【正文】 活動(dòng)中銷售一農(nóng)產(chǎn)品 ,經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)月銷售 量 y(萬件 )與月份 x(月 )的關(guān)系式為 y=? 每件產(chǎn)品的利潤 z(元 )與月份 x (月 )的關(guān)系如下表 : 4(1 8, ),20(9 12, ),x x xx x x? ? ???? ? ? ??為 整 數(shù)為 整 數(shù)x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 10 (1)請(qǐng)你根據(jù)表格求出每件產(chǎn)品利潤 z(元 )與月份 x(月 )的關(guān)系式 。 (2)若月利潤 w(萬元 )=當(dāng)月銷售量 y(元件 )當(dāng)月每件產(chǎn)品的利潤 z(元 ),求月利潤 w(萬元 )與月份 x (月 )的關(guān)系式 。 (3)當(dāng) x為何值時(shí) ,月利潤 w有最大值 ?最大值為多少 ? 解析 (1)根據(jù)表格可知 ,當(dāng) 1≤ x≤ 10且 x為整數(shù)時(shí) ,z=x+20。 當(dāng) 11≤ x≤ 12且 x為整數(shù)時(shí) ,z=10. ∴ z與 x的關(guān)系式為 z=? ? 或 z=? ? (2)當(dāng) 1≤ x≤ 8且 x為整數(shù)時(shí) ,w=(x+20)(x+4)=x2+16x+80。 當(dāng) 9≤ x≤ 10且 x為整數(shù)時(shí) ,w=(x+20)(x+20)=x240x+400。 當(dāng) 11≤ x≤ 12且 x為整數(shù)時(shí) ,w=10(x+20)=10x+200, ∴ w與 x的關(guān)系式為 w=? ? 或 w=? ? (3)當(dāng) 1≤ x≤ 8且 x為整數(shù)時(shí) ,w=x2+16x+80=(x8)2+144, 20(1 10, ),10(11 12, ).x x xxx? ? ? ??? ???為 整 數(shù)為 整 數(shù)20(1 9, ),10(10 12, )x x x? ? ???? 為 整 數(shù)為 整 數(shù)221 6 8 0 (1 8, ),4 0 4 0 0 (9 1 0 , ),0 2 0 0 (1 1 1 2 , ).x x x xx x x xx x x?? ? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ??為 整 數(shù)為 整 數(shù)為 整 數(shù)221 6 8 0 (1 8 , ),4 0 4 0 0 1 2 1( 9 ),1 0 2 0 0 (1 0 1 2 , )x x x xx x xx x x?? ? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ??為 整 數(shù)為 整 數(shù)∴ 當(dāng) x=8時(shí) ,w有最大值 ,為 144。 當(dāng) 9≤ x≤ 10且 x為整數(shù)時(shí) ,w=x240x+400=(x20)2, ∴ 當(dāng) x=9時(shí) ,w有最大值 ,為 121。 當(dāng) 11≤ x≤ 12且 x為整數(shù)時(shí) ,w=10x+200, ∴ 當(dāng) x=11時(shí) ,w有最大值 ,為 90. ∵ 90121144,∴ x=8時(shí) ,w有最大值 ,為 144. (或當(dāng) 1≤ x≤ 8且 x為整數(shù)時(shí) ,w有最大值 144。當(dāng) x=9時(shí) ,w=121。當(dāng) x=10時(shí) ,w=100。當(dāng) x=11時(shí) ,w=90。當(dāng) x=12時(shí) ,w=80) 6.(2022湖北武漢 ,24,12分 )拋物線 L:y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn) A(0,1),與它的對(duì)稱軸直線 x=1交于點(diǎn) B. (1)直接寫出拋物線 L的解析式 。 (2)如圖 1,過定點(diǎn)的直線 y=kxk+4(k0)與拋物線 L交于點(diǎn) M、 △ BMN的面積等于 1,求 k的值 。 (3)如圖 2,將拋物線 L向上平移 m(m0)個(gè)單位長度得到拋物線 L1,拋物線 L1與 y軸交于點(diǎn) C,過點(diǎn) C 作 y軸的垂線交拋物線 L1于另一點(diǎn) L1的對(duì)稱軸與 x軸的交點(diǎn) ,P為線段 OC上一點(diǎn) .若 △ PCD與△ POF相似 ,并且符合條件的點(diǎn) P恰有 2個(gè) ,求 m的值及相應(yīng)點(diǎn) P的坐標(biāo) . ? 解析 (1)y=x2+2x+1.? 詳解 :由題意知 ? 解得 b=2,c=1,∴ 拋物線 L的解析式為 y=x2+2 x+1? (2)解法一 :直線 y=kxk+4經(jīng)過定點(diǎn) G(1,4), 易知 B點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,2), ∴ BG=2. ∵ S△ BMN=1,S△ BMN=S△ GBNS△ GBM=? BG( xNxM)=xNxM. ∴ xNxM=1. 由 ? 得 x2+(k2)xk+3=0, ∴ xN=? ,xM=? . ∴ xNxM=? =1,∴ k=177。3, ∵ k0,∴ k=3. 1,2 ( 1 )1,bc? ??????? ??12 24,21y kx ky x x? ? ??? ? ? ? ?? 2282kk? ? ?22? ? ?2 8k ?解法二 :過點(diǎn) B作 BR∥ MN,交 x軸于點(diǎn) R,連接 MR,NR. 設(shè) MN交 x軸于點(diǎn) Q,則 Q? . 直線 BR的解析式為 y=kxk+2,則 R的坐標(biāo)為 ? . ∴ S△ BMN=S△ RMN=? RQ( yMyN)=1. ∴ ? ? k(xMxN)=1,即 xNxM=1.(以下同解法一 ) ? (3)依題意得 ,拋物線 L1的解析式為 y=x2+2x+1+m. ∴ C(0,1+m),D(2,1+m),F(1,0). 設(shè) P(0,t), 4 ,0k k???????2 ,0k k?121242kk???當(dāng)△ PCD∽ △ FOP時(shí) ,? =? , ∴ ? =? ,∴ t2(1+m)t+2=0① 。 當(dāng)△ PCD∽ △ POF時(shí) ,? =? , ∴ ? =? ,∴ t=? (m+1)② . ? (i)當(dāng)方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí) , Δ=(1+m)28=0,∴ m=2? 1(舍負(fù) ), 方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 t1=t2=? , 此時(shí) ,方程②有一個(gè)實(shí)數(shù)根 t=? . PCCDFO1 2mt??1t PO1 21t 1322223∴ m=2? 1,此時(shí) ,點(diǎn) P的坐標(biāo)是 (0,? )和 ? . (ii)當(dāng)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí) , 把②代入①得 ,? (m+1)2? (m+1)2+2=0, 解得 m=2(舍負(fù) ), 此時(shí) ,方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 t1=1,t2=2, 方程②有一個(gè)實(shí)數(shù)根 t=1, ∴ m=2,此時(shí) ,點(diǎn) P的坐標(biāo)是 (0,1)和 (0,2). 綜上 ,當(dāng) m=2? 1時(shí) ,點(diǎn) P的坐標(biāo)是 (0,? )和 ? 。 當(dāng) m=2時(shí) ,點(diǎn) P的坐標(biāo)是 (0,1)和 (0,2). 2 2220, 3??????19 132 2220, 3思路分析 (1)根據(jù)對(duì)稱軸為直線 x=1且拋物線過點(diǎn) A(0,1)求解可得解析式 。 (2)直線 y=kxk+4=k(x1)+4所過定點(diǎn) G的坐標(biāo)為 (1,4),從而得出 BG=2,由 S△ BMN=S△ GBNS△ GBM=? BG (xNxM)=1得出 xNxM=1,聯(lián)立直線和拋物線解析式求得 x=? ,根據(jù) xNxM=1列出關(guān)于 k的 方程 ,得解 。 (3)設(shè)拋物線 L1的解析式為 y=x2+2x+1+m,可得 C(0,1+m)、 D(2,1+m)、 F(1,0),再設(shè) P(0,t),分△ PCD∽ △ FOP和△ PCD∽ △ POF兩種情況 ,由對(duì)應(yīng)邊成比例得出關(guān)于 t與 m的方程 ,利用符合條 件的點(diǎn) P恰有 2個(gè) ,結(jié)合方程的解的情況求出結(jié)果 . 122282kk? ? ?方法指導(dǎo) 二次函數(shù)與相似三角形結(jié)合的解題方法 : (1)確定一組固定角 。 (2)根據(jù)對(duì)應(yīng)邊進(jìn)行分類討論來確定相似三角形成立的條件 。 (3)由相似三角形列出相應(yīng)比例式 。 (4)將比例式中的線段用所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來 (其長度多借助勾股定理求得 )。 (5)將所表示的線段代入比例式中 ,構(gòu)造方程進(jìn)行求解即可 . 7.(2022四川成都 ,28,12分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,以直線 x=? 為對(duì)稱軸的拋物線 y=ax2+ bx+c 與直線 l:y=kx+m(k0)交于 A(1,1),B兩點(diǎn) ,與 y軸交于點(diǎn) C(0,5),直線 l與 y軸交于點(diǎn) D. (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式 。 (2)設(shè)直線 l與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為 F,G是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一點(diǎn) ,若 ? =? ,且△ BCG與△ BCD的面積相等 ,求點(diǎn) G的坐標(biāo) 。 (3)若在 x軸上有且只有一點(diǎn) P,使 ∠ APB=90176。,求 k的值 . ? 52 AFFB34解析 (1)由題可得 ? 解得 ? ∴ 拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y=x25x+5. (2)作 AM⊥ x軸 ,BN⊥ x軸 ,垂足分別為 M,N, ? 設(shè)對(duì)稱軸與 x軸交于 Q點(diǎn) ,則 ? =? =? . ∵ MQ=? ,∴ QN=2,∴ B? , 5 ,225,1,bacabc? ???? ??? ? ? ???1,5,5,abc??????? ??AFFBMN34329 1 1,24??????∴ ? 解得 ? ∴ 直線 l的解析式為 y=? x+? ,則 D? . 易知直線 BC的解析式為 y=? x+5. ∵ S△ BCD=S△ BCG, ∴ ① DG1∥ BC(G1在 BC下方 ),直線 DG1的解析式為 y=? x+? , ∴ ? x+? =x25x+5,即 2x29x+9=0,∴ x1=? ,x2=3, ∵ x? ,∴ x=3,∴ G1(3,1). ② G在 BC上方時(shí) ,直線 G2G3與 DG1關(guān)于 BC對(duì)稱 . ∴ 直線 G2G3的解析式為 y=? x+? , ∴ ? x+? =x25x+5,∴ 2x29x9=0. 1,9 1 1 ,24kmkm????? ????1 ,21 ,2km? ????? ???1212 10,2??????12 12121212 352 1219212192∴ x1=? ,x2=? , ∵ x? ,∴ x=? ,∴ G2? . 綜上所述 ,點(diǎn) G的坐標(biāo)為 (3,1)或 ? . (3)由題意可知 ,k+m=1. ∴ m=1k,∴ y=kx+1k,∴ kx+1k=x25x+5, 即 x2(k+5)x+k+4=0, ∴ x1=1,x2=k+4,∴ B(k+4,k2+3k+1). 取 AB的中點(diǎn) O39。, ? 9 3 1 74?9 3 1 74?529 3 1 749 3 17 67 3 17,48????????,∵ P點(diǎn)有且只有一個(gè) ,∴ 以 AB為直徑的圓與 x軸只有一個(gè)交點(diǎn) , 即該圓與 x軸相切 ,且 P為切點(diǎn) , 連接 O39。P,AP,BP. ∴ O39。P⊥ x軸 ,∴ P為 MN的中點(diǎn) ,∴ P? . 作 AM⊥ x軸 ,BN⊥ x軸 ,垂足分別為 M,N, ∵ △ AMP∽ △ PNB,∴ ? =? ,∴ AMBN=PNPM, ∴ 1(k2+3k+1)=?? ,即 3k2+6k5=0,Δ=960, ∵ k0,∴ k=? =1+? . 5 ,02k ???????AM 54 2kk ???5 12k ? ?6 4 66??263解題關(guān)鍵 本題為二次函數(shù)的綜合題 ,主要考查了用待定系數(shù)法求解析式 ,二次函數(shù)的性質(zhì) ,平 行線間的距離 ,用代數(shù)式表示點(diǎn)的坐標(biāo) ,三角形的相似等知識(shí)點(diǎn) ,題目綜合性強(qiáng)、難度大 .會(huì)分 析題中的基本關(guān)系列方程 (組 )解決問題 ,并分類討論 ,會(huì)根據(jù)條件構(gòu)建三角形相似的模型 ,運(yùn)用 相似的性質(zhì)計(jì)算是解題的關(guān)鍵 . 思路分析 (1)根據(jù)已知條件 ,用待定系數(shù)法可求得拋物線的函數(shù)表達(dá)式 。(2)作 AM⊥ x軸 ,BN⊥ x 軸 ,垂足分別為 M,N,根據(jù) ? =? =? ,求點(diǎn) B的坐標(biāo) ,進(jìn)而求出直線 l的解析式 ,由 S△ BCD=S△ BCG,根 據(jù)平行線間的距離相等 ,分兩種情況分別求出 G點(diǎn)坐標(biāo) 。(3)當(dāng)以 AB為直徑的圓與 x軸相切時(shí) ,存 在滿足條件的點(diǎn) P,由題意知點(diǎn) P為 MN的中點(diǎn) ,運(yùn)用三角形相似的性質(zhì)建立線段間的等量關(guān)系 , 列出方程求解即可 . AFFBMN348.(2022河南 ,23,11分 )如圖 ,拋物線 y=ax2+6x+c交 x軸于 A,B兩點(diǎn) ,交 y軸于點(diǎn) y=x5經(jīng)過點(diǎn) B, C. (1)求拋物線的解析式 。 (2)過點(diǎn) A的直線交直線 BC于點(diǎn) M. ①當(dāng) AM⊥ BC時(shí) ,過拋物線上一動(dòng)點(diǎn) P(不與點(diǎn) B,C重合 ),作直線 AM的平行線交直線 BC于點(diǎn) Q,若 以點(diǎn) A,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 ,求點(diǎn) P的橫坐標(biāo) 。 ②連接 AC,當(dāng)直線 AM與直線 BC的夾角等于 ∠ ACB的 2倍時(shí) ,請(qǐng)直接寫出點(diǎn) M的坐標(biāo) . 解析 (1)∵ 直線 y=x5交 x軸于點(diǎn) B,交 y軸于點(diǎn) C, ∴ B(5,0),C(0,5), ∵ 拋物線 y=ax2+6x+c過點(diǎn) B,C, ∴ ? ∴ ? ∴ 拋物線的解析式為 y=x2+6x5.? (3分 ) (2)① ∵ OB=OC=5,∠ BOC=90176。,∴∠ ABC=45176。. ∵ 拋物線 y=x2+6x5交 x軸于 A,B兩點(diǎn) ,