【正文】 167。 圖形的變換 中考數(shù)學(xué) (河北專用 ) 1.(2022河北 ,3,3分 )圖中由“ ? ”和“ ? ”組成軸對稱圖形 ,該圖形的對稱軸是直線 ? ( ) ? A組 20222022年河北中考題組 五年中考 答案 C 如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊 ,直線兩旁的部分能夠完全重合 ,這個(gè)圖形叫做軸對 稱圖形 ,由此知該圖形的對稱軸是直線 l3,故選 C. 2.(2022河北 ,5,3分 )圖 1和圖 2中所有的小正方形都全等 .將圖 1的正方形放在圖 2中①②③④的 某一位置 ,使它與原來 7個(gè)小正方形組成的圖形是中心對稱圖形 ,這個(gè)位置是 ? ( ) ? 圖 1 圖 2 A.① B.② C.③ D.④ 答案 C 根據(jù)中心對稱圖形的定義知當(dāng)正方形放在③的位置時(shí) ,可使它與原來的 7個(gè)小正方 形組成的圖形是中心對稱圖形 .故選 C. 3.(2022河北 ,16,2分 )已知正方形 MNOK和正六邊形 ABCDEF邊長均為 1,把正方形放在正六邊 形中 ,使 OK邊與 AB邊重合 ,如圖所示 ,按下列步驟操作 : 將正方形在正六邊形中繞點(diǎn) B順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ,使 KM邊與 BC邊重合 ,完成第一次旋轉(zhuǎn) 。再繞點(diǎn) C順時(shí) 針旋轉(zhuǎn) ,使 MN邊與 CD邊重合 ,完成第二次旋轉(zhuǎn) 。…… 在這樣連續(xù) 6次旋轉(zhuǎn)的過程中 ,點(diǎn) B,M間的 距離可能是 ? ( ) ? 答案 C 在第一次旋轉(zhuǎn)過程中 ,BM=1。 在第二次旋轉(zhuǎn)過程中 ,點(diǎn) M位置不變 ,BM=1。 在第三次旋轉(zhuǎn)過程中 ,BM的長由 1逐漸變小為 ? 1。 在第四次旋轉(zhuǎn)過程中 ,點(diǎn) M在以點(diǎn) E為圓心 ,? 為半徑的圓弧上 ,BM的長由 ? 1逐漸變小為 2 ? ,然后逐漸變大為 ? 1。 在第五次旋轉(zhuǎn)過程中 ,BM的長由 ? 1逐漸變大為 1。 在第六次旋轉(zhuǎn)過程中 ,點(diǎn) M位置不變 ,BM=1. 顯然連續(xù) 6次旋轉(zhuǎn)的過程中 ,點(diǎn) B,M間的距離可能是 ,故選 C. 32 32 33解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是求出每個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中 BM長的變化范圍 . 4.(2022河北 ,3,3分 )下列圖形中 ,既是軸對稱圖形 ,又是中心對稱圖形的是 ? ( ) ? 答案 A 選項(xiàng) B只是軸對稱圖形 ,選項(xiàng) C和 D只是中心對稱圖形 ,只有選項(xiàng) A既是軸對稱圖形 , 又是中心對稱圖形 . 5.(2022河北 ,13,2分 )如圖 ,將 ?ABCD沿對角線 AC折疊 ,使點(diǎn) B落在點(diǎn) B39。處 .若 ∠ 1=∠ 2=44176。,則 ∠ B為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 C 設(shè) AB39。與 CD相交于點(diǎn) P,由折疊知 ∠ CAB39。=∠ CAB,由 AB∥ CD,得 ∠ 1=∠ BAB39。,∴∠ CAB=∠ CAB39。=? ∠ 1=22176。.在△ ABC中 ,∠ CAB=22176。,∠ 2=44176。,∴∠ B=180176。22176。44176。=114176。. 12評析 折疊問題是中考中的常見題目 ,在解決這類問題時(shí) ,要抓住折疊前后圖形的變化特征 ,從 某種意義上說 ,折疊問題其實(shí)就是軸對稱問題 . 6.(2022河北 ,3,3分 )一張菱形紙片按圖 圖 2依次對折后 ,再按圖 3打出一個(gè)圓形小孔 ,則展開 鋪平后的圖案是 ? ( ) ? ? 答案 C 可以動(dòng)手操作 ,也可根據(jù)對折的順序及菱形的對稱性來判斷 .選 C. 7.(2022河北 ,26,14分 )平面上 ,矩形 ABCD與直徑為 QP的半圓 K如圖 1擺放 ,分別延長 DA和 QP交 于點(diǎn) O,且 ∠ DOQ=60176。,OQ=OD=3,OP=2,OA=AB= OD及矩形 ABCD位置固定 ,將線段 OQ連帶著半圓 K一起繞著點(diǎn) O按逆時(shí)針方向開始旋轉(zhuǎn) ,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 α(0176。≤ α≤ 60176。). ? 圖 1 發(fā)現(xiàn) (1)當(dāng) α=0176。,即初始位置時(shí) ,點(diǎn) P 直線 AB上 .(填“在”或“不在” ) 求當(dāng) α是多少時(shí) ,OQ經(jīng)過點(diǎn) B。 (2)在 OQ旋轉(zhuǎn)過程中 ,簡要說明 α是多少時(shí) ,點(diǎn) P,A間的距離最小 ,并指出這個(gè)最小值 。 (3)如圖 2,當(dāng)點(diǎn) P恰好落在 BC邊上時(shí) ,求 α及 S陰影 . ? 圖 2 拓展 如圖 3,當(dāng)線段 OQ與 CB邊交于點(diǎn) M,與 BA邊交于點(diǎn) N時(shí) ,設(shè) BM=x(x0),用含 x的代數(shù)式表示 BN的 長 ,并求 x的取值范圍 . ? 圖 3 探究 當(dāng)半圓 K與矩形 ABCD的邊相切時(shí) ,求 sin α的值 . 備用圖 解析 發(fā)現(xiàn) (1)在 .? (1分 ) 當(dāng) OQ過點(diǎn) B時(shí) ,在 Rt△ OAB中 ,AO=AB,得 ∠ DOQ=∠ ABO=45176。,∴ α=60176。45176。=15176。.? (3分 ) (2)如圖 1,連接 AP,有 OA+AP≥ OP,當(dāng) OP過點(diǎn) A,即 α=60176。時(shí)等號成立 . ∴ AP≥ OPOA=21=1. ∴ 當(dāng) α=60176。時(shí) ,P,A間的距離最小 .? (5分 ) PA的最小值為 1.? (6分 ) ? 圖 1 (3)如圖 1,設(shè)半圓 K與 PC交點(diǎn)為 R,連接 RK,過點(diǎn) P作 PH⊥ AD于點(diǎn) H,過點(diǎn) R作 RE⊥ KQ于點(diǎn) E. 在 Rt△ OPH中 ,PH=AB=1,OP=2,∴∠ POH=30176。, ∴ α=60176。30176。=30176。.? (7分 ) 由 AD∥ BC知 ,∠ RPQ=∠ POH=30176。. ∴∠ RKQ=230176。=60176。. ∴ S扇形 RKQ=? =? . 在 Rt△ RKE中 ,RE=RKsin 60176。=? , ∴ S△ RKP=? PKRE=? . ∴ S陰影 =? +? .? (8分 ) 拓展 如題圖 3,∠ OAN=∠ MBN=90176。, ∠ ANO=∠ BNM, ∴ △ AON∽ △ BMN, ∴ ? =? , 即 ? =? , 2160 2360? ??????24?3412 31624? 316ANBN AOBM1 BNBN?1x圖 2 ∴ BN=? .? (10分 ) 如圖 2,當(dāng)點(diǎn) Q落在 BC上時(shí) ,x取最大值 ,作 QF⊥ AD于點(diǎn) F. BQ=AF=? AO=? 1=2? 1. 1xx ?22OQ QF? 2231? 2∴ x的取值范圍是 0x≤ 2? 1.? (11分 ) [注 :如果答“ x≤ 2? 1或 x2? 1”均不扣分 ] 探究 半圓與矩形相切 ,分三種情況 : ① 如圖 3,半圓 K與 BC切于點(diǎn) T,設(shè)直線 KT與 AD和 OQ的初始位置所在直線分別交于點(diǎn) S,O39。,則 ∠ KSO=∠ KTB=90176。,作 KG⊥ OO39。于點(diǎn) G. ? 圖 3 Rt△ OSK中 ,OS=? =? =2. 22 222OK SK? 225322? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?Rt△ OSO39。中 ,SO39。=OStan 60176。=2? ,KO39。=2? ? . Rt△ KGO39。中 ,∠ O39。=30176。, ∴ KG=? KO39。=? ? . ∴ Rt△ OGK中 ,sin α=? =? =? . ② 半圓 K與 AD切于點(diǎn) T,如圖 4, ? 3 33212334KGOK 33452? 4 3 310?圖 4 同理可得 sin α=? =? =? =? =? . ③ 當(dāng)半圓 K與 CD相切時(shí) ,點(diǎn) Q與點(diǎn) D重合 ,且為切點(diǎn) . ∴ α=60176。,∴ sin α=sin 60176。=? .綜上所述 ,sin α的值為 ? 或 ? 或 ? .? (14分 ) KGOK 1 39。252OK1 ( 39。 )252O T K T?225 1 132 2 25? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?6 2 110?32 4 3 310? 6 2 110? 32解題關(guān)鍵 本題考查矩形的性質(zhì) ,直線與圓的位置關(guān)系 ,勾股定理 ,銳角三角函數(shù) ,根據(jù)題意正 確畫出圖形是解題的關(guān)鍵 . 8.(2022河北 ,25,11分 )圖 1和圖 2中 ,優(yōu)弧 AB所在☉ O的半徑為 2,AB=2? .點(diǎn) P為優(yōu)弧 AB上一點(diǎn) (點(diǎn) P不與 A,B重合 ),將圖形沿 BP折疊 ,得到點(diǎn) A的對稱點(diǎn) A39。. (1)點(diǎn) O到弦 AB的距離是 ,當(dāng) BP經(jīng)過點(diǎn) O時(shí) ,∠ ABA39。= 176。 (2)當(dāng) BA39。與☉ O相切時(shí) ,如圖 2,求折痕 BP的長 。 (3)若 ? BA39。與優(yōu)弧 AB只有一個(gè)公共點(diǎn) B,設(shè) ∠ ABP=α,確定 α的取值范圍 . ? 圖 1 ? 3??線 段圖 2 解析 (1)1。? (2分 ) 60.? (4分 ) (2)過點(diǎn) O作 OC⊥ AB于點(diǎn) C,連接 OB,如圖 . ∵ BA39。與☉ O相切 , ∴∠ OBA39。=90176。. 在 Rt△ OBC中 ,OB=2,OC=1, ∴ sin∠ OBC=? =? ,∴∠ OBC=30176。. ∴∠ ABP=? ∠ ABA39。=? (∠ OBA39。+∠ OBC)=60176。. ∴∠ OBP=30176。.? (6分 ) OCOB1212 12過點(diǎn) O作 OD⊥ BP于點(diǎn) D,則 BP=2BD. ∴ BD=OBcos 30176。=? . ∴ BP=2? .? (7分 ) (3)∵ 點(diǎn) P,A不重合 ,∴ α0176。. 由 (1)得 ,當(dāng) α增大到 30176。時(shí) ,點(diǎn) A39。在優(yōu)弧 AB上 , ∴ 當(dāng) 0176。α30176。時(shí) ,點(diǎn) A39。在☉ O內(nèi) ,線段 BA39。與優(yōu)弧 AB只有一個(gè)公共點(diǎn) B. 由 (2)知 ,當(dāng) α增大到 60176。時(shí) ,BA39。與☉ O相切 ,即線段 BA39。與優(yōu)弧 AB只有一個(gè)公共點(diǎn) B. 當(dāng) α繼續(xù)增大時(shí) ,點(diǎn) P逐漸靠近點(diǎn) B,但點(diǎn) P,B不重合 , ∴∠ OBP90176。. ∵ α=∠ OBA+∠ OBP,∠ OBA=30176。,∴ α120176。. ∴ 當(dāng) 60176?！?α120176。時(shí) ,線段 BA39。與優(yōu)弧 AB只有一個(gè)公共點(diǎn) B. 綜上所述 ,α的取值范圍是 0176。α30176。或 60176。≤ α120176。.? (11分 ) [參考 :下圖所示的是在折疊過程中 ,BP的 4個(gè)特殊位置 ,點(diǎn) A39。落在以 B為圓心、 BA為半徑的虛線 圓弧上 .觀察圖形 ,由線段 BA39。與☉ O的位置可確定 α的范圍 ] 33解題關(guān)鍵 本題考查切線的性質(zhì)、垂徑定理、三角函數(shù)、翻折等知識 ,用臨界值法求 α的取值 范圍是解題的關(guān)鍵 . B組 2022— 2022年全國中考題組 考點(diǎn)一 圖形的軸對稱 1.(2022重慶 ,2,4分 )下列圖形中一定是軸對稱圖形的是 ? ( ) ? 答案 D 根據(jù)軸對稱圖形的概念可得矩形一定是軸對稱圖形 .故選 D. 解題關(guān)鍵 判斷軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸 . 2.(2022天津 ,10,3分 )如圖 ,將一個(gè)三角形紙片 ABC沿過點(diǎn) B的直線折疊 ,使點(diǎn) C落在 AB邊上的點(diǎn) E處 ,折痕為 BD,則下列結(jié)論一定正確的是 ? ( ) ? =BD =AC +EB=DB +CB=AB 答案 D 由折疊的性質(zhì)知 ,BC=BE,∴ AE+CB= D. 3.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,3,3分 )下圖中序號 (1)(2)(3)(4)對應(yīng)的四個(gè)三角形 ,都是△ ABC這個(gè)圖形 進(jìn)行了一次變換之后得到的 ,其中是通過軸對稱得到的是 ? ( ) A.(1) B.(2) C.(3) D.(4) 答案 A 根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知 ,序號 (1)對應(yīng)的三角形與△ ABC的對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被一 條直線 (對稱軸 )垂直平分 ,故選 A. 4.(2022四川南充 ,3,3分 )如圖 ,直線 MN是四邊形 AMBN的對稱軸 ,點(diǎn) P是直線 MN上的點(diǎn) ,下列判 斷錯(cuò)誤的是 ? ( ) ? =BM =BN C.∠ MAP=∠ MBP D.∠ ANM=∠ BNM 答案 B 根據(jù)軸對稱的性質(zhì) ,可知 AM=BM,△ MAP≌ △ MBP,△ AMN≌ △ BMN,∴∠ M