【正文】 第六章 空間與圖形 圖形的軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn) 中考數(shù)學(xué) (廣東專用 ) 考點(diǎn)一 圖形的軸對稱 A組 20222022年 廣 東中考題組 五年中考 1.(2022廣東 ,5,3分 )下列所述圖形中 ,是軸對稱圖形但 不是 中心對稱圖形的是 ? ( ) 答案 D 圓和菱形都是軸對稱圖形 ,也都是中心對稱圖形 ,所以 A、 B都不符合題意 。平行四 邊形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形 ,所以 C不符合題意 。等腰三角形是軸對稱圖形但不是 中心對稱圖形 ,故選 D. 方法總結(jié) 本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念 .如果一個(gè)圖形沿著一條直線對折 后兩部分完全重合 ,這樣的圖形叫做軸對稱圖形 ,這條直線叫做對稱軸 .如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn) 旋轉(zhuǎn) 180176。后能夠與自身重合 ,那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形 ,這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心 . 易錯(cuò)警示 此類問題容易混淆平行四邊形的對稱性和特殊平行四邊形的對稱性 .等邊三角形 的對稱性是最容易弄錯(cuò)的 ,一不小心就會看成中心對稱圖形 . 2.(2022廣州 ,2,3分 )如圖所示的五角星是軸對稱圖形 ,它的對稱軸共有 ? ( ) ? 答案 C 如圖所示 ,五角星的對稱軸共有 5條 . ? 思路分析 根據(jù)軸對稱圖形的定義 :“如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊 ,直線兩旁的部分能夠互 相重合 ,這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形 ,這條直線叫做對稱軸”分析、理解題目 . 方法總結(jié) 軸對稱圖形和中心對稱圖形是經(jīng)?？疾榈目键c(diǎn) .考生需要正確理解其概念 :軸對稱 圖形是沿直線翻折后直線兩旁的部分能夠互相重合 ,中心對稱圖形是在平面內(nèi)一個(gè)圖形繞某 個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180176。后能夠與原圖形重合 . 3.(2022廣東 ,6,3分 )下列所述圖形中 ,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是 ? ( ) 答案 D 等邊三角形和正五邊形是軸對稱圖形 ,但不是中心對稱圖形 ,所以 A、 C均不正確 。 平行四邊形是中心對稱圖形 ,但不一定是軸對稱圖形 ,所以 B不正確 。圓既是軸對稱圖形又是中 心對稱圖形 ,故選 D. 4.(2022深圳 ,4,3分 )觀察下列圖形 ,其中既是軸對稱又是中心對稱圖形的是 ? ( ) ? 答案 D A項(xiàng)既不是中心對稱圖形 ,又不是軸對稱圖形 。 B項(xiàng)是軸對稱圖形 ,但不是中心對稱圖形 。 C項(xiàng)既不是中心對稱圖形 ,也不是軸對稱圖形 。 D項(xiàng)既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 ,故選 D. 5.(2022深圳 ,4,3分 )下列圖形中 ,是軸對稱圖形的是 ? ( ) ? 答案 B 根據(jù)軸對稱圖形的概念可知 ,只有 B選項(xiàng)是軸對稱圖形 ,C選項(xiàng)為中心對稱圖形 ,A、 D選項(xiàng)既不是軸對稱圖形 ,也不是中心對稱圖形 ,故選 B. 6.(2022廣東 ,2,3分 )下列所述圖形中 ,既是中心對稱圖形 ,又是軸對稱圖形的是 ? ( ) 答案 A 矩形是軸對稱圖形 ,也是中心對稱圖形 ,A正確 。平行四邊形只是中心對稱圖形 ,不是 軸對稱圖形 。正五邊形和正三角形是軸對稱圖形 ,但不是中心對稱圖形 . 7.(2022深圳 ,5,3分 )下列圖形中 ,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是 ? ( ) ? 答案 D A、 B、 C三項(xiàng)中的圖形為軸對稱圖形 ,但不是中心對稱圖形 ,故選 D. 考點(diǎn)二 圖形的平移 1.(2022茂名 ,3,3分 )下列選項(xiàng)中能由如圖所示圖形平移得到的是 ? ( ) ? ? 答案 C 平移不改變圖形的形狀和大小 ,且對應(yīng)點(diǎn)的連線平行且相等 ,所以箭頭通過平移后 方向不變 ,故選 C. 2.(2022廣州 ,13,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,AB=AC,BC=12 cm,點(diǎn) D在 AC上 ,DC=4 DC沿 CB 方向平移 7 cm得到線段 EF,點(diǎn) E,F分別落在邊 AB,BC上 ,則△ EBF的周長為 cm. ? 答案 13 解析 由題可得 FC=7 cm, EF=DC=4 cm,EF∥ DC, ∴∠ EFB=∠ DCF, ∵ AB=AC,∴∠ DCF=∠ ABC, ∴∠ EFB=∠ ABC, ∴ EB=EF=4 cm, ∵ BC=12 cm, ∴ BF=BCFC=5 cm, ∴ △ EBF的周長為 EB+BF+EF=4+5+4=13 cm. 考點(diǎn)三 圖形的旋轉(zhuǎn) 1.(2022深圳 ,4,3分 )下列圖形中 ,中心對稱圖形是 ? ( ) ? 答案 D 正三角形、正五角星和心形都是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形 ,故 A、 B、 C都 不符合題意 。平行四邊形是中心對稱圖形 ,對稱中心是對角線交點(diǎn) ,故 D正確 . 2.(2022廣州 ,2,3分 )如圖 ,將正方形 ABCD中的陰影三角形繞點(diǎn) A? 旋轉(zhuǎn) 90176。后 ,得到的圖形 為 ? ( ) ? ? ???順 時(shí) 針答案 A 因?yàn)?∠ DAB=90176。,AB=AD, 所以陰影三角形繞點(diǎn) A順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。后 , AD與 AB重合 , 陰影三角形的斜邊在 AB的左側(cè) ,故選 A. 3.(2022廣東 ,3,3分 )下列所述圖形中 ,是中心對稱圖形的是 ? ( ) 答案 B 由中心對稱圖形旋轉(zhuǎn) 180176。后與原圖形重合 ,可知直角三角形、正五邊形和正三角 形都不是中心對稱圖形 ,只有平行四邊形是中心對稱圖形 .故選 B. 4.(2022廣州 ,2,3分 )將如圖所示的圖案以圓心為中心 ,旋轉(zhuǎn) 180176。后得到的圖案是 ? ( ) ? ? 答案 D 旋轉(zhuǎn) 180176。后得到的圖案與原圖案關(guān)于圓心中心對稱 ,故選 D. 5.(2022廣東 ,25,9分 )已知 Rt△ OAB,∠ OAB=90176。,∠ ABO=30176。,斜邊 OB=4,將 Rt△ OAB繞點(diǎn) O順時(shí) 針旋轉(zhuǎn) 60176。,如圖 1,連接 BC. (1)填空 :∠ OBC= 176。 (2)如圖 1,連接 AC,作 OP⊥ AC,垂足為 P,求 OP的長度 。 (3)如圖 2,點(diǎn) M、 N同時(shí)從點(diǎn) O出發(fā) ,在△ OCB邊上運(yùn)動 ,M沿 O→ C→ B路徑勻速運(yùn)動 ,N沿 O→ B→ C路徑勻速運(yùn)動 ,當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動 .已知點(diǎn) M的運(yùn)動速度為 /秒 ,點(diǎn) N的運(yùn)動速度為 1單位 /秒 .設(shè)運(yùn)動時(shí)間為 x秒 ,△ OMN的面積為 y,求當(dāng) x為何值時(shí) y取得最大值 ,最大值為多少 ?(結(jié) 果分母可保留根號 ) ? 解析 (1)60. (2)根據(jù)題意 ,得 OB=OC, ∵∠ BOC=60176。,∴ △ OBC為等邊三角形 , ∴ BC=OB=4, 在 Rt△ OAB中 , ∵∠ ABO=30176。, ∴ OA=? OB=2,AB=? OB=2? , 在 Rt△ ABC中 ,AC=? =2? . ∵ sin∠ ACB=? =? , ∴ sin∠ PAO=sin∠ ACB=? , ∴ sin∠ PAO=? =? , ∴ OP=? OA=? ? . 1 323 22AB BC?7373737372372 2 17??????或(3)①當(dāng) 0≤ x≤ ? 時(shí) ,點(diǎn) M在邊 OC上 ,點(diǎn) N在邊 OB上 , ∵ ON邊上的高為 OMsin∠ MON, ∴ y=? ONOMsin∠ MON=? x? xsin 60176。=? x2. 當(dāng) x=? 時(shí) ,y取得最大值 ? . ②當(dāng) ? ≤ x≤ 4時(shí) ,如圖 1,點(diǎn) M在邊 BC上 ,點(diǎn) N在邊 OB上 ,BM=8? x. ? 圖 1 ∵ ON邊上的高為 BMsin∠ MBN, 8312 123233883 83383 32∴ y=? x? sin 60176。=? x(163x)=? ? +? . 當(dāng) x=? 時(shí) ,y取得最大值 ? . ③當(dāng) 4≤ x≤ ? 時(shí) ,如圖 2,點(diǎn) M、 N均在 BC上 , ? 圖 2 ∴ MN=12? x, ∵ MN邊上的高等于 AB的長 , 1238 2 x???????38338283x ?83383 324552∴ y=? MNAB=? ? 2 ? =? (245x). 當(dāng) x=4時(shí) ,y取得最大值 2? . 綜上所述 ,當(dāng) x=? 時(shí) ,y取得最大值 ? . 12 12512 2 x???????3 32383 833思路分析 (1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知 OB=OC,∠ BOC等于 60176。,從而△ OBC是等邊三角形 ,可得 ∠ OBC=60176。. (2)分別求出 AO,AB,BC,AC的長 ,利用 ∠ ACB=∠ PAO,且其三角函數(shù)值也相等求解 . (3)首先按點(diǎn) M、 N所在的邊分三類進(jìn)行討論 ,然后可根據(jù)三角形面積公式去求三角形 OMN的 面積 y與時(shí)間 x的函數(shù)關(guān)系式 ,最后求一次函數(shù)與二次函數(shù)的最值即可 . 解后反思 本題是代數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用 ,主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函 數(shù)、一次函數(shù)與二次函數(shù)的最值等知識 ,也考查了分類討論等解題思想 .在解決動態(tài)幾何問題 時(shí) ,我們通常根據(jù)題意確定一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn) ,例如 ,根據(jù)幾何圖形的形狀、運(yùn)動對象的相對位置、 數(shù)量關(guān)系的變化趨勢等的不同進(jìn)行分類討論 .難點(diǎn)在于如何“化動為靜” ,因此畫出各個(gè)分類 的圖形對解決問題有著很大的幫助 ,當(dāng)圖形畫出來后 ,動態(tài)幾何問題也就轉(zhuǎn)化為靜態(tài)幾何問題 了 . 6.(2022廣州 ,25,14分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ B=60176。,∠ D=30176。,AB=BC. (1)求 ∠ A+∠ C的度數(shù) 。 (2)連接 BD,探究 AD,BD,CD三者之間的數(shù)量關(guān)系 ,并說明理由 。 (3)若 AB=1,點(diǎn) E在四邊形 ABCD內(nèi)部運(yùn)動 ,且滿足 AE2=BE2+CE2,求點(diǎn) E運(yùn)動路徑的長度 . ? 解析 (1)∵ 在四邊形 ABCD中 ,∠ B=60176。,∠ D=30176。, ∴∠ A+∠ C=360176?！?B∠ D=270176。. (2)AD2+CD2=BD2. 理由 :如圖 ,將△ BCD繞點(diǎn) B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60176。,得△ BAD39。,連接 DD39。. ∴ BD=BD39。,CD=AD39。,∠ DBD39。=60176。,∠ BAD39。=∠ C.∴ △ BDD39。是等邊三角形 .∴ DD39。=BD. 又 ∠ BAD+∠ C=270176。,∴∠ BAD39。+∠ BAD=270176。.∴∠ DAD39。=90176。. ∴ AD2+AD39。2=DD39。2,即 AD2+CD2=BD2. ? (3)如圖 ,將△ BEC繞點(diǎn) B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60176。得△ BE39。A,連接 EE39。. ? ∴ BE=BE39。,CE=AE39。,∠ EBE39。=60176。,∠ BEC=∠ BE39。A.∴ △ BEE39。是等邊三角形 .∴∠ BE39。E=60176。.∵ AE2= BE2+CE2,BE=EE39。,CE=AE39。,∴ AE2=EE39。2+AE39。2.∴∠ AE39。E=90176。.∴∠ BE39。A=150176。.∴∠ BEC=150176。.∴ 點(diǎn) E在以 BC為弦 ,劣弧 BC所對的圓心角為 60176。的圓上 .以 BC為邊在 BC下方作等邊△ BCO,則 O為圓 心 ,半徑 BO=1.∴ 點(diǎn) E的運(yùn)動路徑為 ? (不包含點(diǎn) B,C),l? =? =? . ︵ ︵60 1180? ?3?思路分析 (1)由四邊形的內(nèi)角和很容易求出答案 . (2)由于 AD,BD,CD三者之間比較分散 ,比較難聯(lián)系 ,所以想到把它們搬到一起 ,由于有 AB=BC 這個(gè)條件 ,結(jié)合“等腰思旋轉(zhuǎn)” ,想到通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等 ,將△ BCD繞點(diǎn) B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60176。,得 △ BAD39。,轉(zhuǎn)移相等的線段和角 ,易得 ∠ DAD39。=90176。,從而有 AD2+CD2=BD2. (3)要求點(diǎn) E運(yùn)動路徑的長度 ,就要確定點(diǎn) E的運(yùn)動路徑 ,由 AE2=BE2+CE2可順著 (2)的思路同樣 通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等 ,將△ BEC繞點(diǎn) B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60176。,得△ BE39。A,轉(zhuǎn)移相等的線段和角 ,從而易得 ∠ BE39。E=60176。和 AE2=EE39。2+AE39。2,可得 ∠ AE39。E=90176。,從而 ∠ BEC=150176。,所以點(diǎn) E在以 BC為弦 ,劣弧 BC 所對的圓心角為 60176。的圓上 .問題可解決 . 解題關(guān)鍵 本題考查四邊形內(nèi)角和、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、弧 長公式等知識 ,解題的關(guān)鍵是會添加常用輔助線 :“旋轉(zhuǎn)出等腰 ,等腰思旋轉(zhuǎn)” ,當(dāng)出現(xiàn)“共頂 點(diǎn) ,等線段”結(jié)構(gòu)時(shí) ,可考慮“造旋轉(zhuǎn) ,出全等” ,構(gòu)造全等三角形將分散條件集中在同一個(gè)三 角形中解決問題 . 7.(2022梅州 ,23,10分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ A=90176。,AC=AB=4,D,E分別是邊 AB,AC的中點(diǎn) .若等腰 Rt△ ADE繞點(diǎn) A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) ,得到等腰 Rt△ AD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 α(0176。α≤ 180176。),記直線 BD1與 CE1的交點(diǎn)為 P. (1)如圖 1,當(dāng) α=90176。時(shí) ,線段 BD1的長等于 ,線段 CE1的長等于 。(直接填寫結(jié)果 ) (2)如圖 2,當(dāng) α=135176。時(shí) ,求證 :BD1=CE1,且 BD1⊥ CE1。 (3)①設(shè) BC的中點(diǎn)為 M,則線段 PM的長為