【文章內(nèi)容簡介】 554.(2022山西 ,10,3分 )如圖 ,在網(wǎng)格中 ,小正方形的邊長均為 1,點 A,B,C都在格點上 ,則 ∠ ABC的正 切值是 ? ( ) ? B.? C.? D.? 255 55 12答案 D 如圖 ,連接 AC,由圖及勾股定理可得 AC=? ,AB=2? ,BC=? ,∵ AC2+AB2=(? )2+(2 ? )2=10=BC2, ∴ △ ABC是直角三角形 ,∠ CAB=90176。,∴ tan∠ ABC=? =? =? . ? 2 2 10 22ACAB 222125.(2022湖北荊門 ,11,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ BAC=90176。,AB=AC,點 D為邊 AC的中點 ,DE⊥ BC于 點 E,連接 BD,則 tan∠ DBC的值為 ? ( ) ? A.? B.? 1 ? D.? 132 314答案 A ∵ 在△ ABC中 ,∠ BAC=90176。,AB=AC,∴∠ ABC=∠ C=45176。,BC=? AC,又 ∵ 點 D為邊 AC 的中點 ,∴ AD=DC=? AC,∵ DE⊥ BC于點 E,∴∠ CDE=∠ C=45176。,∴ DE=EC=? DC=? AC,∴ tan ∠ DBC=? =? =? .故選 A. 212 22 24DEBE24224ACA C A C?136.(2022湖北鄂州 ,8,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=8,BC=12,點 E是 BC的中點 ,連接 AE,將△ ABE 沿 AE折疊 ,點 B落在點 F處 ,連接 FC,則 sin∠ ECF=? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 34 43 35 45答案 D 因為 E為 BC的中點 ,△ ABE沿 AE折疊 ,所以 BE=EF=EC,∠ AEF=∠ AEB,因為 EF=EC, 所以 ∠ EFC=∠ ECF,又因為 ∠ FEC+∠ EFC+∠ ECF=180176。,∠ FEC+∠ AEB+∠ AEF=180176。,所以 ∠ ECF=∠ AEB,即 sin∠ ECF=sin∠ AEB=? ,在 Rt△ ABE中 ,根據(jù)勾股定理得 AE=? = ? =10,所以 sin∠ ECF=? =? =? .故選 D. ABAE22AB BE?2286?ABAE 810457.(2022貴州貴陽 ,6,3分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,AC=12,BC=5,則 sin A的值為 ? ( ) A.? B.? C.? D.? 512 125 1213 513答案 D 因為在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,AC=12,BC=5,所以 AB=? =13,所以 sin A=? = ? ,故選 D. 22AC BC?BCAB5138.(2022甘肅定西 ,13,4分 )如圖 ,點 A(3,t)在第一象限 ,OA與 x軸所夾的銳角為 α,tan α=? ,則 t的值是 . ? 32解析 過點 A作 AB⊥ x軸于 B, ∵ 點 A(3,t)在第一象限 , ∴ AB=t,OB=3, ∵ tan α=? =? =? ,∴ t=? . ? ABOB3t 32 92答案 ? 92思路分析 過點 A作 AB⊥ x軸于 B,根據(jù)正切等于對邊比鄰邊列式求解即可 . 評析 本題考查了銳角三角函數(shù)的定義 ,過點 A作 x軸的垂線 ,構造出直角三角形是利用正切列 式的關鍵 ,需要熟記正切 =對邊 ∶ 鄰邊 . 考點二 解直角三角形 1.(2022廣西南寧 ,11,3分 )如圖 ,一艘海輪位于燈塔 P的南偏東 45176。方向 ,距離燈塔 60 n mile的 A 處 ,它沿正北方向航行一段時間后 ,到達位于燈塔 P的北偏東 30176。方向上的 B處 ,這時 ,B處與燈塔 P的距離為 ? ( ) ? ? n mile ? n mile ? n mile ? n mile 3 23 2答案 B 過點 P作 PC⊥ AB交 AB于點 ∠ APC=90176。45176。=45176。,∠ BPC=90176。30176。=60176。,AP =60 n mile,∴ PC=30? n mile,∴ PB=2PC=60? n mile. 2 22.(2022黑龍江哈爾濱 ,6,3分 )如圖 ,某飛機在空中 A處探測到它的正下方地平面上目標 C,此時飛 行高度 AC=1 200 m,從飛機上看地平面指揮臺 B的俯角 α=30176。,則飛機所在 A處與指揮臺 B的距 離為 ( ) ? 200 m 200? m 200? m 400 m 23答案 D 由 ∠ B=α=30176。,sin B=? 得 AB=? =1 2002=2 400 D. ACAB sin 30AC?3.(2022江蘇蘇州 ,10,3分 )如圖 ,在一筆直的海岸線 l上有 A、 B兩個觀測站 ,AB=2 km,從 A測得船 C 在北偏東 45176。的方向 ,從 B測得船 C在北偏東 176。的方向 ,則船 C離海岸線 l的距離 (即 CD的長 )為 ? ( ) ? km B.(2+? )km ? km D.(4? )km 22 2答案 B 由題圖可知 ,在 Rt△ ABE中 ,∠ AEB=45176。, ∴ AB=EB=2 km, ∴ AE=2? km, ∵∠ EBC=176。, ∴∠ ECB=∠ AEB∠ EBC=176。, ∴∠ EBC=∠ ECB, ∴ EB=EC=2 km, ∴ AC=AE+EC=(2? +2)km. 在 Rt△ ADC中 ,∠ CAD=45176。, ∴ AD=DC=(2+? )km. 即點 C到 l的距離為 (2+? )km,故選 B. 22224.(2022四川成都 ,18,8分 )由我國完全自主設計、自主建造的首艘國產(chǎn)航母于 2022年 5月成功 完成第一次海上試驗任務 .如圖 ,航母由西向東航行 ,到達 A處時 ,測得小島 C位于它的北偏東 70176。 方向 ,且與航母相距 80海里 ,再航行一段時間后到達 B處 ,測得小島 C位于它的北偏東 37176。方向 .如 果航母繼續(xù)航行至小島 C的正南方向的 D處 ,求還需航行的距離 BD的長 . ? (參考數(shù)據(jù) :sin 70176?！?,cos 70176?！?,tan 70176?！?,sin 37176?！?,cos 37176?！?,tan 37176?！? 5) 解析 由題可知 ∠ ACD=70176。,∠ BCD=37176。,AC=80. 在 Rt△ ACD中 ,cos∠ ACD=? , ∴ ≈ ? ,∴ CD≈ , 在 Rt△ BCD中 ,tan∠ BCD=? , ∴ ≈ ? ,∴ BD≈ . 答 :還需要航行的距離 BD的長為 . CDAC80CDBDCD2 7 . 2BD5.(2022云南昆明 ,19,7分 )小婷在放學路上 ,看到隧道上方有一塊宣傳“中國 ——南亞博覽會” 的豎直標語牌 CD,她在 A點測得標語牌頂端 D處的仰角為 42176。,測得隧道底端 B處的俯角為 30176。 (B,C,D在同一條直線上 ),AB=10 m,隧道高 m(即 BC= m),求標語牌 CD的長 (結果保留小數(shù) 點后一位 ). (參考數(shù)據(jù) :sin 42176?！?,cos 42176?！?,tan 42176?！?,? ≈ ) ? 3解析 如圖 ,過點 A作 AE⊥ BD于點 E,? (1分 ) ? 由題意得 ∠ DAE=42176。,∠ EAB=30176。, 在 Rt△ ABE中 ,∠ AEB=90176。,AB=10,∠ EAB=30176。, ∴ BE=? AB=? 10=5.? (2分 ) ∵ cos∠ EAB=? , ∴ AE=ABcos 30176。=10? =5? .? (4分 ) 在 Rt△ DEA中 ,∠ DEA=90176。,∠ DAE=42176。, ∵ tan∠ DAE=? , 12 12AEAB323DEAE∴ DE=AEtan 42176?！?5? =? ,? (5分 ) ∴ CD=BE+EDBC=5+? ≈ (m).? (6分 ) 答 :標語牌 CD的長約為 m.? (7分 ) 3 932932思路分析 作 AE⊥ BD于點 E,構造直角△ DEA和直角△ ABE,解直角△ DEA和直角△ ABE,求得 BE,DE的長 ,進而可求出 CD的長度 . 方法總結 解直角三角形的應用問題時 ,一般根據(jù)題意抽象地畫出幾何圖形 ,結合所給的線段 或角 ,借助邊角關系、銳角三角函數(shù)的定義解題 ,若幾何圖形中無直角三角形 ,則需要根據(jù)條件 構造直角三角形 ,再解直角三角形 ,求出實際問題的答案 . 6.(2022山東青島 ,19,6分 )某區(qū)域平面示意圖如圖 ,點 O在河的一側 ,AC和 BC表示兩條互相垂直 的公路 .甲勘測員在 A處測得點 O位于北偏東 45176。,乙勘測員在 B處測得點 O位于南偏西 176。,測 得 AC=840 m,BC=500 O到 BC的距離 . ? ? 24 7 24: , , 25 7???? ?? ??????參考數(shù)據(jù)解析 如圖 ,作 OM⊥ BC于 M,ON⊥ AC于 N,則四邊形 ONCM為矩形 , ∴ ON=MC,OM= OM=x m, 則 NC=x m,AN=(840x)m. 在 Rt△ ANO中 ,∠ OAN=45176。, ∴ ON=AN=(840x)m, 則 MC=ON=(840x)m, 在 Rt△ BOM中 ,BM=? ≈ ? x m, 由題意得 840x+? x=500,解得 x=480. 答 :點 O到 BC的距離為 480 m. tanOMOBM? 7247247.(2022甘肅蘭州 ,23,7分 )如圖 ,斜坡 BE,坡頂 B到水平地面的距離 AB為 3米 ,坡底 AE為 18米 ,在 B 處 ,E處分別測得 CD頂部點 D的仰角為 30176。,60176。,求 CD的高度 .(結果保留根號 ) ? 解析 過點 B作 BF⊥ CD,垂足為點 F. ? ∵ AB⊥ AC,CD⊥ AC, ∴ 四邊形 ABFC為矩形 , ∴ AB=CF=3,AC=BF. 在 Rt△ CDE中 ,tan 60176。=? , ∴ CE=? , ∴ BF=AC=18+? . CDCE3CD3CD在 Rt△ BDF中 ,tan 30176。=? , ∴ ? =? , 解得 CD=? . 答 :CD的高度為 ? 米 . DFBF318 3CDCD??339932???????9932???????思路分析 過點 B作 BF⊥ CD,先確定四邊形 ABFC為矩形 ,在 Rt△ CDE中 ,用含 CD的式子表示 CE,進而得出 BF=AC=18+CE,然后在 Rt△ BDF中利用 30176。角的正切列出含有 CD的等式求出 CD 的值 . 方法指導 求角的三角函數(shù)值或者是求線段的長時 ,我們經(jīng)常通過觀察圖形將所求的角或者 線段轉化到直角三角形中 (如果沒有直角三角形 ,設法構造直角三角形 ),再利用銳角三角函數(shù) 求出它們的解 . 8.(2022江蘇南京 ,23,8分 )如圖 ,為了測量建筑物 AB的高度 ,在 D處樹立標桿 CD,標桿的高是 2 m, 在 DB上選取觀測點 E、 F,從 E測得標桿和建筑物的頂部 C、 A的仰角分別為 58176。、 45176。,從 F測得 C、 A的仰角分別為 22176。、 70176。.求建筑物 AB的高度 (精確到 m). (參考數(shù)據(jù) :tan 22176?！?,tan 58176?！?,tan 70176。≈ ) ? 解析 在 Rt△ CED中 ,∠ CED=58176。, ∵ tan 58176。=? , ∴ DE=? =? . 在 Rt△ CFD中 ,∠ CFD=22176。, ∵ tan 22176。=? ,∴ DF=? =? , ∴ EF=DFDE=? ? . 同理 ,EF=BEBF=? ? . ∴ ? ? =? ? , 解得 AB≈ (m). 因此 ,建筑物 AB的高度約為 m.? (8分 ) CDDEtan 58CD? 2tan 58?CDDF tan 22CD? 2tan 22?2tan 22? 2tan 58?tan 45AB? tan 70AB?tan 45AB? tan 70AB? 2tan 22? 2tan 58?思路分析 在△ CED中 ,得出 DE,在△ CFD中 ,得出 DF,進而得出 ,在△ ABE中 ,利用 AB表 示出 BE,在△ ABF中 ,利用 AB表示出 BF,進而表示出 EF,列出方程并求解 ,即可得出建筑物 AB的 高度 . 解題關鍵 本題考查解直角三角形 ,解題的關鍵是明確題意 ,利用數(shù)形結合的思想解答問題 . 9.(2022天津 ,22,10分 )如圖 ,甲、乙兩座建筑物的水平距離 BC為 78 m,從甲的頂部 A處測得乙的 頂部 D處的俯角為 48176。,測得底部 C處的俯角為 58176。,求甲、乙建筑物的高度 AB和 DC(結果取整 數(shù) ). 參考數(shù)據(jù) :tan 48176。≈ ,tan 58176