABE和△ FDE均為等腰直角三角形 , ∴ AB=BE,DE=FD=, ∴ FG=DB=DE+BE=AB+,AG=ABGB=ABFD=. 在 Rt△ AFG中 ,? =tan∠ AFG=tan 176。,FD= ,問(wèn)旗桿 AB的高度約為多少米 ?(結(jié)果保留整數(shù) ) (參考數(shù)據(jù) :tan 176。. ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AD∥ BC, ∴∠ EAD=∠ AEB=90176。≈ 78≈ 125. 在 Rt△ AED中 ,tan∠ ADE=? , ∴ AE=ED≈ ,tan 58176。=5? ≈ , 則 BE=BC+CE= , EF=247?！?,cos 40176。,∴ AD=DC=(2+? )km. 即點(diǎn) C到 l的距離為 (2+? )km,故選 B. ? 22223.(2022四川綿陽(yáng) ,10,3分 )如圖 ,要在寬為 22米的九洲大道 AB兩邊安裝路燈 ,路燈的燈臂 CD長(zhǎng) 2 米 ,且與燈柱 BC成 120176?！?)? ( ) ? 答案 A 作 BF⊥ AE于 F,如圖所示 , ? 易知四邊形 BDEF為矩形 ,則 FE=BD=6米 ,DE=BF, ∵ 斜面 AB的坡度 i=1∶ ,∴ AF=, 設(shè) BF=x米 ,則 AF= , 在 Rt△ ABF中 ,x2+()2=132,解得 x=5, ∴ DE=BF=5米 ,AF=12米 , ∴ AE=AF+FE=18米 , 在 Rt△ ACE中 ,CE=AE時(shí) ,sin2α+sin2(90176。時(shí) ,驗(yàn)證 sin2α+sin2(90176?！?+= 8, sin229176。,AC=80. 在 Rt△ ACD中 ,cos∠ ACD=? ,∴ ≈ ? ,∴ CD≈ , 在 Rt△ BCD中 ,tan∠ BCD=? ,∴ ≈ ? ,∴ BD≈ . 答 :還需要航行的距離 BD的長(zhǎng)為 . CDAC 80CDBDCD 2 7 . 2BD13.(2022吉林 ,21,7分 )數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)為測(cè)量旗桿高度 ,制定了如下測(cè)量方案 ,使用的工具 是 測(cè)角儀 和 皮尺 ,請(qǐng)幫助組長(zhǎng)林平完成方案內(nèi)容 ,用含 a,b,α的代數(shù)式表示旗桿 AB的高度 . 數(shù)學(xué)活動(dòng)方案 活動(dòng)時(shí)間 :2022年 4月 2日 活動(dòng)地點(diǎn) :學(xué)校操場(chǎng) 填表人 :林平 課題 測(cè)量學(xué)校旗桿的高度 活動(dòng)目的 運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)及方法解決實(shí)際問(wèn)題 方案示意圖 ? 測(cè)量步驟 (1)用 測(cè)得 ∠ ADE=α。方向 .如 果航母繼續(xù)航行至小島 C的正南方向的 D處 ,求還需航行的距離 BD的長(zhǎng) . ? (參考數(shù)據(jù) :sin 70176。,∴ AB=8 cm,DB=4? cm,∵ 點(diǎn) E為 AB的中點(diǎn) ,EM⊥ BD,∴ DE=? AB=4 cm,EM=? AD=2 cm,由等腰直角三 角形的性質(zhì)可知 ∠ ENM=∠ FND=45176。 答案 D ∵∠ C=90176。, ∴ AC=? =? k,∴ cos A=? =? =? , 故選 D. 22AB BC? 5ABAC5k k558.(2022河北 ,9,3分 )已知 :島 P位于島 Q的正西方 ,由島 P,Q分別測(cè)得船 R位于南偏東 30176。,∴ BC=2BE=2? . 在 Rt△ ABE中 ,由勾股定理得 AE=? =2? , ∴ sin∠ 2=? ,cos∠ 2=? . 在 Rt△ CBG中 ,可求得 GC=4,GB=2,∴ AG=3. ∵ GC∥ BF,∴ △ AGC∽ △ ABF, ∴ ? =? ,∴ BF=? =? . 55 555522AB BE? 5255 55GCBF AGAB GC ABAG? 203評(píng)析 將解直角三角形與圓、相似等知識(shí)結(jié)合在一起考查是北京市中考命題常采用的形式 . 教師專用題組 考點(diǎn)一 銳角三角函數(shù) 1.(2022云南 ,12,4分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。AB =? (3+? )1+? (3+? )2 =? +? ? . ∴ 四邊形 ABCD的面積是 ? +? ? . 12 1212312392 32392 3232.(2022北京 ,20,5分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,以 AB為直徑的☉ O分別交 AC、 BC于點(diǎn) D、 E,點(diǎn) F在 AC的延長(zhǎng)線上 ,且 ∠ CBF=? ∠ CAB. (1)求證 :直線 BF是☉ O的切線 。,DE=? ,BE=2? .求 CD的長(zhǎng)和四邊形 ABCD的面積 . ? 2 2解析 過(guò)點(diǎn) D作 DF⊥ AC于點(diǎn) F. 在 Rt△ DEF中 ,∠ DFE=90176。, ∠ DCE=30176。DF+? ACsin∠ 1=? . ∵ AB=AC,∠ AEB=90176。,BC=2AB,則 cos A= ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 52 12255 55答案 D 設(shè) AB=k(k0),則 BC=2k, ∵∠ B=90176。 50176。.E為 AB的中點(diǎn) ,過(guò)點(diǎn) E作 EF⊥ CD于點(diǎn) AD=4 cm,則 EF的長(zhǎng)為 cm. ? 答案 (? +? ) 2 6解析 如圖 ,連接 DE,過(guò)點(diǎn) E作 EM⊥ BD于點(diǎn) M,設(shè) EF交 BD于點(diǎn) N,∵ AD=4 cm,∠ A=60176。 方向 ,且與航母相距 80海里 ,再航行一段時(shí)間后到達(dá) B處 ,測(cè)得小島 C位于它的北偏東 37176。,∠ BCD=37176。+sin268176。α)=1. (1)當(dāng) α=30176。=? +? =? +? =1. 所以 ,當(dāng) α=30176?！?,tan 36176。, ∴∠ EBC=∠ ECB,∴ EB=EC=2 km, ∴ AC=AE+EC=(2? +2)km. 在 Rt△ ADC中 ,∠ CAD=45176?！?,sin 40176。=? ≈ , ? CE=5sin 45176。,求甲、乙建筑物的高度 AB和 DC(結(jié)果取整 數(shù) ). 參考數(shù)據(jù) :tan 48176。tan 58176。 (2)若 AB=2,求△ AFD的面積 . ? 解析 (1)證明 :∵ AE是 BC邊上的高 , ∴∠ AEB=90176。, 平面鏡 E的俯角為 45176。, ∴ AB=FDtan 176。 (3)如圖 3,D是邊 CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn) ,AE=AB,∠ DEB=90176。 (2)作 PM⊥ AP,MN⊥ PC,先判斷出△ PMN∽ △ APB,得出 ? =? =? ,設(shè) PN=2t,則 AB=? t,再 判斷出△ ABP∽ △ CBA,設(shè) P