【正文】 ,∵∠ OPA∠ OPB, 3 3 3 3,22????????2 3 3 3,22???????∴∠ OPA39。=∠ OPB+∠ BPA39。, 即 t=180t+30, 解得 t=105, ∴∠ POA=180176。105176。30176。=45176。, 這時(shí)點(diǎn) A?在 y軸上 . 設(shè)直線 AB的解析式為 y=kx+b(k≠ 0), 把點(diǎn) A(? ,0),點(diǎn) B(0,1)代入得 ? 解得 ? ∴ 直線 AB的解析式為 y=? x+1, ∵ 點(diǎn) P在直線 y=x上 , ∴ 令 x=? x+1,解得 x=? ,∴ P? . ② 當(dāng) t90時(shí) , ∵∠ OPA∠ OPB, ∴∠ OPA39。=∠ OPB∠ BPA39。, 即 t=180t30,解得 t=75, ∴∠ POA=180176。75176。30176。=75176。, 這時(shí)點(diǎn) A39。在第二象限 . ∵∠ POA=∠ OPA, 3 3 0 ,1,kbb? ???????3 ,31,kb? ???????3333 332?3 3 3 3,22????????∴ OA=AP=? , 過點(diǎn) P作 PM⊥ OA于 M,∵∠ OAP=30176。,∴ PM=? ,AM=? , ∴ OM=? ? =? ,∴ P? .綜上所述 ,當(dāng) ∠ BPA39。=30176。時(shí) , 332 323322 3 32 ? 2 3 3 3,22???????點(diǎn) P的坐標(biāo)為 ? 或 ? . 3 3 3 3,22????????2 3 3 3,22???????思路分析 (1)由點(diǎn) A和點(diǎn) B的坐標(biāo)得出 OA=? ,OB=1,由折疊可得 OA39。=OA=? ,在 Rt△ OBA39。中 , 由勾股定理求出 A39。B=? ,即可得點(diǎn) A39。的坐標(biāo) . (2)易知 AB=? =2,進(jìn)而得出△ BOP是等邊三角形 ,∠ OPA=120176。,由折疊的性質(zhì)得 ∠ OPA39。=∠ OPA=120176。,PA 39。=PA =1,然后證出 OB∥ PA 39。,由 OB=PA =PA 39。=1,得出四邊形 OPA39。B是平行 四邊形 ,即可得出 A39。B=OP=1. (3)顯然 ∠ OPA不是直角 ,分兩種情況 :① ∠ OPA90176。時(shí) ,先求 ∠ OPA,再求 ∠ POA,得出點(diǎn) A39。的位 置 ,再由待定系數(shù)法求出直線 AB的解析式為 y=? x+1,即可得到點(diǎn) P的坐標(biāo) 。② ∠ OPA90176。時(shí) , 同理 ,先求 ∠ OPA,再求 ∠ POA,過點(diǎn) P作 PM⊥ OA于 M,由直角三角形的性質(zhì)求出 PM=? PA =? , 再求出點(diǎn) P的橫坐標(biāo) ,進(jìn)而得到點(diǎn) P的坐標(biāo) . 3 3222OA OB?3312 3213.(2022湖北十堰 ,23,8分 )如圖 ,將矩形紙片 ABCD(ADAB)折疊 ,使點(diǎn) C剛好落在線段 AD上 ,且 折痕分別與邊 BC,AD相交 ,設(shè)折疊后點(diǎn) C,D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn) G,H,折痕分別與邊 BC,AD相交于 點(diǎn) E,F. (1)判斷四邊形 CEGF的形狀 ,并證明你的結(jié)論 。 (2)若 AB=3,BC=9,求線段 CE的取值范圍 . ? 解析 (1)四邊形 CEGF為菱形 . 證明 :∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴ AD∥ BC,∴∠ GFE=∠ FEC, ∵ 圖形翻折后點(diǎn) C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) G,EF為折線 , ∴∠ GEF=∠ FEC, ∴∠ GFE=∠ FEG,∴ GF=GE, ∵ 圖形翻折后 EC的對(duì)應(yīng)邊為 GE, ∴ GE=EC,∴ GF=EC, ∴ 四邊形 CEGF為平行四邊形 , 又 GE=EC, ∴ 四邊形 CEGF為菱形 . (2)如圖 1,當(dāng) F與 D重合時(shí) ,CE取最小值 , 由折疊的性質(zhì)得 CD=DG,∠ CDE=∠ GDE=45176。, ∵∠ ECD=90176。,∴∠ DEC=45176。=∠ CDE, ∴ CE=CD=DG,∵ DG∥ CE, ∴ 四邊形 CEGD是正方形 , ∴ CE=CD=AB=3. 如圖 2,當(dāng) G與 A重合時(shí) ,CE取最大值 , 由折疊的性質(zhì)得 AE=CE,∵∠ B=90176。, ∴ AE2=AB2+BE2,即 CE2=32+(9CE)2,∴ CE=5, ∴ 線段 CE的取值范圍為 3≤ CE≤ 5. 圖 2 圖 1 14.(2022浙江衢州 ,21,8分 )如圖 1,將矩形 ABCD沿 DE折疊 ,使頂點(diǎn) A落在 DC上的點(diǎn) A39。處 ,然后將 矩形展平 ,沿 EF折疊 ,使頂點(diǎn) A落在折痕 DE上的點(diǎn) G處 .再將矩形 ABCD沿 CE折疊 ,此時(shí)頂點(diǎn) B恰 好落在 DE上的點(diǎn) H處 ,如圖 2. (1)求證 :EG=CH。 (2)已知 AF=? ,求 AD和 AB的長(zhǎng) . ? 2解析 (1)證明 :由折疊及矩形的性質(zhì)可知 EG=AE=A39。E=AD,CH=BC=AD, ∴ EG=CH. (2)∵∠ ADE=∠ A39。DE=? =45176。, ∠ FGE=∠ A=90176。,FG=AF=? , ∴ DG=? ,DF=2,∴ AD=AF+DF=? +2. 由折疊知 ∠ AEF=∠ GEF,∠ BEC=∠ HEC, ∴∠ GEF+∠ HEC=90176。,∠ AEF+∠ BEC=90176。, ∵∠ AEF+∠ AFE=90176。,∴∠ BEC=∠ AFE, 在△ AEF與△ BCE中 , ? ∴ △ AEF≌ △ BCE(AAS),∴ AF=BE, ∴ AB=AE+BE=AD+AF=? +2+? =2? +2. 39。2AD A?22 2,9 0 ,A F E B E CABA E B C? ? ???? ? ? ? ?????2 2 215.(2022福建福州 ,24,12分 )定義 :長(zhǎng)寬比為 ? ∶ 1(n為正整數(shù) )的矩形稱為 ? 矩形 . 下面 ,我們通過折疊的方式折出一個(gè) ? 矩形 ,如圖①所示 . 操作 1:將正方形 ABCD沿過點(diǎn) B的直線折疊 ,使折疊后的點(diǎn) C落在對(duì)角線 BD上的點(diǎn) G處 ,折痕為 BH. 操作 2:將 AD沿過點(diǎn) G的直線折疊 ,使點(diǎn) A,點(diǎn) D分別落在邊 AB,CD上 ,折痕為 EF. 則四邊形 BCEF為 ? 矩形 . ? 圖① 證明 :設(shè)正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 1,則 BD=? =? . 由折疊性質(zhì)可知 BG=BC=1,∠ AFE=∠ BFE=90176。,則四邊形 BCEF為矩形 , ∴∠ A=∠ BFE. n n222211? 2∴ EF∥ AD. ∴ ? =? ,即 ? =? . ∴ BF=? . ∴ BC∶ BF=1∶ ? =? ∶ 1. ∴ 四邊形 BCEF為 ? 矩形 . 閱讀以上內(nèi)容 ,回答下列問題 : (1)在圖①中 ,所有與 CH相等的線段是 ,tan∠ HBC的值是 。 (2)已知四邊形 BCEF為 ? 矩形 ,模仿上述操作 ,得到四邊形 BCMN,如圖② ,求證 :四邊形 BCMN是 ? 矩形 。 (3)將圖②中的 ? 矩形 BCMN沿用 (2)中的方式操作 3次后 ,得到一個(gè)“ ? 矩形” ,則 n的值是 . BGBD BFAB 12 1BF121222233 n圖② 解析 (1)GH,DG。? 1. (2)證明 :∵ BF=? ,BC=1, ∴ BE=? =? . 由折疊性質(zhì)可知 BP=BC=1,∠ FNM=∠ BNM=90176。, 則四邊形 BCMN為矩形 , ∴∠ BNM=∠ F. ∴ MN∥ EF. ∴ ? =? , 即 BPBF=BEBN. ∴ ? BN=? .∴ BN=? . ∴ BC∶ BN=1∶ ? =? ∶ 1.∴ 四邊形 BCMN是 ? 矩形 . (3)6. 22222BF BC?62BPBE BNBF62 22 13133 3考點(diǎn)二 圖形的平移 1.(2022山東濟(jì)寧 ,7,3分 )如圖 ,將△ ABE向右平移 2 cm得到△ DCF,如果△ ABE的周長(zhǎng)是 16 cm,那 么四邊形 ABFD的周長(zhǎng)是 ( ) ? cm cm cm cm 答案 C ∵ △ ABE向右平移 2 cm得到△ DCF, ∴ EF=AD=2 cm,AE=DF, ∵ △ ABE的周長(zhǎng)為 16 cm,∴ AB+BE+AE=16 cm, ∴ 四邊形 ABFD的周長(zhǎng) =AB+BE+EF+DF+AD=AB+BE+AE+EF+AD=16 cm+2 cm+2 cm=20 cm. 故選 C. 2.(2022浙江麗水 ,10,3分 )如圖 ,在方格紙中 ,線段 a,b,c,d的端點(diǎn)在格點(diǎn)上 ,通過平移其中兩條線 段 ,使得和第三條線段首尾相接組成三角形 ,則能組成三角形的不同平移方法有 ? ( ) 答案 B 設(shè)小方格的邊長(zhǎng)為 a=? ,b=? ,c=2? ,d=? . ∵ a+bc,a+dc,b+d=c,badb+a, ∴ 根據(jù)三角形的構(gòu)成條件 ,只有 a,b,d三條線段首尾相接能組成三角形 . 如圖所示 ,通過平移其中兩條線段 ,使得和第三條線段首尾相接組成三角形的不同平移方法有 6種 . 2 5 5 53.(2022廣東廣州 ,13,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,AB=AC,BC=12 cm,點(diǎn) D在 AC上 ,DC=4 DC沿 著 CB的方向平移 7 cm得到線段 EF,點(diǎn) E,F分別落在邊 AB,BC上 ,則△ EBF的周長(zhǎng)為 cm. ? 答案 13 解析 ∵ 將線段 DC沿著 CB的方向平移 7 cm得到線段 EF, ∴ EF=DC=4 cm,FC=7 cm, ∵ AB=AC,BC=12 cm,∴∠ B=∠ C,BF=5 cm, ∴∠ B=∠ BFE,∴ BE=EF=4 cm, ∴ △ EBF的周長(zhǎng)為 4+4+5=13(cm). 4.(2022山東濟(jì)南 ,20,3分 )如圖 ,將邊長(zhǎng)為 12的正方形 ABCD沿其對(duì)角線 AC剪開 ,再把△ ABC沿著 AD方向平移 ,得到△ A39。B39。C39。,當(dāng)兩個(gè)三角形重疊部分的面積為 32時(shí) ,它移動(dòng)的距離 AA39。等于 . ? 答案 4或 8 解析 設(shè) AA39。=x,則 A39。D=12x,則有 x(12x)=32,解得 x=4或 8,經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意 . 5.(2022福建 ,21,8分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,AB=10,AC= AD由線段 AB繞點(diǎn) A按逆時(shí) 針方向旋轉(zhuǎn) 90176。得到 ,△ EFG由△ ABC沿 CB方向平移得到 ,且直線 EF過點(diǎn) D. (1)求 ∠ BDF的大小 。 (2)求 CG的長(zhǎng) . ? 解析 (1)∵ 線段 AD由線段 AB繞點(diǎn) A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90176。得到 , ∴∠ DAB=90176。,AD=AB=10. ∴∠ ABD=45176。. ∵ △ EFG由△ ABC沿 CB方向平移得到 ,∴ AB∥ EF, ∴∠ BDF=∠ ABD=45176。. (2)由平移的性質(zhì)可得 AE∥ CG,AB∥ EF,且 AE=CG. ∴∠ DEA=∠ DFC=∠ ABC,∠ ADE+∠ DAB=180176。, ∵∠ DAB=90176。,∴∠ ADE=90176。, ∵∠ ACB=90176。,∴∠ ADE=∠ ACB,∴ △ ADE∽ △ ACB,∴ ? =? , ∵ AC=8,AB=AD=10,∴ AE=? ,∴ CG=AE=? . ADAC AEAB252 252解后反思 本題考查圖形的平移與旋轉(zhuǎn)、平行線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、 解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí) ,考查運(yùn)算能力、推理能力、數(shù)形結(jié)合 思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想 . 6.(2022安徽 ,17,8分 )如圖 ,在邊長(zhǎng)為 1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的 1212網(wǎng)格中 ,給出了四邊 形 ABCD的兩條邊 AB與 BC,且四邊形 ABCD是一個(gè)軸對(duì)稱圖形 ,其對(duì)稱軸為直線 AC. (1)試在圖中標(biāo)出點(diǎn) D,并畫出該四邊形的另兩條邊 。 (2)將四邊形 ABCD向下平移 5個(gè)單位 ,畫出平移后得到的四邊形 A39。B39。C39。D39。. ? 解析 (1)點(diǎn) D及四邊形 ABCD另兩條邊如圖所示 .? (4分 ) (2)得到的四邊形 A39。B39。C39。D39。如圖所示 .? (8分 ) ? 7.(2022江蘇揚(yáng)州 ,23,10分 )如圖 ,已知 Rt△ ABC中 ,∠ ABC=90176。,先把△ ABC繞點(diǎn) B順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。 至△ DBE后 ,再把△ ABC沿射線 AB平移至△ FEG,DE、 FG相交于點(diǎn) H. (1)判斷線段 DE、 FG的位置關(guān)系 ,并說明理由 。 (2)連接 CG,求證 :四邊形 CBEG是正方形 . ? 解析 (1)DE⊥ GF. 理由 :∵ △ DBE是由△ ABC繞點(diǎn) B旋轉(zhuǎn)而得 , ∴ △ ABC≌ △ DBE,∴∠ ACB=∠ DEB, ∵ △ FEG是由△ ABC平移而得 , ∴ △ ABC≌ △ FEG,∴∠ A=∠ GFE, ∵∠ ABC=90176。,∴∠ A+∠ ACB=90176。, ∴∠ GFE+∠ DEB=90176。,∴∠ FHE=90176。,∴ DE⊥ GF.? (5分 ) (2)證明 :∵ △ DBE是由△ ABC繞點(diǎn) B旋轉(zhuǎn)而得 , ∴ △ ABC≌ △ DBE,∴∠ DBE=∠ ABC=90176。,BC=BE, ∵ △ FEG是由△ ABC平移而得 , ∴ CG?? BE,∴ 四邊形 CBEG是平行四邊形 , ∵ BC=BE,∴ 平行四邊