【正文】 AOC=? ∠ AOB,故答案為 20176。. ? 126.(2022浙江紹興 ,15,5分 )以 Rt△ ABC的銳角頂點(diǎn) A為圓心 ,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧 ,與邊 AB,AC各相 交于一點(diǎn) ,再分別以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心 ,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧 ,過兩弧的交點(diǎn)與點(diǎn) A作直線 ,與邊 BC交于點(diǎn) D,若 ∠ ADB=60176。,點(diǎn) D到 AC的距離為 2,則 AB的長(zhǎng)為 . 答案 2? 3解析 依據(jù)題意畫出圖形 (如圖 ),根據(jù)畫圖可知 ,AD平分 ∠ BAC,∵∠ B=90176。,∠ ADB=60176。,∴∠ BAD=30176。,又 ∵ DE⊥ AC,∴ BD=DE=2,在 Rt△ ABD中 ,tan 30176。=? ,即 ? =? ,∴ AB=2? . ? BD33237.(2022陜西 ,17,5分 )如圖 ,已知 :在正方形 ABCD中 ,M是 BC邊上一定點(diǎn) ,連接 法 ,在 AM上求作一點(diǎn) P,使△ DPA∽ △ ABM.(不寫作法 ,保留作圖痕跡 ) ? 解析 如圖所示 ,點(diǎn) P即為所求 . ? (5分 ) 思路分析 過 D點(diǎn)作 DP⊥ AM于點(diǎn) P,進(jìn)而可利用 ∠ APD=∠ B,∠ DAP=∠ AMB判斷△ DPA∽ △ ABM. C組 教師專用題組 考點(diǎn)一 軸對(duì)稱與折疊 1.(2022云南 ,11,4分 )下列圖形既是軸對(duì)稱圖形 ,又是中心對(duì)稱圖形的是 ? ( ) 答案 B 三角形不一定是軸對(duì)稱圖形 ,且不是中心對(duì)稱圖形 。菱形既是軸對(duì)稱圖形 ,又是中心 對(duì)稱圖形 。角是軸對(duì)稱圖形 ,但不是中心對(duì)稱圖形 。平行四邊形是中心對(duì)稱圖形 ,但不一定是軸 對(duì)稱圖形 .故選 B. 2.(2022湖北武漢 ,10,3分 )如圖 ,在☉ O中 ,點(diǎn) C在優(yōu)弧 ? 上 ,將弧 ? 折疊后剛好經(jīng)過 AB的中點(diǎn) D. 若☉ O的半徑為 ? ,AB=4,則 BC的長(zhǎng)是 ? ( ) ? ? ? C.? D.? AB︵ BC︵532532 652方法指導(dǎo) 在求解涉及圓的性質(zhì)的問題時(shí) ,通常運(yùn)用垂徑定理或圓周角定理得到相等的線段 或角或垂直關(guān)系 ,求解過程中常需作合適的輔助線構(gòu)造直角三角形 ,利用勾股定理等知識(shí)進(jìn)行 求解 . 答案 B 連接 AO,并延長(zhǎng)交☉ O于點(diǎn) D39。,則 ∠ ABD39。=90176。.連接 BD39。,CD39。,DD39。,DD39。交 BC于點(diǎn) E,連接 OD,OB,OC,∵ D為 AB的中點(diǎn) ,∴ OD⊥ AB,∵ AB=4,∴ BD=? AB=2,∵ OB=? ,∴ OD=? = 1,∴ BD39。=2OD=2,即 BD= BD39。,顯然點(diǎn) D與點(diǎn) D39。關(guān)于直線 BC對(duì)稱 .∵∠ ABD39。=90176。,∴∠ ABC=∠ CBD39。=45176。,根據(jù)圓周角定理得 ∠ AOC=90176。,∴∠ D39。OC=90176。,∴ CD39。=? OC=? ,∵∠ CBD39。=45176。, BD39。=2,∴ BE=ED39。=? ,根據(jù)勾股定理得 CE=? =2? ,所以 BC=BE+CE=3? ,故選 B. ? 1 5 22OB BD?2102 39。39。D E?2 23.(2022黑龍江綏化 ,5,3分 )把一張正方形紙片按如圖① ,圖②對(duì)折兩次后 ,再按如圖③挖去一個(gè) 三角形小孔 ,則展開后的圖形是 ? ( ) ? ? 答案 C A、 B、 C、 D四個(gè)圖形都符合以折痕所在直線為對(duì)稱軸的特征 .據(jù)此不能排除選 項(xiàng) .由于題圖③是經(jīng)過兩次對(duì)折后得到的圖形 ,所以題圖③是展開后的圖形的一部分 ,對(duì)照 A、 B、 C、 D四個(gè)選項(xiàng) ,只有 C與之吻合 (如圖 ),故選擇 C. ? 4.(2022湖北宜昌 ,3,3分 )如圖 ,若要添加一條線段 ,使之既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形 ,正確 的添加位置是 ? ( ) ? ? 答案 A 選項(xiàng) A中的圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形 ,選項(xiàng) B,C中的圖形既不是軸對(duì) 稱又不是中心對(duì)稱圖形 ,選項(xiàng) D中的圖形是軸對(duì)稱圖形 ,但不是中心對(duì)稱圖形 . 5.(2022黑龍江龍東地區(qū) ,12,3分 )下列圖形中 ,既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是 ? ( ) ? 答案 D A,B選項(xiàng)中的圖形是軸對(duì)稱圖形 ,不是中心對(duì)稱圖形 ,C選項(xiàng)中的圖形不是軸對(duì)稱圖 形 ,是中心對(duì)稱圖形 , D選項(xiàng)中的圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形 ,故選 D. 6.(2022重慶 A卷 ,16,4分 )如圖 ,把三角形紙片折疊 ,使點(diǎn) B、點(diǎn) C都與點(diǎn) A重合 ,折痕分別為 DE, FG,得到 ∠ AGE=30176。,若 AE=EG=2? 厘米 ,則△ ABC的邊 BC的長(zhǎng)為 厘米 . ? 3答案 (6+4? ) 3解析 過 E作 EH⊥ AG于 H. ∵∠ AGE=30176。,AE=EG=2? , ∴ EH=? ,GH=EGcos 30176。=3,∴ AG=6, ∴ GC=AG=6,易知 BE=AE=EG=2? , ∴ BC=BE+EG+GC=(6+4? )厘米 . 3337.(2022新疆烏魯木齊 ,15,4分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,BC=2? ,AC=2,點(diǎn) D是 BC的中點(diǎn) ,點(diǎn) E是邊 AB上一動(dòng)點(diǎn) ,沿 DE所在直線把△ BDE翻折到△ B39。DE的位置 ,B39。D交 AB于點(diǎn) △ AB39。F為 直角三角形 ,則 AE的長(zhǎng)為 . ? 3答案 3或 解析 易知 ∠ B39。AF不可能為直角 . 當(dāng) ∠ B39。FA是直角時(shí) ,如圖 1, ? 圖 1 ∵∠ C是直角 ,∠ ABC=∠ DBF,∴ △ BCA∽ △ BFD,∴ ? =? ,又 ∵ BC=2? ,且易知 BD=? ,AB =4,∴ BF=? 2? =? ,由翻折可知△ DBE≌ △ DB39。E,∴ BE=B39。E,∠ EB39。F=∠ ABD=30176。,∴ BE=EB39。= 2EF,∴ BE=? BF=1,∴ AE=41=3. 當(dāng) ∠ FB39。A是直角時(shí) ,如圖 2, BFBA3 33433223? 圖 2 連接 B39。C、 AD、 BB39。,由翻折可知△ DBE≌ △ DB39。E,∴ B39。D=BD=? BC=CD,∴∠ BB39。C=90176。,∵∠ FB39。 A =∠ ACD=90176。,∴ Rt△ ACD≌ Rt△ AB39。D,∴ AC=AB39。,又易證 ∠ DB39。B =∠ CB39。A,∴ △ DB39。B∽ △ AB39。 C,∴ ? =? =? ,又 ? =? ,故可證△ BB39。C∽ △ DCA,∴∠ CDA=∠ B39。BC,∴ AD∥ BB39。,延長(zhǎng) DE 交 BB39。于 M,可得 ? =? =? (*),易知 DM垂直平分 BB39。,∴ BM=? BB39。,在直角三角形 BB39。C中 , 由 BB39。2+B39。C2=BC2=12,? =? ,可求得 BB39。=? ,∴ BM=? .在直角三角形 DCA中 ,DA= 1239。BDCA32 32BMAEBE4AEAE?1239。32677377? =? ,將 BM=? ,AD=? 代入 (*)可得 AE=. 綜上 ,AE的長(zhǎng)為 3或 . 22( 3)?7 7疑難突破 本題的難點(diǎn)是 ∠ FB39。A為直角時(shí)如何求 AE,突破方法是作出輔助線 B39。C、 AD、 BB39。, 并根據(jù)翻折證明△ BB39。C∽ △ DCA,然后利用相似比求出 AE. 8.(2022湖北隨州 ,15,3分 )如圖 ,∠ AOB的邊 OB與 x軸正半軸重合 ,點(diǎn) P是 OA上的一動(dòng)點(diǎn) ,點(diǎn) N(3,0) 是 OB上的一定點(diǎn) ,點(diǎn) M是 ON的中點(diǎn) ,∠ AOB=30176。,要使 PM+PN最小 ,則點(diǎn) P的坐標(biāo)為 . ? 答案 ? 33,22??????解析 作 N關(guān)于 OA的對(duì)稱點(diǎn) N39。,連接 N39。M交 OA于 P,則此時(shí) ,PM+PN最小 .∵ OA垂直平分 NN39。,∴ ON=ON39。,∠ N39。ON=2∠ AON=60176。,∴ △ NON39。是等邊三角形 .∵ 點(diǎn) M是 ON的中點(diǎn) ,∴ N39。M⊥ ON.∵ 點(diǎn) N(3,0),∴ ON=3,∴ OM=? ,∴ PM=? , ∴ P? . ? 32 3233,22??????9.(2022江西 ,12,3分 )已知點(diǎn) A(0,4),B(7,0),C(7,4),連接 AC,BC得到矩形 AOBC,點(diǎn) D在邊 AC上 ,將邊 OA沿 OD折疊 ,點(diǎn) A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 A39。,若點(diǎn) A39。到矩形 ? 兩對(duì)邊的距離之比為 1∶ 3,則點(diǎn) A39。的坐標(biāo)為 . ??較 長(zhǎng)答案 (? ,3)或 (? ,1)或 (2? ,2)(每答對(duì)一個(gè)得 1分 ) 7153解析 ∵ 點(diǎn) A(0,4),B(7,0),C(7,4), ∴ BC=OA=4,OB=AC=7. 分兩種情況進(jìn)行討論 : (1)當(dāng)點(diǎn) A39。在矩形 AOBC的內(nèi)部時(shí) ,過 A39。作 OB的垂線交 OB于 F,交 AC于 E,如圖 1所示 : ? 圖 1 ①當(dāng) A39。E∶ A39。F=1∶ 3時(shí) ,∵ A39。E+A39。F=OA=4,∴ A39。E=1,A39。F=3, 由折疊可得 OA39。=OA=4,在 Rt△ OA39。F中 ,OF=? =? =? ,∴ A39。(? ,3). ②當(dāng) A39。E∶ A39。F=3∶ 1時(shí) ,同理 ,得 A39。(? ,1). 2239。39。OA AF?2243?7715(2)當(dāng)點(diǎn) A39。在矩形 AOBC的外部時(shí) ,此時(shí)點(diǎn) A39。在第四象限 ,過 A39。作 OB的垂線交 OB于 F,交 AC于 E,如 圖 2所示 : ? 圖 2 ∵ A39。F∶ A39。E=1∶ 3,則 A39。F∶ EF=1∶ 2, ∴ A39。F=? EF=? BC=2, 由折疊可得 OA39。=OA=4, 在 Rt△ OA39。F中 ,OF=? =? =2? , ∴ A39。(2? ,2). 1212 2239。39。OA AF?2242?33綜上 ,點(diǎn) A39。的坐標(biāo)為 (? ,3)或 (? ,1)或 (2? ,2). 7153易錯(cuò)警示 解此題時(shí) ,需分類討論點(diǎn) A39。的位置 ,學(xué)生往往只畫出點(diǎn) A39。在第一象限的情況而漏解 . 10.(2022安徽 ,14,5分 )在三角形紙片 ABC中 ,∠ A=90176。,∠ C=30176。,AC=30 B的 直線折疊 ,使點(diǎn) A落在斜邊 BC上的一點(diǎn) E處 ,折痕記為 BD(如圖 1),剪去△ CDE后得到雙層△ BDE (如圖 2),再沿著過△ BDE某頂點(diǎn)的直線將雙層三角形剪開 ,使得展開后的平面圖形中有一個(gè)是 平行四邊形 .則所得平行四邊形的周長(zhǎng)為 cm. ? 答案 40或 ? ? (只寫出一個(gè)正確答案得 3分 ) 8033解析 由已知可知△ ADB≌ △ EDB,又 ∠ A=90176。,∠ C=30176。,所以 ∠ ABD=∠ EBD=∠ C=30176。,則 CD= BD,設(shè) AD=DE=x cm,則 CD=(30x)cm,在直角三角形 ABD中 ,sin 30176。=? =? =? ,解得 x=10,所 以 BD=20 cm,AB=10? :①取 BD的中點(diǎn) F,連接 EF, AF,沿 EF剪開所得四邊形 ADEF是平行四邊形 ,也是菱形 ,其邊長(zhǎng) DE為 10 cm,故其周長(zhǎng)為 40 cm。 ②作 ∠ EDB的平分線 DM,沿 DM剪開所得四邊形是平行四邊形 ,也是菱形 ,其邊長(zhǎng) DM=? = ? =? cm,故其周長(zhǎng)為 4? =? ? cm. 綜上 ,則所得平行四邊形的周長(zhǎng)為 40或 ? ? cm. AD30x x?123 cos 30DE?10322 332 3380333思路分析 由軸對(duì)稱的性質(zhì)得△ ADB≌ △ EDB,由已知可求 AD,AB,BD,考慮到在三角形 BDE 中 ,∠ BED=90176。,∠ EBD=30176。,∠ BDE=60176。,故沿 BD上的中線或 ∠ EDB的平分線剪開可得平行四 邊形 ,且都為菱形 ,求出邊長(zhǎng)即可求得周長(zhǎng) . 11.(2022湖北仙桃 ,19,6分 )如圖 ,下列 44網(wǎng)格圖都是由 16個(gè)相同小正方形組成 ,每個(gè)網(wǎng)格圖中 有 4個(gè)小正方形已涂上陰影 ,請(qǐng)?jiān)诳瞻仔≌叫沃?,按下列要求涂上陰影 . (1)在圖 1中選取 2個(gè)空白小正方形涂上陰影 ,使 6個(gè)陰影小正方形組成一個(gè)中心對(duì)稱圖形 。 (2)在圖 2中選取 2個(gè)空白小正方形涂上陰影 ,使 6個(gè)陰影小正方形組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形 ,但不是 中心對(duì)稱圖形 . ? 解析 (1)中心對(duì)稱圖形示例 : ? (2)軸對(duì)稱 (非中心對(duì)稱 )圖形示例 : ? 12.(2022江蘇連云港 ,27,14分 )我們知道 ,光反射時(shí) ,反射光線、入射光線和法線在同一平面內(nèi) , 反射光線、入射光線分居法線兩側(cè) ,反射角等于入射角 .如圖 ,AO為入射光線 ,入射點(diǎn)為 O,ON為 法線 (過入射點(diǎn) O并垂直于鏡面的直線 ),OB為反射光線 ,此時(shí)反射角 ∠ BON等于入射角 ∠ AON. ? 問題思考 : (1)如圖 1,一束光線從點(diǎn) A處入射到平面鏡上 ,反射后恰好過點(diǎn) B,請(qǐng)?jiān)趫D中確定平面鏡上的入射 點(diǎn) ,并簡(jiǎn)要說明理由 。 (2)如圖 2,兩平面鏡 OM、 ON交于點(diǎn) O,且 OM⊥ A出發(fā) ,經(jīng)過平面鏡反射后 ,恰 好經(jīng)過點(diǎn) ,光線可以只經(jīng)過平面鏡 OM反射后過點(diǎn) B,也可以只經(jīng)過平面鏡