【文章內(nèi)容簡介】 B1處 ,此時線段 OB1與 AB的交點 D恰好為 AB的中點 ,則線段 B1D= cm. ? 答案 解析 ∵ 在△ AOB中 ,∠ AOB=90176。,AO=3 cm,BO=4 cm, ∴ AB=? =5 cm, ∵ 點 D為 AB的中點 ,∴ OD=? AB= cm. ∵ 將△ AOB繞頂點 O按順時針方向旋轉(zhuǎn)到△ A1OB1處 , ∴ OB1=OB=4 cm,∴ B1D=OB1OD= . 22OA OB?12思路分析 先在直角△ AOB中利用勾股定理求出 AB的長 ,再利用直角三角形斜邊上的中線等 于斜邊的一半得出 OD=? OB1=OB,由 B1D=OB1OD求得結(jié)果 . 12解題關(guān)鍵 本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) ,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及勾股定理 ,熟 練掌握這些知識點是解題關(guān)鍵 . 6.(2022吉林長春 ,14,3分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,△ ABC的頂點 A在第一象限 ,點 B、 C的坐 標(biāo)分別為 (2,1)、 (6,1),∠ BAC=90176。,AB=AC,直線 AB交 x軸于點 △ ABC與△ A39。B39。C39。關(guān)于點 P成 中心對稱 ,則點 A39。的坐標(biāo)為 . ? 答案 (2,3) 解析 ∵ B(2,1),C(6,1),∴ BC=4, ∵∠ BAC=90176。,AB=AC,∴ A(4,3), ∴ 直線 AB的解析式為 y=x1,當(dāng) y=0時 ,x=1,∴ P(1,0). 由題意知點 A與點 A39。關(guān)于點 P對稱 ,∴ A39。(2,3). 7.(2022寧夏 ,16,3分 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,△ A39。B39。C39。由△ ABC繞點 P旋轉(zhuǎn)得到 ,則點 P的坐標(biāo) 為 . ? 答案 (1,1) 解析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知 ,旋轉(zhuǎn)中心點 P在對應(yīng)點連線的垂直平分線上 .AA39。的垂直平分線為 x= 1,設(shè)點 P(1,y),則 PC=PC39。.由題圖知 C(1,0),C39。(2,1),所以 (1+1)2+y2=(12)2+(y1)2,解得 y= P(1, 1). 8.(2022四川成都 ,27,10分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,AB=? ,AC=2,過點 B作直線 m∥ AC,將△ ABC繞點 C順時針旋轉(zhuǎn)得到△ A39。B39。C(點 A,B的對應(yīng)點分別為 A39。,B39。),射線 CA39。,CB39。分別交直線 m于 點 P,Q. (1)如圖 1,當(dāng) P與 A39。重合時 ,求 ∠ ACA39。的度數(shù) 。 (2)如圖 2,設(shè) A39。B39。與 BC的交點為 M,當(dāng) M為 A39。B39。的中點時 ,求線段 PQ的長 。 (3)在旋轉(zhuǎn)過程中 ,當(dāng)點 P,Q分別在 CA39。,CB39。的延長線上時 ,試探究四邊形 PA 39。B39。Q的面積是否存在 最小值 .若存在 ,求出四邊形 PA 39。B39。Q的最小面積 。若不存在 ,請說明理由 . ? 7解析 (1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 AC=A39。C=2, ∵∠ ACB=90176。,AB=? ,AC=2,∴ BC=? =? , ∵∠ ACB=90176。,m∥ AC,∴∠ A39。BC=90176。, ∴ cos∠ A39。CB=? =? , ∴∠ A39。CB=30176。, ∴∠ ACA39。=60176。. (2)∵ M為 A39。B39。的中點 ,∠ A39。CB39。=90176。,∴ MA39。=MB39。=MC, ∴∠ A39。CM=∠ MA39。C, 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 ∠ MA39。C=∠ A,∴∠ A=∠ A39。CM, ∴ tan∠ PCB=tan∠ A=? ,∴ PB=? BC=? , ∵ tan∠ BQC=tan∠ PCB=? ,∴ BQ=BC? =? ? =2, ∴ PQ=PB+BQ=? . (3)∵ S四邊形 PA39。B39。Q=S△ PCQS△ A39。CB39。=S△ PCQ? , 7 22AB AC? 339。BCAC 3232 32 3232 23323723∴ S四邊形 PA39。B39。Q最小即 S△ PCQ最小 , S△ PCQ=? PQBC=? PQ. 取 PQ的中點 G,連接 CG. ∵∠ PCQ=90176。,∴ CG=? PQ. 當(dāng) CG最小時 ,PQ最小 ,∴ CG⊥ PQ,即 CG與 CB重合時 ,CG最小 , ∴ CGmin=? ,PQmin=2? ,∴ (S△ PCQ)min=3,(S四邊形 PA39。B39。Q)min=3? . 12 32123 3 3思路分析 (1)在 Rt△ ABC中 ,由勾股定理得 BC=? ,根據(jù)旋轉(zhuǎn)知 A39。C=AC=2,解直角△ A39。BC,得 ∠ A39。CB=30176。,所以 ∠ ACA39。=60176。(2)根據(jù) M為 A39。B39。的中點 ,可得 ∠ A39。CM=∠ MA39。C=∠ A,且 ∠ A=∠ BQC, 解 Rt△ PBC,Rt△ BQC,求出 PB=? ,BQ=2,進(jìn)而得出 PQ=PB+BQ=? 。(3)依據(jù) S四邊形 PA39。B39。Q=S△ PCQS△ A39。C B39。= S△ PCQ? ,得當(dāng) S△ PCQ最小時 ,S四邊形 PA39。B39。Q最小 ,又 S△ PCQ=? PQBC=? PQ,求出 PQ最小值即可得到 S△ PCQ的最小值為 3,則四邊形 PA 39。B39。Q的最小面積是 3? . 332 72312 323解后反思 本題是以直角三角形旋轉(zhuǎn)為背景的幾何綜合題 ,主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) ,平行線的 性質(zhì) ,解直角三角形 ,直角三角形的性質(zhì)等 ,根據(jù)直線 m∥ AC以及旋轉(zhuǎn)變換中相等的線段和相等 的角 ,求△ PQC中角的大小和邊長是解題的關(guān)鍵 . 9.(2022山東濰坊 ,24,12分 )邊長為 6的等邊△ ABC中 ,點 D、 E分別在 AC、 BC邊上 ,DE∥ AB,EC= 2? . (1)如圖 1,將△ DEC沿射線 EC方向平移 ,得到△ D39。E39。C39。,邊 D39。E39。與 AC的交點為 M,邊 C39。D39。與 ∠ ACC39。 的平分線交于點 CC39。多大時 ,四邊形 MCND39。為菱形 ?并說明理由 。 (2)如圖 2,將△ DEC繞點 C旋轉(zhuǎn) ∠ α(0176。α360176。),得到△ D39。E39。C,連接 AD39。、 BE39。.邊 D39。E39。的中點為 P. ① 在旋轉(zhuǎn)過程中 ,AD39。和 BE39。有怎樣的數(shù)量關(guān)系 ?并說明理由 。 ② 連接 AP,當(dāng) AP最大時 ,求 AD?的值 .(結(jié)果保留根號 ) 圖 1 3圖 2 解析 (1)當(dāng) CC39。=? 時 ,四邊形 MCND39。為菱形 .? (1分 ) 理由 :由平移的性質(zhì)得 CD∥ C39。D39。,DE∥ D39。E39。. ∵ △ ABC為等邊三角形 ,∴∠ B=∠ ACB=60176。, ∴∠ ACC39。=180176。60176。=120176。. ∵ CN為 ∠ ACC39。的平分線 , ∴∠ NCC39。=60176。.? (2分 ) ∵ AB∥ DE,DE∥ D39。E39。,∴ AB∥ D39。E39。, ∴∠ D39。E39。C39。=∠ B=60176。,? (3分 ) ∴∠ D39。E39。C39。=∠ NCC39。,∴ D39。E39?！?CN, ∴ 四邊形 MCND39。為平行四邊形 .? (4分 ) ∵∠ ME39。C39。=∠ MCE39。=60176。,∠ NCC39。=∠ NC39。C=60176。, ∴ △ MCE39。和△ NCC39。為等邊三角形 ,∴ MC=CE39。,NC=CC39。. 又 E39。C39。=EC=2? ,CC39。=? ,∴ CC39。=CE39。. ∴ MC=CN,∴ 四邊形 MCND39。為菱形 .? (5分 ) 33 3(2)① AD39。=BE39。.? (6分 ) 理由 :當(dāng) α≠ 180176。時 ,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 ∠ ACD39。=∠ BCE39。. 由題意易知 ,AC=BC,CD39。=CE39。, ∴ △ ACD39?！?△ BCE39。,∴ AD39。=BE39。? (8分 ) 當(dāng) α=180176。時 ,AD39。=AC+CD39。,BE39。=BC+CE39。, 又 ∵ AC=BC,CD39。=CE39。,∴ AD39。=BE39。. 綜上可知 ,AD39。=BE39。.? (9分 ) ② 當(dāng) A、 C、 P三點共線時 AP最大 ,如圖 . 此時 ,AP=AC+CP.? (10分 ) 在等邊△ D39。CE39。中 ,由 P為 D39。E39。的中點 , 得 AP⊥ D39。E39。,PD39。=? , ∴ CP=3,∴ AP=6+3=9.? (11分 ) 在 Rt△ APD39。中 ,AD39。=? =? =2? .? (12分 ) 32239。AP PD? 229 ( 3)? 2110.(2022天津 ,24,10分 )在平面直角坐標(biāo)系中 ,O為原點 ,點 A(4,0),點 B(0,3),把△ ABO繞點 B逆時針 旋轉(zhuǎn) ,得△ A39。BO39。,點 A,O旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為 A39。,O39。.記旋轉(zhuǎn)角為 α. (1)如圖① ,若 α=90176。,求 AA39。的長 。 (2)如圖② ,若 α=120176。,求點 O39。的坐標(biāo) 。 (3)在 (2)的條件下 ,邊 OA上的一點 P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為 P39。,當(dāng) O39。P+BP39。取得最小值時 ,求點 P39。的坐 標(biāo) (直接寫出結(jié)果即可 ). ? 解析 (1)∵ 點 A(4,0),點 B(0,3), ∴ OA=4,OB=3. 在 Rt△ ABO中 ,由勾股定理 , 得 AB=? =5. 根據(jù)題意 ,△ A39。BO39。是△ ABO繞點 B逆時針旋轉(zhuǎn) 90176。得到的 , 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) ,可得 ∠ A39。BA=90176。,A39。B=AB=5. ∴ 在 Rt△ A39。BA中 ,AA39。=? =5? . (2)如圖 ,根據(jù)題意 ,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) , 可得 ∠ O39。BO=120176。,O39。B=OB=3, 過點 O39。作 O39。C⊥ y軸 ,垂足為 C, 則 ∠ O39。CB=90176。. ? 22OA OB?2239。AB AB? 2在 Rt△ O39。CB中 ,由 ∠ O39。BC=180176?！?O39。BO=60176。, 得 O39。C=O39。Bsin∠ O39。BC=O39。Bsin 60176。=? , BC=O39。Bcos∠ O39。BC=O39。Bcos 60176。=? , 則 OC=OB+BC=? . ∴ 點 O39。的坐標(biāo)為 ? . (3)? . 3323292339,22??????6 3 2 7,55??????C組 教師專用題組 考點一 圖形的軸對稱 1.(2022新疆 ,7,5分 )如圖 ,矩形紙片 ABCD中 ,AB=6 cm,BC=8 AE對折 ,使得點 B落在 邊 AD上的點 B1處 ,折痕與邊 BC交于點 E,則 CE的長為 ? ( ) ? cm cm cm cm 答案 D 由題意可知 ,BE=AB=6 cm,∴ CE=BCBE=86=2 D. 2.(2022新疆烏魯木齊 ,9,4分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,點 F在 AD上 ,點 E在 BC上 ,把這個矩形沿 EF折 疊后 ,使點 D恰好落在 BC邊上的 G點處 ,若矩形面積為 4? 且 ∠ AFG=60176。,GE=2BG,則折痕 EF的 長為 ? ( ) ? B.? ? 33 3答案 C ∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴ AD∥ BC,∠ H=∠ D=∠ FGH=∠ C=90176。. 由折疊知 ∠ GFE=∠ DFE,FD=FG. ∵∠ GFD=180176?！?AFG=120176。, ∴∠ GFE=∠ DFE=60176。. ∵ AD∥ BC, ∴∠ FGE=∠ AFG=60176。,∠ FEG=∠ DFE=60176。, ∴ △ GEF是等邊三角形 ,∴ FG=GE=FE. 設(shè) BG=x,則 GF=GE=EF=FD=2x. 作 GM⊥ AD,交 AD于點 M,則四邊形 ABGM是矩形 ,GM=GFsin 60176。=? x,MF=GFcos 60176。=x, 3∴ AD=AM+MF+FD=BG+MF+FD=4x, ∵ ADGM=4? ,∴ 4x? x=4? , 解得 x=1或 x=1(不符合題意 ,舍去 ),∴ EF=2x=2,故選 C. 3 3 33.(2022重慶 ,2,4分 )下列圖形中是軸對稱圖形的是 ? ( ) ? 答案 D 根據(jù)軸對稱圖形的概念 :如果一個圖形沿一條直線折疊 ,直線兩旁的部分能夠互相 重合 ,這個圖形叫做軸對稱圖形 ,知選項 D中的圖形是軸對稱圖形 ,符合題意 ,故選 D. 4.(2022新疆烏魯木齊 ,9,4分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,點 E在 AB上 ,把這個直角三角形沿 CE折疊后 , 使點 B恰好落到斜邊 AC的中點 O處 ,若 BC=3,則折痕 CE的長為 ? ( ) ? A.? ? ? 3 3 3答案 B 根據(jù)折疊可知 ,∠ BCE=∠ ACE,BC=CO=3,∵ O是斜邊 AC的中點 ,∴ AC=2CO=6.∴ BC =? AC,∴∠ A=30176。,∴∠ ACB=60176。,∴∠ BCE=30176。,在 Rt△ BCE中 ,CE=? =? =2? ,故 選 B. 12 c