【正文】 167。 解直角三角形 中考數(shù)學(xué) (江蘇專用 ) 考點(diǎn) 1 銳角三角函數(shù) A組 20222022年江蘇中考題組 五年中考 1.(2022無(wú)錫 ,9,3分 )如圖 ,已知點(diǎn) E是矩形 ABCD的對(duì)角線 AC上的一動(dòng)點(diǎn) ,正方形 EFGH的頂 點(diǎn) G、 H都在邊 AD上 ,若 AB=3,BC=4,則 tan∠ AFE的值 ? ( ) ? ? ? ? E位置的變化而變化 37 3334答案 A ∵ EH∥ CD, ∴ △ AEH∽ △ ACD, ∴ ? =? =? . 設(shè) EH=3x,AH=4x, ∴ HG=GF=3x, 又 ∵ EF∥ AD, ∴∠ AFE=∠ FAG, ∴ tan∠ AFE=tan∠ FAG=? =? =? . 故選 A. EHAH CDAD 34GFAG 334xxx? 37思路分析 根據(jù)題意推知 EH∥ CD,由該平行線的性質(zhì)推知△ AEH∽ △ ACD,結(jié)合該相似三角 形的對(duì)應(yīng)邊成比例和銳角三角函數(shù)的定義解答 . 解題反思 考查了正方形的性質(zhì) ,矩形的性質(zhì)以及解直角三角形 ,此題將求 ∠ AFE的正切值轉(zhuǎn) 化為求 ∠ FAG的正切值來(lái)解答 ,體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想 . 2.(2022無(wú)錫 ,3,3分 )sin 30176。的值為 ? ( ) A.? B.? C.? D.? 12 32 22 33答案 A sin 30176。=? ,故選 A. 123.(2022無(wú)錫 ,18,2分 )在如圖的正方形方格紙中 ,每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形 ,A,B,C,D都 在格點(diǎn)處 ,AB與 CD相交于 O,則 tan∠ BOD的值等于 . ? 答案 3 解析 如圖所示 ,平移 CD到 C39。D39。,交 AB于 O39。, ? 則 ∠ BO39。D39。=∠ BOD, ∴ tan∠ BOD=tan∠ BO39。D39。, 設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為 a, 則 O39。B=?= ? a,O39。D39。=?=2 ? a,BD39。=3a, 作 BE⊥ O39。D39。于點(diǎn) E, 則 BE=? =? =? , ∴ O39。E=? =? =? a, 22(2 )aa? 5 22(2 ) (2 )aa? 239。39。39。39。BD O FOD? 3222aaa? 322 a2239。OB BE? 22 32( 5 )2aa??? ????22∴ tan∠ BO39。E=? =? =3, ∴ tan∠ BOD=3. 39。BEOE32222aa思路分析 平移 CD,使 ∠ BOD的頂點(diǎn)位于格點(diǎn)上 ,從而構(gòu)造直角三角形求解 . 解題關(guān)鍵 本題考查解直角三角形 ,解答本題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線 ,構(gòu)造直角三角形 ,利 用勾股定理和等積法求出正切值 ,從而解決問(wèn)題 . 4.(2022南通 ,14,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,CD是斜邊 AB上的中線 ,已知 CD=2,AC=3,則 cos A= . ? 答案 ? 34解析 ∵ CD為斜邊 AB上的中線 , ∴ AB=2CD=4, ∴ 在 Rt△ ABC中 ,cos A=? =? . ACAB 34考點(diǎn) 2 解直角三角形 1.(2022蘇州 ,8,3分 )如圖 ,長(zhǎng) 4 m的樓梯 AB的傾斜角 ∠ ABD為 60176。,為了改善樓梯的安全性能 ,準(zhǔn)備 重新建造樓梯 ,使其傾斜角 ∠ ACD為 45176。,則調(diào)整后的樓梯 AC的長(zhǎng)為 ? ( ) ? ? m ? m C.(2? 2)m D.(2? 2)m 3 63 6答案 B 因?yàn)?AD⊥ CD,所以 ∠ D=90176。,在 Rt△ ABD中 ,AD=ABsin 60176。=4? =2? m,在 Rt△ ACD中 ,AC=? =? =2? m,故選 B. 323sin 4 5AD?232262.(2022蘇州 ,10,3分 )如圖 ,在一筆直的海岸線 l上有 A、 B兩個(gè)觀測(cè)站 ,AB=2 km,從 A測(cè)得船 C在北 偏東 45176。的方向 ,從 B測(cè)得船 C在北偏東 176。的方向 ,則船 C離海岸線 l的距離 (即 CD的長(zhǎng) )為 ? ( ) ? km B.(2+? )km ? km D.(4? )km 2 2 2答案 B 如圖 ,在 Rt△ ABE中 ,∠ AEB=45176。,∴ AB=EB=2 km,∴ AE=2? km,∵∠ EBC=176。,∴ ∠ ECB=∠ AEB∠ EBC=176。,∴∠ EBC=∠ ECB,∴ EB=EC=2 km,∴ AC=AE+EC=(2? +2) Rt△ ADC中 ,∠ CAD=45176。,∴ AD=DC=(2+? ) C到 l的距離為 (2+? )km,故選 B. ? 222 23.(2022蘇州 ,9,3分 )如圖 ,港口 A在觀測(cè)站 O的正東方向 ,OA=4 A出發(fā) ,沿北偏東 1 5176。方向航行一段距離后到達(dá) B處 ,此時(shí)從觀測(cè)站 O處測(cè)得該船位于北偏東 60176。的方向 ,則該船航 行的距離 (即 AB的長(zhǎng) )為 ? ( ) ? km ? km ? km D.(? +1)km 32 3答案 C 過(guò) A作 OB邊的垂線 AD,垂足為 D,易知 ∠ BOA=30176。,∠ BAD=45176。,在 Rt△ OAD中 ,AD= OAsin∠ DOA=4sin 30176。=2 km,在 Rt△ ABD中 ,AB=? =? =2? km,故選 C. ? cos ADBAD? 2cos 45? 24.(2022連云港 ,6,3分 )如圖 ,若△ ABC和△ DEF的面積分別為 S S2,則 ? ( ) ? =? S2 = ? S2 =S2 =? S2 12 72 85答案 C 過(guò)點(diǎn) A作 AM⊥ BC于點(diǎn) M,過(guò)點(diǎn) D作 DN⊥ EF交 FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn) N,S1=? BCAM=? 8 5sin 40176。,S2=? EFDN=? 58sin 40176。,所以 S1=S2,故選 C. ? 12 1212 125.(2022蘇州 ,17,3分 )如圖 ,在一筆直的沿湖道路 l上有 A、 B兩個(gè)游船碼頭 ,觀光島嶼 C在碼頭 A北 偏東 60176。的方向 ,在碼頭 B北偏西 45176。的方向 ,AC=4 C乘船沿 CA回 到碼頭 A或沿 CB回到碼頭 B,設(shè)開往碼頭 A、 B的游船速度分別為 v v2,若回到 A、 B所用時(shí)間 相等 ,則 ? = (結(jié)果保留根號(hào) ). ? 12vv答案 ? 2解析 過(guò)點(diǎn) C作 CD⊥ AB于 D,在 Rt△ ACD中 ,CD=? AC=2 km,在 Rt△ CDB中 ,CB=? CD=2? km,因?yàn)榛氐?A、 B所用時(shí)間相等 ,所以 ? =? =? =? . 122 212vv CACB 42226.(2022南通 ,23,8分 )如圖 ,小明一家自駕到古鎮(zhèn) C游玩 ,到達(dá) A地后 ,導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西 60176。 方向行駛 12千米至 B地 ,再沿北偏東 45176。方向行駛一段距離到達(dá)古鎮(zhèn) C,小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn) C恰好在 A地的正北方向 ,求 B,C兩地的距離 .(結(jié)果保留根號(hào) ) ? 解析 作 BH⊥ AC于 H, 由題意得 ,∠ CBH=45176。,∠ BAH=60176。, 在 Rt△ BAH中 ,BH=ABsin∠ BAH=6? , 在 Rt△ BCH中 ,∠ CBH=45176。, ∴ BC=? =6? (千米 ), 答 :B,C兩地的距離為 6? 千米 . ? 3cosBHCHB? 66解題關(guān)鍵 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用 方向角問(wèn)題 ,掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確 標(biāo)出方向角是解題關(guān)鍵 . 7.(2022泰州 ,23,10分 )日照間距系數(shù)反映了房屋日照情況 .如圖① ,當(dāng)前后房屋都朝向正南時(shí) ,日 照間距系數(shù) =L∶ (HH1),其中 L為樓間水平距離 ,H為南側(cè)樓房高度 ,H1為北側(cè)樓房底層窗臺(tái)至地 面高度 . 如圖② ,山坡 EF朝北 ,EF長(zhǎng)為 15 m,坡度為 i=1∶ ,山坡頂部平地 EM上有一高為 m的樓房 AB,底部 A到 E點(diǎn)的距離為 4 m. (1)求山坡 EF的水平寬度 FH。 (2)欲在 AB樓正北側(cè)山腳的平地 FN上建一樓房 CD,已知該樓底層窗臺(tái) P處至地面 C處的高度為 m,要使該樓的日照間距系數(shù)不低于 ,底部 C距 F處至少多遠(yuǎn) ? 解析 (1)在 Rt△ EFH中 ,∵∠ H=90176。, ∴ tan∠ EFH=i=1∶ =? =? , 設(shè) EH=4x,則 FH=3x, ∴ EF=? =5x, ∵ EF=15, ∴ 5x=15,x=3, ∴ FH=3x=9. 即山坡 EF的水平寬度 FH為 9 m. (2)∵ L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13, H=AB+EH=+12=,H1=, ∴ 日照間距系數(shù) =L∶ (HH1)=? =? , ∵ 該樓的日照間距系數(shù)不低于 ,∴ ? ≥ ,∴ CF≥ 29. 43 EHFH22EH FH? ?? ??答 :要使該樓的日照間距系數(shù)不低于 ,底部 C距 F處 29 m遠(yuǎn) . 解題關(guān)鍵 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用 —— 坡度坡角問(wèn)題 ,勾股定理 ,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 數(shù)學(xué)問(wèn)題 ,構(gòu)造直角三角形、運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵 . 8.(2022連云港 ,25,10分 )如圖 ,濕地景區(qū)岸邊有三個(gè)觀景臺(tái) A、 B、 C,已知 AB=1 400米 ,AC=1 000 米 ,B點(diǎn)位于 A點(diǎn)的南偏西 176。方向 ,C點(diǎn)位于 A點(diǎn)的南偏東 176。方向 . (1)求△ ABC的面積 。 (2)景區(qū)規(guī)劃在線段 BC的中點(diǎn) D處修建一個(gè)湖心亭 ,并修建觀景棧道 AD,試求 A、 D間的距離 . (結(jié)果精確到 ) (參考數(shù)據(jù) :sin 176?！?,cos 176?！?,sin 176?！?,cos 176?！?,sin 176?！?,cos 176?！?,? ≈ ) ? 2解析 (1)作 CE⊥ BA,交 BA延長(zhǎng)線于 E. 在 Rt△ AEC中 ,∠ CAE=180176。176。176。=176。, ∴ CE=ACsin 176?！?1 000=800(米 ). ∴ S△ ABC=? ABCE=? 1 400800=560 000(平方米 ). ? (2)連接 AD,作 DF⊥ AB于 F, 則 DF∥ CE. ∵ BD=CD,DF∥ CE, 12 12∴ BF=EF, ∴ DF=? CE=400米 . ∵ AE=ACcos 176?！?1 000=600(米 ), ∴ BE=AB+AE=2 000米 , ∴ AF=? EBAE=400米 , 在 Rt△ ADF中 ,AD=? =400? ≈ (米 ). 121222AF DF? 2解題關(guān)鍵 本題考查解直角三角形、方向角、勾股定理等知識(shí) ,解題的關(guān)鍵是合理添加輔助 線 ,構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題 ,屬于常考題型 . 9.(2022鎮(zhèn)江 ,23,6分 )公交總站 (A點(diǎn) )與 B、 C兩個(gè)站點(diǎn)的位置如圖所示 ,已知 AC=6 km,∠ B=30176。, ∠ C=15176。.求 B站點(diǎn)離公交總站的距離即 AB的長(zhǎng) (結(jié)果保留根號(hào) ). ? 解析 過(guò)點(diǎn) C作 CD⊥ AB,交 BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D,? (2分 ) ? ∵∠ B=30176。,∠ ACB=15176。, ∴∠ CAD=45176。.? (3分 ) 在 Rt△ ACD中 ,∠ ADC=90176。,∠ CAD=45176。,AC=6, ∴ CD=AD=3? .? (4分 ) 在 Rt△ BCD中 ,∠ CDB=90176。,∠ B=30176。,CD=3? , ∴ BD=3? . ∴ AB=BDAD=3? 3? , ∴ AB的長(zhǎng)為 (3? 3? )km.? (6分 ) 2266 26 210.(2022鎮(zhèn)江 ,24,6分 )某海域有 A、 B兩個(gè)港口 ,B港口在 A港口北偏西 30176。的方向上 ,距 A港口 60 海里 .有一艘船從 A港口出發(fā) ,沿東北方向行駛一段距離后 ,到達(dá)位于 B港口南偏東 75176。方向的 C 處 .求該船與 B港口之間的距離即 CB的長(zhǎng) (結(jié)果保留根號(hào) ). ? 解析 ∵∠ BAE=30176。,BF∥ AE, ∴∠ ABF=30176。.? (1分 ) ∵∠ FBC=75176。,∴∠ ABC=45176。.? (2分 ) ∵∠ CAE=45176。,∴∠ BAC=75176。.? (3分 ) ∴∠ C=60176。. 過(guò)點(diǎn) A作 AD⊥ BC,垂足為 D,? (4分 ) ? 在 Rt△ ADB中 ,∠ ABD=45176。,AB=60海里 ,則 BD=AD=30? 海里 . 在 Rt△ ADC中 ,∠ C=60176。,AD=30? 海里 ,則 CD=10? 海里 . 22 6∴ BC=(30? +10? )海里 . 答 :該船與 B港口之間的距離即 CB的長(zhǎng)為 (30? +10? )海里 .? (6分 ) 2 62 611.(2022鎮(zhèn)江 ,24,6分 )如圖 ,小明從點(diǎn) A處出發(fā) ,沿著坡角為 α的斜坡向上走了 B, sin α=? ,然后又沿著坡度為 i=1∶ 4的斜坡向上走了 1千