【正文】 x海里 , ? 則 BH=x海里 ,AH=CH247。tan 30176。=? x海里 .? (2分 ) ∵ AB=200海里 ,∴ x+? x=200, 解得 x=? =100(? 1).? (4分 ) ∴ BC=? x=100(? ? )海里 .? (6分 ) ∵ 兩船行駛 4小時(shí)相遇 , ∴ 可疑船只航行的平均速度 =100(? ? )247。4=25(? ? )海里 /小時(shí) .? (8分 ) 答 :可疑船只航行的平均速度是每小時(shí) 25(? ? )海里 .? (9分 ) 3320221? 32 6 26 2 6 26 219.(2022河南 ,20,9分 )如圖所示 ,某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組選定測(cè)量小河對(duì)岸大樹 BC的高度 ,他們?cè)谛逼? 上 D處測(cè)得大樹頂端 B的仰角是 30176。,朝大樹方向下坡走 6米到達(dá)坡底 A處 ,在 A處測(cè)得大樹頂端 B 的仰角是 48176。.若坡角 ∠ FAE=30176。,求大樹的高度 .(結(jié)果保留整數(shù) .參考數(shù)據(jù) :sin 48176?！?,cos 48176。 ≈ ,tan 48176?！?,? ≈ ) ? 3解析 延長(zhǎng) BD交 AE于點(diǎn) G,過(guò)點(diǎn) D作 DH⊥ AE于點(diǎn) H. 由題意知 ,∠ DAE=∠ BGA=30176。,DA=6,∴ GD=DA=6. ∴ GH=AH=DAcos 30176。=6? =3? .∴ GA=6? .? (2分 ) 設(shè) BC=x米 .在 Rt△ GBC中 ,GC=? =? =? x.? (4分 ) 323 3tan BCBGC? tan 30x ? 3在 Rt△ ABC中 ,AC=? =? .? (6分 ) ∵ GCAC=GA, ∴ ? x? =6? .? (8分 ) ∴ x≈ 13米 .? (9分 ) tan BCBAC? tan 48x ?3tan 48x ?320.(2022江蘇鎮(zhèn)江 ,24,6分 )某海域有 A、 B兩個(gè)港口 ,B港口在 A港口北偏西 30176。的方向上 ,距 A港 口 60海里 .有一艘船從 A港口出發(fā) ,沿東北方向行駛一段距離后 ,到達(dá)位于 B港口南偏東 75176。方向 的 C處 .求該船與 B港口之間的距離即 CB的長(zhǎng) (結(jié)果保留根號(hào) ). ? 解析 ∵∠ BAE=30176。,BF∥ AE, ∴∠ ABF=30176。.? (1分 ) ∵∠ FBC=75176。,∴∠ ABC=45176。.? (2分 ) ∵∠ CAE=45176。, ∴∠ BAC=75176。.? (3分 ) ∴∠ C=60176。. 過(guò)點(diǎn) A作 AD⊥ BC,垂足為 D,? (4分 ) 在 Rt△ ADB中 ,∠ ABD=45176。,AB=60海里 , 則 BD=AD=30? 海里 . 在 Rt△ ADC中 ,∠ C=60176。,AD=30? 海里 , 則 CD=10? 海里 .∴ CB=(30? +10? )海里 . 答 :略 .? (6分 ) (用其他方法解答 ,相應(yīng)給分 ) 226 2 621.(2022上海 ,22,10分 )如圖 ,MN表示一段筆直的高架道路 ,線段 AB表示高架道路旁的一排居民 樓 .已知點(diǎn) A到 MN的距離為 15米 ,BA的延長(zhǎng)線與 MN相交于點(diǎn) D,且 ∠ BDN=30176。.假設(shè)汽車在高架 道路上行駛時(shí) ,周圍 39米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響 . (1)過(guò)點(diǎn) A作 MN的垂線 ,垂足為點(diǎn) M到 N的方向在 MN上行駛 ,當(dāng)汽車到達(dá)點(diǎn) P 處時(shí) ,噪音開始影響這一排居民樓 ,那么此時(shí)汽車與點(diǎn) H的距離為多少米 ? (2)降低噪音的一種方法是在高架道路旁安裝隔音板 .當(dāng)汽車行駛到點(diǎn) Q時(shí) ,它與這一排居民樓 的距離 QC為 39米 ,那么對(duì)于這一排居民樓 ,高架道路旁安裝的隔音板至少需要多少米長(zhǎng) ?(精確 到 1米 ) (參考數(shù)據(jù) :? ≈ ) ? 3解析 (1)連接 ,知 AH⊥ MN,AH=15米 ,AP=39米 . 在 Rt△ APH中 ,由勾股定理得 PH=? =36米 . 答 :此時(shí)汽車與點(diǎn) H的距離為 36米 . (2)由題意可知 ,PQ段高架道路旁需要安裝隔音板 ,QC⊥ AB,∠ QDC=30176。,QC=39米 .在 Rt△ DCQ 中 ,DQ=2QC=78米 . 在 Rt△ ADH中 ,DH=? =15? 米 .∴ PQ=PHDH+DQ=3615? +78≈ 11415=≈ 89 米 . 答 :高架道路旁安裝的隔音板至少需要 89米長(zhǎng) . 22AP AH?tan 30AH?3 322.(2022湖南湘潭 ,19,6分 )“東方之星”客船失事之后 ,本著“關(guān)愛(ài)生命 ,救人第一”的宗旨 ,搜 救部門緊急派遣直升機(jī)到失事地點(diǎn)進(jìn)行搜救 .搜救過(guò)程中 ,假設(shè)直升機(jī)飛到 A處時(shí) ,發(fā)現(xiàn)前方江 面上 B處有一漂浮物 ,從 A測(cè)得 B處的俯角為 30176。.已知該直升機(jī)一直保持在距江面 100米高度飛 行搜索 ,飛行速度為 10米 /秒 ,求該直升機(jī)沿直線方向朝漂浮物飛行多少秒可到達(dá)漂浮物的正上 方 .(結(jié)果精確到 ,? ≈ ) ? 3解析 作 AD⊥ BD于點(diǎn) D, ? 由題意得 ∠ ABD=30176。,AD=100米 , 在 Rt△ ABD中 ,? =tan∠ ABD, ∴ BD=? =? =100? (米 ), ∵ 飛行速度為 10米 /秒 , ∴ 飛行時(shí)間為 100? 247。10=10? ≈ (秒 ). 答 :該直升機(jī)沿直線方向朝漂浮物飛行 . ADBDtan 30AD? 1003333 3A組 2022— 2022年模擬 基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)一 銳角三角函數(shù) 三年模擬 1.(2022湖南長(zhǎng)沙二模 ,4)在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,sin A=? ,則 tan B的值為 ? ( ) A.? B.? C.? D.? 5131213 512 1312 125答案 D 由 sin A=? 可設(shè) BC=5x,AB=13x(x0). ∴ AC=?=12 x, ∴ tan B=? =? =? . 故選 D. 51322(13 ) (5 )xx?ACBC 125 xx 1252.(2022湖南長(zhǎng)沙四模 ,3)如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,tan A可以表示為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? BCAB ACAB BCAC ACBC答案 C 由銳角的正切定義可知 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,tan A=? =? ,故選 C. AA?? 的 對(duì) 邊的 鄰 邊 BCAC3.(2022湖南長(zhǎng)沙五模 ,7)如圖 ,在△ ABC中 ,∠ C=90176。,AB=5,BC=3,則 sin A的值是 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 35 43 34 45答案 A 由銳角的正弦定義可知 ,sin A=? ,∴ 在△ ABC中 ,sin A=? =? .故選 A. A? 的 對(duì) 邊斜 邊 BCAB 354.(2022湖南益陽(yáng)一模 ,10)如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,斜邊 AB的長(zhǎng)為 m,∠ B=40176。,則直角邊 BC的長(zhǎng)是 ? ( ) ? 40176。 40176。 40176。 D.? tan 40m ?答案 A 由銳角的余弦定義可知 ,在 Rt△ ABC中 ,cos B=? ,∴ BC=mcos 40176。.故選 A. BCAB5.(2022湖南岳陽(yáng)一模 )? sin 60176。的值等于 ? ( ) A.? B.? C.? D.? 1214 12 343答案 C ? sin 60176。=? ? =? . 12 12 32 346.(2022湖南常德一模 ,17)如圖 ,某河堤的橫斷面是四邊形 ABCD,BC∥ AD,迎水坡 AB長(zhǎng) 13 m,且 tan∠ BAE=? ,則河堤的高 BE為 m. ? 125答案 12 解析 在 Rt△ BEA中 ,∠ BEA=90176。,AB=13, ∴ tan∠ BAE=? =? ,設(shè) BE=12x,則 AE=5x, 又 ∵ BE2+AE2=AB2, ∴ (12x)2+(5x)2=132,可得 x=1(x=1舍去 ), ∴ BE=12x=12 m. BEAE1257.(2022湖南益陽(yáng)二模 )如圖 ,△ ABC中 ,∠ B=90176。,BC=2AB,則 cos A= . ? 答案 ? 55解析 由勾股定理 ,得 AC=? =? AB, cos A=? =? =? . 22AB BC? 5ABAC 5ABAB 55考點(diǎn)二 解直角三角形 1.(2022湖南永州七模 ,11)如圖是攔水壩的橫斷面 ,斜坡 AB的水平寬度為 12米 ,斜面的坡度為 1∶ 2,則斜坡 AB的長(zhǎng)為 ? ( ) ? ? 米 ? 米 ? 米 3 5 5答案 B 在 Rt△ ABC中 , ∵ i=BC∶ AC=1∶ 2,AC=12米 , ∴ BC=6米 , 根據(jù)勾股定理得 AB=? =6? 米 , 故選 B. 22AC BC? 5思路分析 先根據(jù)坡度的定義得出 BC的長(zhǎng) ,進(jìn)而利用勾股定理得出 AB的長(zhǎng) . 2.(2022湖南長(zhǎng)沙模擬 ,11)如圖 ,小山崗的斜坡 AC的坡角 α=45176。,在與山腳 C距離 200 m的 D處 ,測(cè) 得山頂 A的仰角為 176。,小山崗的高 AB約為 (結(jié)果取整數(shù) .參考數(shù)據(jù) :sin 176?！?,cos 176?！? ,tan 176。≈ )? ( ) ? m m m 618 m 答案 C ∵ α=45176。,∴ Rt△ ABC為等腰直角三角形 , 即 AB=BC, 又 ∵ tan∠ ADC=? , ∴ tan 176。=? .∴ AB≈ 200(m). ABBD200ABAB?3.(2022湖南張家界九模 ,18)如圖 ,甲樓 AB的高度為 20米 ,自甲樓樓頂 A處 ,測(cè)得乙樓頂端 C處的 仰角為 45176。,測(cè)得乙樓底部 D處的俯角為 30176。,則乙樓 CD的高度是 米 . ? 答案 20+20? 3解析 如圖 ,過(guò)點(diǎn) A作 AE⊥ CD于點(diǎn) E, 根據(jù)題意知 ,∠ CAE=45176。,∠ DAE=30176。. ∵ AB⊥ BD,CD⊥ BD, ∴ 四邊形 ABDE為矩形 , ∴ DE=AB=20. 在 Rt△ ADE中 ,tan∠ DAE=? , ∴ AE=? =20? , 又在 Rt△ ACE中 ,∠ CAE=45176。, DEAE20333∴ CE=AE=20? . ∴ CD=CE+DE=(20? +20)米 . 33思路分析 首先分析圖形 ,根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形 .本題涉及多個(gè)直角三角形 ,應(yīng)利用其公共 邊構(gòu)造關(guān)系式求解 . 評(píng)析 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用 ,仰角、俯角問(wèn)題 ,要求學(xué)生借助俯角構(gòu)造直角三角形 , 并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形 . 4.(2022湖南邵陽(yáng)一模 )如圖 ,矗立在高速公路地面上的交通警示牌 ,經(jīng)測(cè)量得到如下數(shù)據(jù) :AM=4 米 ,AB=8米 ,∠ MAD=45176。,∠ MBC=30176。,求警示牌 CD的高度 .(精確到 .參考數(shù)據(jù) :? ≈ , ? ≈ ) ? 23解析 ∵ AM=4米 ,∠ MAD=45176。, ∴ DM=4米 , ∵ AM=4米 ,AB=8米 , ∴ MB=12米 , ∵∠ MBC=30176。,∴ BC=2MC, 又 ∵ 在 Rt△ BMC中 ,? =2MC, ∴ MC=4? 米 ,則 DC=MCDM=4? 4≈ (米 ). 答 :警示牌 CD的高度約為 . 22MC MB?3 35.(2022湖南長(zhǎng)沙九模 ,24)某勘測(cè)部門使用熱氣球?qū)δ乘淼赖拈L(zhǎng)進(jìn)行勘測(cè) .如圖 ,熱氣球 C的探 測(cè)顯示 ,從熱氣球觀測(cè)隧道入口 A的俯角 α為 30176。,觀測(cè)隧道出口 B的俯角 β為 60176。,熱氣球相對(duì)隧 道的飛行高度為 1 200 m,求這條隧道 AB的長(zhǎng) .(參考數(shù)據(jù) :? ≈ ,? ≈ ,結(jié)果保留兩位 小數(shù) ) ? 2 3解析 過(guò)點(diǎn) C作 CD⊥ AB于點(diǎn) D, ? 由題意可知 ,∠ BCD=30176。,∠ ACD=60176。,CD=1 200, 在 Rt△ CDB和 Rt△ CDA中 ,tan 30176。=? ,tan 60176。=? , ∴ BD=CDtan 30176。=400? ,AD=CDtan 60176。=1 200? . ∴ AB=BD+AD=400? +1 200? =1 600? ≈ 1 600=2 (m). 答 :這條隧道 AB的長(zhǎng)約為 2 m. BDCD ADCD3 33 3 36.(2022湖南婁底一模 )如圖 ,在△ ABC中 ,AD是 BC邊上的高 ,AE是 BC邊上的中線 ,cos C=? ,sin B=? ,AD=1. (1)求 BC的長(zhǎng) 。 (2)求 tan∠ DAE的值 . ? 2213解析 (1)在△ ABC中 ,∵ AD是 BC邊上的高 , ∴∠ ADB=∠ ADC=90176。. ∵ cos C=? ,∴∠ C=45176。. 在△ ADC中 ,∠ ADC=90176。,AD=1,