【正文】 47。=5? ≈ , 則 BE=BC+CE= , EF=247。角 ,那么這個路段最多可以劃出 個這樣的停車位 .(? ≈ ) ? 2解析 如圖 ,易知 BC=cos 45176。cos 20176。,所以 ∠ DAC=? ∠ BAC=20176?！?,cos 40176。 ≈ ,cos 20176。,OB=22? =11米 , ∴ EB=11? 米 , 在 Rt△ DCE中 ,CE=2DC=4米 . ∴ BC=EBCE=(11? 4)米 ,故選 D. 12334.(2022江西南昌 ,12,3分 )圖 1是小志同學(xué)書桌上的一個電子相框 ,將其側(cè)面抽象為如圖 2所示的 幾何圖形 ,已知 AB=AC=15 cm,∠ BAC=40176。,∴∠ E=30176。,∴ AD=DC=(2+? )km. 即點(diǎn) C到 l的距離為 (2+? )km,故選 B. ? 22223.(2022四川綿陽 ,10,3分 )如圖 ,要在寬為 22米的九洲大道 AB兩邊安裝路燈 ,路燈的燈臂 CD長 2 米 ,且與燈柱 BC成 120176。,∴∠ ECB=∠ AEB∠ EBC=176。的方向 ,則船 C離海岸線 l的距離 (即 CD的長 )為 ? ( ) ? km B.(2+? )km ? km D.(4? )km 2 2 2答案 B 如圖 ,在 Rt△ ABE中 ,∠ AEB=45176?！?18= , ∴ CD=CEDE=≈ ,故選 A. 2.(2022江蘇蘇州 ,10,3分 )如圖 ,在一筆直的海岸線 l上有 A、 B兩個觀測站 ,AB=2 km,從 A測得船 C 在北偏東 45176?！?)? ( ) ? 答案 A 作 BF⊥ AE于 F,如圖所示 , ? 易知四邊形 BDEF為矩形 ,則 FE=BD=6米 ,DE=BF, ∵ 斜面 AB的坡度 i=1∶ ,∴ AF=, 設(shè) BF=x米 ,則 AF= , 在 Rt△ ABF中 ,x2+()2=132,解得 x=5, ∴ DE=BF=5米 ,AF=12米 , ∴ AE=AF+FE=18米 , 在 Rt△ ACE中 ,CE=AE≈ ,cos 36176。α)=? +? =? =? =1. ? 212??????232??????14 342BCAB??????2ACAB??????222BC ACAB? 22ABAB16.(2022重慶 ,20,7分 )如圖 ,△ ABC中 ,AD⊥ BC,垂足是 D,若 BC=14,AD=12,tan∠ BAD=? ,求 sin C 的值 . ? 34解析 ∵ AD⊥ BC,∴ tan∠ BAD=? ,? (1分 ) ∵ tan∠ BAD=? ,AD=12, ∴ ? =? ,? (2分 ) ∴ BD=9.? (3分 ) ∴ CD=BCBD=149=5,? (4分 ) ∴ 在 Rt△ ADC中 ,AC=? =? =13,? (6分 ) ∴ sin C=? =? .? (7分 ) BDAD3434 12BD22AD CD? 2212 5?ADAC 1213考點(diǎn)二 解直角三角形 1.(2022重慶 ,11,4分 )某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進(jìn)行測量大樹 CD高度的綜合實(shí)踐活動 .如圖 ,在點(diǎn) A 處測得直立于地面的大樹頂端 C的仰角為 36176。, 設(shè) ∠ A=α,則 ∠ B=90176。時 ,sin2α+sin2(90176。+sin260176。時 ,sin2α+sin2(90176。 (2)小明的猜想是否成立 ?若成立 ,請給予證明 。時 ,驗(yàn)證 sin2α+sin2(90176。=? +? =1. 據(jù)此 ,小明猜想 :對于任意銳角 α,均有 sin2α+sin2(90176?！?+= 0, sin245176?！?+= 3, sin237176?！?+= 8, sin229176?！?+= 5, sin222176。 (2)在圖中畫出平行四邊形 ABDE,且點(diǎn) D和點(diǎn) E均在小正方形的頂點(diǎn)上 ,tan∠ EAB=? .連接 CD, 請直接寫出線段 CD的長 . ? 32解析 (1)正確畫圖 . (2)正確畫圖 . CD=? . ? 2615.(2022福建 ,22,10分 )小明在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果 : sin27176。. ∵ tan∠ ADE=? , ∴ AE=DE,AC=80. 在 Rt△ ACD中 ,cos∠ ACD=? ,∴ ≈ ? ,∴ CD≈ , 在 Rt△ BCD中 ,tan∠ BCD=? ,∴ ≈ ? ,∴ BD≈ . 答 :還需要航行的距離 BD的長為 . CDAC 80CDBDCD 2 7 . 2BD13.(2022吉林 ,21,7分 )數(shù)學(xué)活動小組的同學(xué)為測量旗桿高度 ,制定了如下測量方案 ,使用的工具 是 測角儀 和 皮尺 ,請幫助組長林平完成方案內(nèi)容 ,用含 a,b,α的代數(shù)式表示旗桿 AB的高度 . 數(shù)學(xué)活動方案 活動時間 :2022年 4月 2日 活動地點(diǎn) :學(xué)校操場 填表人 :林平 課題 測量學(xué)校旗桿的高度 活動目的 運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識及方法解決實(shí)際問題 方案示意圖 ? 測量步驟 (1)用 測得 ∠ ADE=α?！?) 解析 由題可知 ∠ ACD=70176?！?,cos 37176。≈ ,tan 70176。方向 .如 果航母繼續(xù)航行至小島 C的正南方向的 D處 ,求還需航行的距離 BD的長 . ? (參考數(shù)據(jù) :sin 70176。,∴ BC=? =2? cm,∵ AG⊥ CG,EF⊥ CG,CB⊥ CG,∴ AG∥ EF∥ BC,∵ E是 AB的中點(diǎn) ,∴ 點(diǎn) F為 CG的中點(diǎn) ,∴ EF= ? (AG+BC)=? (2? +2? )=(? +? )cm. ? 2AD2 3 32BD612 122 6 2 611.(2022四川綿陽 ,18,3分 )如圖 ,過銳角△ ABC的頂點(diǎn) A作 DE∥ BC,AB恰好平分 ∠ DAC,AF平分 ∠ EAC交 BC的延長線于點(diǎn) F,在 AF上取點(diǎn) M,使得 AM=? AF,連接 CM并延長交直線 DE于點(diǎn) AC=2,△ AMH的面積是 ? ,則 ? 的值是 . ? 131121tan ACH?答案 8? 15解析 過 H作 HG⊥ AC于點(diǎn) G,如圖 . ? ∵ AF平分 ∠ EAC,∴∠ EAF=∠ CAF. ∵ DE∥ BF,∴∠ EAF=∠ AFC, ∴∠ CAF=∠ AFC,∴ CF=CA=2. ∵ AM=? AF,∴ AM∶ MF=1∶ 2. ∵ DE∥ BF,∴ ? =? =? =? , ∴ AH=1,S△ AHC=3S△ AHM=? , ∴ ? 2GH=? ,∴ GH=? , 13AHCF HMMC AMMF 121412 14 14∴ 在 Rt△ AHG中 ,AG=? =? , ∴ GC=ACAG=2? =? , ∴ ? =? =8? . 22AH GH?154154 8 1 54?1tan ACH? GCGH15解題思路 過 H作 HG⊥ AC于點(diǎn) G,構(gòu)造直角三角形 ,再分別求出相應(yīng)的邊即可 . 12.(2022四川成都 ,18,8分 )由我國完全自主設(shè)計(jì)、自主建造的首艘國產(chǎn)航母于 2022年 5月成功 完成第一次海上試驗(yàn)任務(wù) .如圖 ,航母由西向東航行 ,到達(dá) A處時 ,測得小島 C位于它的北偏東 70176。,∴ AG=? =2? cm,∵∠ ABD=30176。,∠ ADB=90176。,∴ AB=8 cm,DB=4? cm,∵ 點(diǎn) E為 AB的中點(diǎn) ,EM⊥ BD,∴ DE=? AB=4 cm,EM=? AD=2 cm,由等腰直角三 角形的性質(zhì)可知 ∠ ENM=∠ FND=45176。,∠ CBD=45176。,故選 D. ACBC10.(2022山西 ,15,3分 )一副三角板按如圖方式擺放 ,得到△ ABD和△ BCD,其中 ∠ ADB=∠ BCD= 90176。,∴∠ B=50176。 答案 D ∵∠ C=90176。 40176。,BC=3,則 AC=? ( ) 40176。方向上 .符合條件的示意圖是 ? ( ) ? 答案 D 本題考查方向角的簡單識別 ,選 D. 9.(2022浙江杭州 ,3,3分 )在直角三角形 ABC中 ,已知 ∠ C=90176。, ∴ AC=? =? k,∴ cos A=? =? =? , 故選 D. 22AB BC? 5ABAC5k k558.(2022河北 ,9,3分 )已知 :島 P位于島 Q的正西方 ,由島 P,Q分別測得船 R位于南偏東 30176。,AB=4,AC=1,則 cos B的值為 ? ( ) A.? B.? C.? D.? 154 141515 4 1 717答案 A 由勾股定理可得 BC=? ,所以 cos B=? =? .故選 A. 15BCAB 1544.(2022甘肅蘭州 ,3,4分 )如圖 ,一個斜坡長 130 m,坡頂離水平地面的距離為 50 m,那么這個斜坡 與水平地面夾角的正切值等于 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 513 1213 512 1312答案 C 在直角三角形中 ,根據(jù)勾股定理可知水平的直角邊長為 120 m,故這個斜坡與水平地 面夾角的正切值等于 ? =? ,故選 C. 50120512思路分析 先利用勾股定理求得第三邊的長 ,再利用正切的定義求正切值 . 5.(2022福建福州 ,9,3分 )如圖 ,以 O為圓心 ,1為半徑的弧交坐標(biāo)軸于 A,B兩點(diǎn) ,P是 ? 上一點(diǎn) (不與 A,B重合 ),連接 OP,設(shè) ∠ POB=α,則點(diǎn) P的坐標(biāo)是 ? ( ) ? A.(sin α,sin α) B.(cos α,cos α) C.(cos α,sin α) D.(sin α,cos α) AB︵答案 C 過 P作 PQ⊥ OB,交 OB于點(diǎn) Q, ? 在 Rt△ OPQ中 ,OP=1,∠ POQ=α, ∴ sin α=? ,cos α=? ,即 PQ=sin α,OQ=cos α, ∴ 點(diǎn) P的坐標(biāo)為 (cos α,sin α).故選 C. PQOP OQOP6.(2022廣東 ,8,3分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (4,3),那么 cos α的值是 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 34 43 35 45答案 D 過點(diǎn) A作 AB垂直 x軸于 B, 則 AB=3,OB=4. 由勾股定理得 OA=5. ∴ cos α=? =? .故選 D. ? OBOA457.(2022甘肅蘭州 ,4,4分 )如圖 ,△ ABC中 ,∠ B=90176。,即 ∠ ABC=90176。,∴ tan A=? =3. BCAC2.(2022貴州貴陽 ,7,3分 )如圖 ,A,B,C是小正方形的頂點(diǎn) ,且每個小正方形的邊長都為 1,則 tan∠ BAC的值為 ? ( ) ? A.? C.? D.? 12 333答案 B 如圖 ,連接 BC. 在△ ABD和△ BCE中 ,? ∴ △ ABD≌ △ BCE(SAS), ∴ AB=BC,∠ ABD=∠ BCE. ∵∠ BCE+∠ CBE=90176。,∴ BC=2BE=2? . 在 Rt△ ABE中 ,由勾股定理得 AE=? =2? , ∴ sin∠ 2=? ,cos∠ 2=? . 在 Rt△ CBG中 ,可求得 GC=4,GB=2,∴ AG=3. ∵ GC∥ BF,∴ △ AGC∽ △ ABF, ∴ ? =? ,∴ BF=? =? . 55 555522AB BE? 5255 55GCBF AGAB GC ABAG? 203評析 將解直角三角形與圓、相似等知識結(jié)合在一起考查是北京市中考命題常采用的形式 . 教師專用題組 考點(diǎn)一 銳角三角函數(shù) 1.(2022云南 ,12,4分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,AB=5,∴ BE=AB,即 ∠ ABF=90176。. ∴∠ 1+∠ 2=90176。AB =? (3+? )1+? (3+? )2 =? +? ? . ∴ 四邊形 ABCD的面積是 ? +? ? . 12 1212312392 32392 3232.(2022北京 ,20,5分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,以 AB為直徑的☉ O分別交 AC、 BC于點(diǎn) D、 E,點(diǎn) F在 AC的延長線上 ,且 ∠ CBF=? ∠ CAB. (1)求證 :直線 BF是☉ O的切線 。,BE=2? , ∴ AB=AE=2. ∴ AC=AE+EF+FC=3+? . 2323∴ S四邊形 ABCD=S△ ACD+S△ ABC =? AC, ∴ CD=2DF=2. ∴ FC=? . 在 Rt△ ABE中 ,∠ BAE=90176。,DE=? , ∴ DF=EF=1. ? 在 Rt△ CFD中 ,∠ CFD=90176。,DE=? ,BE=2? .求 CD的長和四邊形 ABCD的面積 . ?