【正文】 5 3) 9? 39123914.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,25,12分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=3,BC=4,將矩形 ABCD繞點 C按順時針 方向旋轉(zhuǎn) α角 ,得到矩形 A39。B39。CD39。,B39。C與 AD交于點 E,AD的延長線與 A39。D39。交于點 F. ? (1)如圖① ,當(dāng) α=60176。時 ,連接 DD39。,求 DD39。和 A39。F的長 。 (2)如圖② ,當(dāng)矩形 A39。B39。CD39。的頂點 A39。落在 CD的延長線上時 ,求 EF的長 。 (3)如圖③ ,當(dāng) AE=EF時 ,連接 AC,CF,求 ACCF的值 . ? 解析 (1)∵ 矩形 ABCD繞點 C按順時針方向旋轉(zhuǎn) α角得到矩形 A39。B39。CD39。,∴ A39。D39。=AD=B39。C=BC=4, CD39。=CD=A39。B39。=AB=3,∠ A39。D39。C=∠ ADC=90176。. ∵ α=60176。,∴∠ DCD39。=60176。. ∴ △ CDD39。是等邊三角形 ,∴ DD39。=CD=3.? (2分 ) 如圖 ,連接 CF. ? 在 Rt△ CDF和 Rt△ CD39。F中 ,? ∴ Rt△ CDF≌ Rt△ CD39。F. ∴∠ DCF=∠ D39。CF=? ∠ DCD39。=30176。. 在 Rt△ CD39。F中 ,tan∠ D39。CF=? =? ,∴ FD39。=? . ,39。,C F C FC D C D??? ??1239。39。FDCD 333∴ A39。F=A39。D39。FD39。=4? .? (4分 ) (2)在 Rt△ A39。CD39。中 ,∵∠ D39。=90176。, ∴ A39。C2=A39。D39。2+CD39。2.∴ A39。C=5,A39。D=2. ∵∠ DA39。F=∠ D39。A39。C,∠ A39。DF=∠ D39。, ∴ △ A39。DF∽ △ A39。D39。C. ∴ ? =? , ∴ ? =? .∴ DF=? . 同理 ,可證△ CDE∽ △ CB39。A39。, ∴ ? =? .∴ ? =? .∴ ED=? . ∴ EF=ED+DF=? .? (8分 ) (3)如圖 ,過點 F作 FG⊥ CE于點 G. 339。39。39。AD 39。DFDC24 3DF 3239。CDCB 39。39。EDAB 34 3ED 94154? ∵ 四邊形 A39。B39。CD39。是矩形 ,∴ GF=CD39。=CD=3. ∵ S△ ECF=? EFCD=? CEGF, ∴ EF=CE. 又 ∵ AE=EF,∴ AE=EC=EF, ∴∠ EAC=∠ ECA,∠ ECF=∠ EFC. ∴ 2∠ ECA+2∠ ECF=180176。. ∴∠ ACF=90176。,∴∠ ADC=∠ ACF=90176。. 又 ∵∠ CAD=∠ FAC,∴ △ CAD∽ △ FAC. ∴ ? =? .∴ AC2=ADAF. 12 12ACAF ADAC在 Rt△ ABC中 ,AC=? =5.∴ AF=? =? . ∵ S△ ACF=? ACCF=? AFCD, ∴ ACCF=AFCD=? .? (12分 ) 22AB BC?2ACAD 25412 12754方法規(guī)律 圖形的旋轉(zhuǎn)變換是全等變換 ,變換過程中不改變圖形的形狀和大小 ,要緊緊抓住圖 形變換前后不變的量來解決問題 . 15.(2022江蘇連云港 ,26,12分 )在數(shù)學(xué)興趣小組活動中 ,小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動 .將邊長為 2的正 方形 ABCD與邊長為 2? 的正方形 AEFG按圖 1位置放置 ,AD與 AE在同一條直線上 ,AB與 AG在 同一條直線上 . (1)小明發(fā)現(xiàn) DG⊥ BE,請你幫他說明理由 。 (2)如圖 2,小明將正方形 ABCD繞點 A逆時針旋轉(zhuǎn) ,當(dāng)點 B恰好落在線段 DG上時 ,請你幫他求出此 時 BE的長 。 (3)如圖 3,小明將正方形 ABCD繞點 A繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn) ,線段 DG與線段 BE將相交 ,交點為 H,寫出 △ GHE與△ BHD面積之和的最大值 ,并簡要說明理由 . ? 2圖 1 ? 圖 2 ? 圖 3 解析 (1)理由 :∵ 四邊形 ABCD與四邊形 AEFG是正方形 , ∴ AD=AB,∠ DAG=∠ BAE=90176。,AG=AE, ∴ △ ADG≌ △ ABE(SAS),∴∠ AGD=∠ AEB. 如圖① ,延長 EB交 DG于點 H, 在△ ADG中 ,∠ AGD+∠ ADG=90176。, ∴∠ AEB+∠ ADG=90176。. 在△ DEH中 ,∠ AEB+∠ ADG+∠ DHE=180176。, ∴∠ DHE=90176。,∴ DG⊥ BE.? (4分 ) ? 圖① (2)∵ 四邊形 ABCD與四邊形 AEFG是正方形 , ∴ AD=AB,∠ DAB=∠ GAE=90176。,AG=AE, ∴∠ DAB+∠ BAG=∠ GAE+∠ BAG, ∴∠ DAG=∠ BAE. ∵ AD=AB,∠ DAG=∠ BAE,AG=AE, ∴ △ ADG≌ △ ABE(SAS), ∴ DG=BE. 如圖② ,過點 A作 AM⊥ DG交 DG于點 M,∠ AMD=∠ AMG=90176。. ∵ BD是正方形 ABCD的對角線 ,∴∠ MDA=45176。. 圖② ? 在 Rt△ AMD中 ,∵∠ MDA=45176。, ∴ cos 45176。=? , ∴ DM=? ,∴ AM=? . 在 Rt△ AMG中 ,∵ AM2+GM2=AG2, ∴ GM=? =? =? . ∵ DG=DM+GM=? +? ,∴ BE=DG=? +? .? (8分 ) DMAD2 222AG AM? 22(2 2) ( 2)? 62 6 2 6(3)△ GHE與△ BHD面積之和的最大值為 :? (10分 ) 對于△ EGH,點 H在以 EG為直徑的圓上 ,所以當(dāng)點 H與點 A重合時 ,△ EGH的邊 EG上的高最大 , 對于△ BDH,點 H在以 BD為直徑的圓上 ,所以當(dāng)點 H與點 A重合時 ,△ BDH的邊 BD上的高最大 ,所 以△ GHE與△ BHD面積之和的最大值是 2+4=6.? (12分 ) 16.(2022湖南益陽 ,20,12分 )已知點 P是線段 AB上與點 A不重合的一點 ,且 AP A逆時 針旋轉(zhuǎn)角 α(0176。α≤ 90176。)得到 AP1,BP繞點 B順時針也旋轉(zhuǎn)角 α得到 BP2,連接 PP PP2. (1)如圖 1,當(dāng) α=90176。時 ,求 ∠ P1PP2的度數(shù) 。 (2)如圖 2,當(dāng)點 P2在 AP1的延長線上時 ,求證 :△ P2P1P∽ △ P2PA 。 (3)如圖 3,過 BP的中點 E作 l1⊥ BP,過 BP2的中點 F作 l2⊥ BP2,l1與 l2交于點 Q,連接 PQ,求證 :P1P⊥ PQ. ? 解析 (1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 :AP=AP1,BP=BP2, ∵ α=90176。,∴ △ PAP1和△ PBP2均為等腰直角三角形 , ∴∠ APP1=∠ BPP2=45176。, ∴∠ P1PP2=180176?！?APP1∠ BPP2=90176。. (2)證明 :由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ APP1和△ BPP2均為頂角為 α的等腰三角形 , ∴∠ APP1=∠ BPP2=90176。? , ∴∠ P1PP2=180176。(∠ APP1+∠ BPP2)=180176。2? =α. 在△ P2P1P和△ P2PA中 ,∠ P1PP2=∠ PAP2=α, 又 ∠ PP2P1=∠ AP2P, ∴ △ P2P1P∽ △ P2PA . (3)證明 :如圖 ,連接 QB. ∵ l1,l2分別為 PB,P2B的中垂線 , ∴ EB=? BP,FB=? BP2. 2α90 2α????????12 12又 BP=BP2,∴ EB=FB. ? 在 Rt△ QBE和 Rt△ QBF中 ,QB=QB,EB=FB, ∴ Rt△ QBE≌ Rt△ QBF, ∴∠ QBE=∠ QBF=? ∠ PBP2=? . 由中垂線性質(zhì)得 QP=QB, ∴∠ QPB=∠ QBE=? . 由 (2)知 ∠ APP1=90176。? , ∴∠ P1PQ=180176?！?APP1∠ QPB=180176。? ? =90176。,即 P1P⊥ PQ. 12 2α2α2α90 2α????????2α17.(2022江蘇連云港 ,24,10分 )在一次科技活動中 ,小明進(jìn)行了模擬雷達(dá)掃描試驗 .如圖 ,表盤是 △ ABC,其中 AB=AC,∠ BAC=120176。.在點 A處有一束紅外光線 AP,從 AB開始 ,繞點 A逆時針勻速旋 轉(zhuǎn) ,每秒鐘旋轉(zhuǎn) 15176。,到達(dá) AC后立即以相同旋轉(zhuǎn)速度返回 AB,到達(dá)后立即重復(fù)上述旋轉(zhuǎn)過程 .小 明通過試驗發(fā)現(xiàn) ,光線從 AB處旋轉(zhuǎn)開始計時 ,旋轉(zhuǎn) 1秒 ,此時光線 AP交 BC邊于點 M,BM的長為 (20 ? 20)cm. (1)求 AB的長 。 (2)從 AB處旋轉(zhuǎn)開始計時 ,若旋轉(zhuǎn) 6秒 ,此時光線 AP與 BC邊的交點在什么位置 ?若旋轉(zhuǎn) 2 014秒 , 交點又在什么位置 ?請說明理由 . ? 3解析 (1)如圖 1,過點 A作 AD⊥ BC,垂足為 ∠ BAC=120176。,AB=AC,所以 ∠ ABC=∠ C=30176。. 令 AB=2t Rt△ ABD中 ,AD=? AB=t cm,BD=? AB=? t cm. 在 Rt△ AMD中 ,因為 ∠ AMD=∠ ABC+∠ BAM=45176。,所以 MD=AD=t cm. 因為 BM=BDMD, 所以 ? tt=20? 20,解得 t=20. 所以 AB=220=40 cm. 答 :AB的長為 40 cm.? (4分 ) ? 圖 1 12 3233 3(2)如圖 2,當(dāng)光線旋轉(zhuǎn) 6秒時 ,設(shè) AP交 BC于點 N,此時 ∠ BAN=15176。6=90176。. ? 圖 2 在 Rt△ ABN中 ,BN=? =? =? cm. 所以光線 AP旋轉(zhuǎn) 6秒時 ,與 BC的交點 N在距 B點 ? cm處 .(7分 ) 如圖 3,設(shè)光線 AP旋轉(zhuǎn) 2 014秒時光線與 BC的交點為 Q. cos 30AB?40328 0 338 0 33? 圖 3 由題意可知 ,光線從邊 AB處開始到第一次回到 AB處需 82=16秒 ,又 2 014=12516+14, 所以 AP旋轉(zhuǎn) 2 014秒與旋轉(zhuǎn) 14秒時和 BC的交點是同一個點 Q. 易求得 ,CQ=? cm,BC=40? cm, 所以 BQ=BCCQ=40? ? =? cm. 所以光線 AP旋轉(zhuǎn) 2 014秒時 ,與 BC的交點 Q在距 B點 ? cm處 .? (10分 ) 8 0 33 33 8 0 33 4 0 334 0 3318.(2022甘肅蘭州 ,27,10分 )給出定義 :若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線 的平方 ,則稱該四邊形為勾股四邊形 . (1)在你學(xué)過的特殊四邊形中 ,寫出兩種勾股四邊形的名稱 。 (2)如圖 ,將△ ABC繞頂點 B按順時針方向旋轉(zhuǎn) 60176。得到△ DBE,連接 AD,DC, ∠ DCB=30176。. ① 求證 :△ BCE是等邊三角形 。 ② 求證 :DC2+BC2=AC2,即四邊形 ABCD是勾股四邊形 . ? 解析 (1)正方形、矩形、直角梯形 .(任選兩個均可 )? (2分 ) (2)證明 :① ∵ △ ABC≌ △ DBE, ∴ BC=BE.? (4分 ) ∵∠ CBE=60176。, ∴ △ BCE是等邊三角形 .? (5分 ) ② ∵ △ ABC≌ △ DBE, ∴ AC=DE.? (6分 ) ∵ △ BCE是等邊三角形 , ∴ BC=CE,∠ BCE=60176。.? (7分 ) ∵∠ DCB=30176。, ∴∠ DCE=90176。.? (8分 ) ∴ 在 Rt△ DCE中 ,DC2+CE2=DE2, ∴ DC2+BC2=AC2,? (9分 ) 即四邊形 ABCD是勾股四邊形 .? (10分 ) 評析 本題考查的是勾股定理、全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì) ,屬中等難度 題 . A組 2022— 2022年模擬 基礎(chǔ)題組 考點一 圖形的軸對稱 三年模擬 1.(2022湖南懷化六模 ,3)下列四個圖形中 ,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是 ? ( ) ? 答案 D A項 ,不是軸對稱圖形 ,是中心對稱圖形 ,故錯誤 。 B項 ,不是軸對稱圖形 ,是中心對稱圖形 ,故錯誤 。 C項 ,不是軸對稱圖形 ,是中心對稱圖形 ,故錯誤 。 D項 ,既是軸對稱圖形 ,又是中心對稱圖形 ,故正確 .故選 D. 2.(2022湖南常德三模 ,5)在平面直角坐標(biāo)系中 ,點 (4,3)關(guān)于 y軸對稱的點的坐標(biāo)是 ? ( ) A.(4,3) B.(4,3) C.(4,3) D.(4,3) 答案 B 點 P(x,y)關(guān)于 y軸對稱的點的坐標(biāo)特征 :縱坐標(biāo)不變 ,橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù) ,所以點 P(x,y) 關(guān)于 y軸對稱的點 P39。的坐標(biāo)為 (x,y),所以點 (4,3)關(guān)于 y軸對稱的點的坐標(biāo)為 (4,3).故選 B. 3.(2022湖南益陽四模 ,5)下列函數(shù) :① y=x。② y=? 。③ y=x2,其中函數(shù)圖象是軸對稱圖形的個數(shù)是 ? ( ) 1x答案 D