【正文】 167。 解直角三角形 中考數(shù)學 (湖南專用 ) A組 2022— 2022年湖南中考題組 五年中考 考點一 銳角三角函數(shù) 1.(2022湖南益陽 ,8,4分 )如圖 ,小剛從山腳 A出發(fā) ,沿坡角為 α的山坡向上走了 300米到達 B點 ,則 小剛上升了 ? ( ) ? α米 α米 α米 D.? 米 300ta n α答案 A 根據(jù)三角函數(shù)的定義得 ,sin α=? , 得 BO=ABsin α,又 AB=300米 , 所以 BO=300sin α米 ,故選 A. BOAB2.(2022湖南懷化 ,6,3分 )如圖 ,在平面直角坐標系中 ,點 A的坐標為 (3,4),那么 sin α的值是 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 35 34 45 43答案 C 作 AB ⊥ x軸于 B,如圖 , ? ∵ 點 A的坐標為 (3,4), ∴ OB=3,AB=4, ∴ OA=? =5, 在 Rt△ AOB中 ,sin α=? =? .故選 C. 2234?ABOA453.(2022湖南永州 ,11,4分 )下列式子 錯誤 的是 ? ( ) 40176。=sin 50176。 15176。tan 75176。=1 176。+cos225176。=1 60176。=2sin 30176。 答案 D ∵ sin 60176。=? ,2sin 30176。=2? =1, ∴ 選項 D錯誤 ,故選 D. 32 124.(2022湖南邵陽 ,13,3分 )下列計算中正確的序號是 . ① 2? ? =2。② sin 30176。=? 。③ |2|=2. 5 532答案 ③ 解析 2? ? =? ,故①錯誤 。sin 30176。=? ,故②錯誤 。|2|=2,故③正確 . 5 5 5125.(2022湖南長沙 ,19,6分 )計算 :? +4cos 60176。|3|+? . 112???????9解析 原式 =2+4? 3+3=2+2=4. 12思路分析 本題考查了負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì) ,特殊三角函數(shù)值 ,絕對值的化簡 ,非負數(shù)的算術(shù)平 方根 . 易錯警示 本題易錯點有兩個 :① 負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì) :? 錯等于 2。② 記混特殊三角函數(shù) 值 ,cos 60176。錯記成 ? . 112???????32考點二 解直角三角形 1.(2022湖南常德 ,6,3分 )如圖 ,已知 BD是△ ABC的角平分線 ,ED是 BC的垂直平分線 ,∠ BAC=90176。, AD=3,則 CE的長為 ? ( ) ? ? 3答案 D ∵ ED是 BC的垂直平分線 , ∴ DB=DC, ∴∠ C=∠ DBC, ∵ BD是△ ABC的角平分線 , ∴∠ ABD=∠ DBC,∵∠ BAC=90176。, ∴∠ C=∠ DBC=∠ ABD=30176。, ∴ BD=2AD=6, ∴ CE=CDcos C=3? . 故選 D. 32.(2022湖南益陽 ,7,3分 )如圖 ,電線桿 CD的高度為 h,兩根拉線 AC與 BC相互垂直 ,∠ CAB=α,則拉 線 BC的長度為 (A、 D、 B在同一條直線上 )? ( ) ? A.? B.? C.? cos α s i nh α c o sh α ta nh α答案 B 因為 CD⊥ AB,AC⊥ BC,所以 ∠ CAB+∠ ACD=90176。,∠ ACD+∠ BCD=90176。,所以 ∠ CAB= ∠ BCD= Rt△ BCD中 ,cos α=? ,故 BC=? ,故選 B. hBC c o sh α思路分析 利用 CD與 AB垂直 ,AC與 BC垂直 ,得到 ∠ BCD=∠ CAB=α,再根據(jù)余弦的定義即可求 得 BC的長度 . 3.(2022湖南懷化 ,10,4分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,sin A=? ,AC=6 cm,則 BC的長度為 ? ( ) cm cm cm cm 45答案 C ∵ sin A=? =? , ∴ 設(shè) BC=4x,AB=5x(x0), 又 ∵ AC2+BC2=AB2, ∴ 62+(4x)2=(5x)2, 解得 x=2或 x=2(舍 ), 則 BC=4x=8 cm, 故選 C. BCAB 45思路分析 先由 sin A=? =? 設(shè)未知量 ,再利用勾股定理列方程求解 . BCAB 45解題關(guān)鍵 本題考查了三角函數(shù)與勾股定理 ,正確理解三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵 . 4.(2022湖南益陽 ,8,5分 )小明利用測角儀和旗桿的拉繩測量學校旗桿的高度 ,如圖 ,旗桿 PA的高 度與拉繩 PB的長度相等 ,小明將 PB拉到 PB39。的位置 ,測得 ∠ PB39。C=α(B39。C為水平線 ),測角儀 B39。D的 高度為 1,則旗桿 PA的高度為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 11 sin α? 11 sin α? 11 cos α? 11 cos α?答案 A 由題易得 CB=B39。D=1,PC=PBCB= PA =PB=PB39。=x,則 PC= Rt△ PCB39。中 , sin α=? ,即 sin α=? ,∴ x=? .故選 A. 39。PCPB 1x x?11 sin α?5.(2022湖南長沙 ,11,3分 )如圖 ,熱氣球的探測器顯示 ,從熱氣球 A處看一棟樓頂部 B處的仰角為 3 0176。,看這棟樓底部 C處的俯角為 60176。,熱氣球 A處與樓的水平距離為 120 m,則這棟樓的高度為 ? ( ) ? ? m ? m m ? m 3 3 2答案 A 設(shè) AD⊥ BC于點 D,由題意得 AD=120 m, 在 Rt△ ABD中 ,∵∠ BAD=30176。, ∴ BD=ADtan∠ BAD=120tan 30176。=120? =40? (m). 在 Rt△ ACD中 ,∵∠ CAD=60176。, ∴ CD=ADtan∠ CAD=120tan 60176。=120? =120? (m). ∴ BC=BD+CD=40? +120? =160? (m),故選 A. 3333 33 3 3評析 本題考查了解直角三角形 ,解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形 ,利用銳角三角函數(shù)求解 . 6.(2022湖南長沙 ,11,3分 )如圖 ,為測量一棵與地面垂直的樹 OA的高度 ,在距離樹的底端 30米的 B處 ,測得樹頂 A的仰角 ∠ ABO為 α,則樹 OA的高度為 ? ( ) ? A.? 米 α米 α米 α米 30ta n α答案 C 根據(jù)題意可得 BO=30米 ,tan∠ ABO=? ,則 AO=BOtan∠ ABO=30tan α(米 ). AOBO7.(2022湖南衡陽 ,12,3分 )如圖 ,為了測得電視塔的高度 AB,在 D處用高為 1米的測角儀 CD,測得 電視塔頂端 A的仰角為 30176。,再向電視塔方向前進 100米到達 F處 ,又測得電視塔頂端 A的仰角為 6 0176。,則這個電視塔的高度 AB為 ? ( ) ? ? 米 C.(50? +1)米 3 3答案 C 設(shè) AG=x米 ,則 CG=? =? =? x米 ,EG=? =? x米 ,CGEG=100米 ,即 ? x ? x=100,解得 x=50? .∴ AB=AG+GB=(50? +1)米 ,故選 C. tan 30AG?33x3tan 60AG? 333333 3思路分析 求 AB的長即求 AG的長 ,設(shè) AG=x,分別表示 CG,EG,利用 CGEG=100米列方程求解 . 解題關(guān)鍵 根據(jù)兩個仰角構(gòu)造直角三角形 ,利用三角函數(shù)求解 . 8.(2022湖南邵陽 ,24,8分 )某商場為方便消費者購物 ,準備將原來的階梯式自動扶梯改造成斜坡 式自動扶梯 .如圖所示 ,已知原階梯式自動扶梯 AB長為 10 m,坡角 ∠ ABD為 30176。.改造后的斜坡式 自動扶梯的坡角 ∠ ACB為 15176。,請你計算改造后的斜坡式自動扶梯 AC的長度 .(結(jié)果精確到 :sin 15176。≈ ,cos 15176?！?,tan 15176。≈ ) ? 解析 在 Rt△ ABD中 ,∠ ABD=30176。,AB=10 m, ∴ AD=ABsin∠ ABD=10sin 30176。=5 m, 在 Rt△ ACD中 ,∠ ACD=15176。,sin∠ ACD=? , ∴ AC=? =? ≈ ? ≈ m. 即改造后的斜坡式自動扶梯 AC的長度約為 . ADACsin ADACD? 5sin 15? 50 . 2 69.(2022湖南湘潭 ,19,6分 )隨著航母編隊的成立 ,我國海軍日益強大 ,2022年 4月 12日 ,中央軍委在 南海海域隆重舉行海上閱兵 ,在閱兵之前我軍加強了海上巡邏 ,如圖 ,我軍巡邏艦在某海域航行 到 A處時 ,該艦在觀測點 P的南偏東 45176。的方向上 ,且與觀測點 P的距離 PA為 400海里 。巡邏艦繼續(xù) 沿正北方向航行一段時間后 ,到達位于觀測點 P的北偏東 30176。方向上的 B處 ,問此時巡邏艦與觀 測點 P的距離 PB為多少海里 ?(參考數(shù)據(jù) :? ≈ ,? ≈ ,結(jié)果精確到 1海里 ) ? 2 3解析 在△ APC中 ,∠ ACP=90176。,∠ APC=45176。,則 AC=PC. ? ∵ AP=400海里 , ∴ 由勾股定理知 ,AP2=AC2+PC2=2PC2,即 4002=2PC2, 故 PC=200? 海里 . 在 Rt△ BPC中 ,∠ PCB=90176。,∠ BPC=60176。, ∴ PB=? =2PC=400? ≈ 400≈ 566(海里 ). 答 :此時巡邏艦與觀測點 P的距離 PB約為 566海里 . 2co s 6 0PC? 2思路分析 通過勾股定理得到線段 PC的長度 ,然后解直角△ BPC求得線段 PB的長度即可 . 10.(2022湖南長沙 ,22,8分 )為了維護國家主權(quán)和海洋權(quán)利 ,海監(jiān)部門對我國領(lǐng)海實現(xiàn)了常態(tài)化 巡航管理 .如圖 ,正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時 50海里的速度向正東方向航行 ,在 A處測 得燈塔 P在北偏東 60176。方向上 ,繼續(xù)航行 1小時到達 B處 ,此時測得燈塔 P在北偏東 30176。方向上 . (1)求 ∠ APB的度數(shù) 。 (2)已知在燈塔 P的周圍 25海里內(nèi)有暗礁 ,問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全 ? ? 解析 (1)如圖 ,過點 B作 BC⊥ AB,交 AP于點 C,過點 A作 AD∥ BC,則 ∠ ACB=∠ CAD=60176。,∴∠ APB=∠ ACB∠ CBP=60176。30176。=30176。. ? (2)解法一 :過點 P作 PE⊥ AB于點 E,依題意知 AB=50海里 , 設(shè) PE=x海里 ,則 BE=? x海里 , 易知 ∠ APE=∠ DAP=60176。, 在 Rt△ APE中 ,∵ tan∠ APE=? , 33AEPE∴ tan 60176。=? ,解得 x=25? . ∵ 25? 25,∴ 海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的 . 解法二 :過點 P作 PE⊥ AB于點 E,由 (1)知 ∠ APB=30176。, ∵∠ PAD=60176。, ∴∠ PAB=30176。, ∴∠ APB=∠ PAB, ∴ PB=AB=50海里 . 在 Rt△ PBE中 ,sin∠ PBE=? , ∴ PE=PBsin 60176。=25? 海里 . ∵ 25? 25, ∴ 海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的 . 3503 xx? 33PEPB3311.(2022湖南郴州 ,22,8分 )如圖 ,要測量 A點到河岸 BC的距離 ,在 B點測得 A點在 B點的北偏東 30176。 方向上 ,在 C點測得 A點在 C點的北偏西 45176。方向上 ,又測得 BC=150 A點到河岸 BC的距離 . (結(jié)果保留整數(shù) .參考數(shù)據(jù) :? ≈ ,? ≈ ) ? 2 3解析 如圖 ,過點 A作 AD⊥ BC于點 D, ? 則 AD的長為點 A到河岸 BC的距離 .? (1分 ) 由題意知 ∠ BAD=30176。,∠ CAD=45176。, ∴ 在 Rt△ ADC中 ,CD=AD,? (2分 ) 在 Rt△ ABD中 ,BD=ADtan 30176。,? (3分 ) ∵ BD+CD=150 m,∴ AD+ADtan 30176。=150 m,? (6分 ) 即 ? AD=150 m, 31 3???????∴ AD=? ≈ ? ≈ 95 m.? (7分 ) 答 :點 A到河岸 BC的距離約為 95 m.? (8分 ) 45033? 4503 ?B組 2022— 2022年全國中考題組 考點一 銳角三角函數(shù) 1.(2022黑龍江哈爾濱 ,8,3分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,AB=4,AC=1,則 co