【正文】 A1B1C1。 (2)以 M點(diǎn)為位似中心 ,在網(wǎng)格中畫出△ A1B1C1的位似圖形△ A2B2C2,使△ A2B2C2與△ A1B1C1的相 似比為 2∶ 1. ? E2 解析 (1)如圖所示 .? (3分 ) (2)如圖所示 . ? (6分 ) A組 2022— 2022年模擬 基礎(chǔ)題組 (時(shí)間 :10分鐘 分值 :15分 ) 一、選擇題 (共 3分 ) 1.(2022三明二檢 ,8)如圖 ,大三角形與小三角形是位似圖形 .若小三角形一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 (m,n),則大三角形中與之對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ? ( ) ? A.(2m,2n) B.(2m,2n) C.(2n,2m) D.(2n,2m) 三年模擬 答案 A 由題圖知兩三角形的位似中心為原點(diǎn) ,且位似比為 1∶ 2,所以大三角形中與之對(duì)應(yīng) 的點(diǎn)的坐標(biāo)為 (2m,2n),故選 A. 方法歸納 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形 ,而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn) ,那么 這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形 ,這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心 ,這時(shí)的相似比又稱位似比 ,位似圖形上任 意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比 . 二、填空題 (共 3分 ) 2.(2022寧德質(zhì)檢 ,14)如圖 ,已知△ ABC,點(diǎn) D,E分別是 AB,AC的中點(diǎn) ,若△ ABC的面積等于 24,則 △ ADE的面積等于 . ? 答案 6 解析 ∵ 點(diǎn) D,E分別是 AB,AC的中點(diǎn) ,∴ DE∥ BC,BC=2DE,∴ △ ADE∽ △ ABC,∴ ? =? = ? ,∵ △ ABC的面積等于 24,∴ △ ADE的面積等于 6. ADEABCSS 2DEBC??????14解題關(guān)鍵 掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵 . 三、解答題 (共 9分 ) 3.(2022南平質(zhì)檢 ,22)已知☉ O的弦 CD與直徑 AB垂直于 F,點(diǎn) E在 CD上 ,且 AE=CE. (1)求證 :CA2=CECD。 (2)已知 CA=5,EA=3,求 sin∠ EAF. ? E2 解析 (1)證明 :∵ 弦 CD垂直于直徑 AB, ∴ ?= ? ,∴∠ D=∠ C, 又 AE=EC, ∴∠ CAE=∠ C. ∴ △ CEA∽ △ CAD. ∴ ? =? ,即 CA2=CECD. (2)∵ CA2=CECD,CA=5,CE=EA=3, ∴ 52=3CD,∴ CD=? . 又 CF=FD, ∴ CF=? CD=? ? =? , ∴ EF=CFCE=? 3=? . 在 Rt△ AFE中 ,sin∠ EAF=? =? =? . AC︵AD︵ 2531212 3667EFAE763718思路分析 (1)利用兩組角對(duì)應(yīng)相等證明△ CEA∽ △ CAD,即可得解 。(2)利用 (1)的結(jié)論求出 CD 的長(zhǎng) ,進(jìn)而求出 CF和 EF的長(zhǎng) ,即可得解 . 命題立意 本題考查了垂徑定理 ,三角形相似的判定及性質(zhì) ,三角函數(shù)的應(yīng)用 ,難度中等 . B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時(shí)間 :40分鐘 分值 :50分 ) 解答題 (共 50分 ) 1.(2022福州二檢 ,24)已知菱形 ABCD,E是 BC邊上一點(diǎn) ,連接 AE交 BD于點(diǎn) F. (1)如圖 1,當(dāng) E是 BC中點(diǎn)時(shí) ,求證 :AF=2EF。 (2)如圖 2,連接 CF,AB=5,BD=8,當(dāng)△ CEF為直角三角形時(shí) ,求 BE的長(zhǎng) 。 (3)如圖 3,當(dāng) ∠ ABC=90176。時(shí) ,過(guò)點(diǎn) C作 CG⊥ AE交 AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G,連接 DG,若 BE=BF,求 tan∠ BDG的值 . ? 解析 (1)證明 :∵ 點(diǎn) E是 BC的中點(diǎn) , ∴ BC=2BE. ∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴ AD=BC=2BE,AD∥ BC, ∴∠ FAD=∠ FEB,∠ FDA=∠ FBE, ∴ △ AFD∽ △ EFB, ∴ ? =? , ∴ ? =? =2, ∴ AF=2EF. (2)連接 AC交 BD于點(diǎn) O. ∵ 四邊形 ABCD是菱形 ,BD=8, ∴ AC,BD互相垂直平分 , ∴ OA=? AC,OB=? BD=4, 又 ∵ 點(diǎn) F在 BD上 , AFEB2 BEBE12 12∴ FC=FA . 在 Rt△ ABO中 ,∠ AOB=90176。,AB=5,OB=4, ∴ OA=? =3, ∴ AC=6. ∵ AD∥ BC, ∴∠ FAD=∠ FEB,∠ FDA=∠ FBE, ∴ △ FDA∽ △ FBE. (i)當(dāng) ∠ FEC=90176。時(shí) , 在△ ABC中 ,S△ ABC=? BCAE=? ACBO, ∴ AE=? =? =? . 在 Rt△ AEB中 ,∠ AEB=90176。, BE=? =? . 22AB OB?12 12C OBBC?645?245AB AE?75(ii)當(dāng) ∠ EFC=90176。時(shí) , ∵ 點(diǎn) O是 AC的中點(diǎn) , ∴ OF=? AC=3, ∴ DF=7,BF=1. ∵ △ FBE∽ △ FDA, ∴ ? =? ,即 ? =? , 解得 BE=? . 12BEAD51757(iii)因?yàn)辄c(diǎn) E在 BC邊上 ,所以點(diǎn) F在線段 BO上 , 故 ∠ ECF≤ ∠ ECA90176。,故 ∠ ECF=90176。這種情況不存在 . 綜上所述 ,當(dāng)△ CEF為直角三角形時(shí) ,BE的長(zhǎng)為 ? 或 ? . (3)連接 AC交 BD于點(diǎn) O,連接 GO. ∵ 四邊形 ABCD為菱形 ,∠ ABC=90176。, ∴ 菱形 ABCD為正方形 , ∴ 點(diǎn) A,B,C,D在以 O為圓心 ,OA為半徑的圓上 . 7557? ∵∠ AGC=90176。,OA=OC, ∴ OG=? AC=OA, ∴ 點(diǎn) G在☉ O上 , ∴∠ BDG=∠ BAE. 由 (2)得△ FBE∽ △ FDA, ∴ ? =? , ∵ BE=BF, ∴ AD=DF, 在 Rt△ ABD中 ,BD=? AD=? DF, ∴ BE=BF=BDDF=(? 1)DF, 12BEBF222∴ tan∠ BDG=tan∠ BAE=? =? =? =? 1. BEBA( 2 1)DFDF?22.(2022莆田二檢 ,24)如圖 ,AD平分 ∠ BAC,BD⊥ AD,垂足為點(diǎn) P是 AD上一點(diǎn) ,PQ⊥ AC于點(diǎn) Q,連接 BP、 DQ. (1)求證 :? =? 。 (2)求證 :∠ DBP=∠ DQP。 (3)若 BD=1,點(diǎn) P在線段 AD上運(yùn)動(dòng) (不與 A、 D重合 ),設(shè) DP=t,點(diǎn) P到 AB的距離為 d1,點(diǎn) P到 DQ的距 離為 S=? ,求 S與 t之間的函數(shù)關(guān)系式 . AQAPAB12dd解析 (1)證明 ∵ AD平分 ∠ BAC, ∴∠ PAQ=∠ BAD, ∵ PQ⊥ AC,BD⊥ AD, ∴∠ PQA=∠ BDA=90176。, ∴ △ PQA∽ △ BDA, ∴ ? =? . (2)證明 :由 (1)知 ? =? . 又 ∵∠ PAB=∠ QAD, ∴ △ PAB∽ △ QAD, ∴∠ APB=∠ AQD, ∵∠ APB=∠ PDB+∠ DBP, ∠ AQD=∠ AQP+∠ DQP,又 ∠ PDB=∠ AQP=90176。, ∴∠ DBP=∠ DQP. (3)過(guò)點(diǎn) P分別作 PG⊥ AB于點(diǎn) G,PH⊥ DQ于點(diǎn) H. AQAPAB則 PG=d1,PH=d2. ∵ AD平分 ∠ BAC,PQ⊥ AC, ∴ d1=PG=PQ. ? ∴ S=? =? . 由 (2)得 ∠ DBP=∠ DQP, ∵∠ BDP=∠ QHP=90176。, ∴ △ DBP∽ △ HQP, ∴ ? =? . 在 Rt△ BDP中 ,BD=1,DP=t, 12ddPHPQPBPD∴ PB=?. ∴ S=? . 2 1t ?2 1tt ?3.(2022南平二檢 ,25)如圖 ,已知正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 2,以 DC為底向正方形外作等腰△ DEC, 連接 AE,以 AE為腰作等腰△ AEF,使得 EA=EF,且 ∠ DEC=∠ AEF. (1)求證 :△ EDC∽ △ EAF。 (2)求 DEBF的值 。 (3)連接 CF,AC,當(dāng) CF⊥ AC時(shí) ,求 ∠ DEC的度數(shù) . ? 解析 (1)證明 :∵ △ AEF和△ DEC是等腰三角形 ,且 ∠ DEC=∠ AEF, ∴∠ EAF=? , ∠ EDC=? . ∴∠ EAF=∠ EDC. ∴ △ EDC∽ △ EAF. (2)由 (1)知△ EDC∽ △ EAF, ∴ ? =? . ∵ DC=AB,∴ ? =? . ∵∠ DEA=180176。90176?！?EDC∠ DAE=90176?！?EDC∠ DAE, ∠ BAF=90176。∠ EAF∠ DAE, ∴∠ BAF=∠ DEA. ∴ △ BAF∽ △ DEA, ∴ ? =? ,即 DEBF=DAAB=4. 180 2 AEF???DECEDEAAF(3)∵∠ DEC=∠ AEF,∴∠ DEA=∠ CEF. ∵ DE=CE,AE=FE,∴ △ ADE≌ △ FCE. ∴ AD=FC=BC. ∵ △ BAF∽ △ DEA, ∴∠ ABF=∠ EDA, ∴∠ FBC=∠ CDE. ∵ △ CBF和△ EDC是等腰三角形 , ∴∠ BCF=∠ DEC. ∵ CF⊥ AC,∴∠ ACF=90176。. ∵∠ ACB=45176。,∴∠ BCF=45176。, ∴∠ DEC=45176。. 4.(2022廈門質(zhì)檢 ,27)如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ ABC=90176。,點(diǎn) E,F,M,N分別在 AB,AD,DC,CB邊上 , 連接 EF,EN,NM,FM,若 EF∥ BD∥ NM,? +? =1. (1)求證 :Rt△ ABC∽ Rt△ EBN。 (2)當(dāng) BD=EF+EN且四邊形 ABCD的面積為 S時(shí) ,判斷四邊形 EFMN面積最大時(shí)的形狀 . ? ENACEFBD解析 (1)證明 :∵ ? +? =1, ∴ 可設(shè) ? =k,則 ? =1k. ∵ EF∥ BD, ∴ ? =? =1k. ∴ 1? =? =k. ∵∠ ABC=90176。, ∴ BN=? =k? , BC=? . ∴ ? =k. ∴ ? =? =? . ∴ Rt△ ABC∽ Rt△ EBN. (2)四邊形 EFMN為菱形時(shí)面積最大 . 由 (1)得 EN∥ AC, ENACEFBDAEABEB22EN EB?AC AB?EBABENBC∴ ? =? . ∵ EF∥ BD,∴ ? =? , ∴ ? =? . ∵ MN∥ BD,∴ ? =? , ∴ ? =? , ∴ MF∥ CA. ∴ MF∥ NE. ∴ 四邊形 EFMN為平行四邊形 . ∵ Rt△ ABC∽ Rt△ EBN, ∴ ? =? =k2, ∴ S△ EBN=k2S△ ABC, CNBCAEABAFADCMCDEBNABCSS 2ENAC??????同理 ? ∴ S?EFMN=S四邊形 ABCD(S△ EBN+S△ AEF+S△ DFM+S△ CMN) =S[k2S+(1k)2S] =2? S+? S. ∴ 當(dāng) k=? 時(shí) ,S?EFMN最大 . ∴ EF=? BD,EN=? AC. ∵ BD=EF+EN, ∴ ? +? =1. ∵ ? +? =1, ∴ BD=AC,∴ EF=EN. 222(1 ) ,(1 ) ,A E F A B DD F M A C DC M N D C BS k SS k SS k S? ?????? ??? 212k???????121212 12∴ 四邊形 EFMN為菱形 . 命題立意 本題考查相似三角形的證明、菱形等相關(guān)知識(shí)點(diǎn) ,考查學(xué)生綜合解題能力 ,屬于難 題 .