【正文】 ) ? 3解析 作 BE⊥ CD于點 E,則 CE=AB=12. 在 Rt△ BCE中 ,BE=? =? =12? .? (3分 ) 在 Rt△ BDE中 ,DE=BEtan∠ DBE=12? tan 45176。=12? .? (6分 ) ∴ CD=CE+DE=12+12? ≈ . ∴ 樓房 CD的高度約為 .? (8分 ) ? tanCECBE? 12ta n 3 0? 33 3317.(2022天津 ,24,10分 )將一個直角三角形紙片 ABO放置在平面直角坐標(biāo)系中 ,點 A(? ,0),點 B (0,1),點 O(0,0).過邊 OA上的動點 M(點 M不與點 O,A重合 )作 MN⊥ AB于點 N,沿著 MN折疊該紙片 , 得頂點 A的對應(yīng)點 A39。.設(shè) OM=m,折疊后的△ A39。MN與四邊形 OMNB重疊部分的面積為 S. (1)如圖① ,當(dāng)點 A39。與頂點 B重合時 ,求點 M的坐標(biāo) 。 (2)如圖② ,當(dāng)點 A39。落在第二象限時 ,A39。M與 OB相交于點 C,試用含 m的式子表示 S。 (3)當(dāng) S=? 時 ,求點 M的坐標(biāo) (直接寫出結(jié)果即可 ). ? 3324解析 (1)在 Rt△ ABO中 ,點 A(? ,0),點 B(0,1), 點 O(0,0),∴ OA=? ,OB=1. 由 OM=m,得 AM=OAOM=? m. 根據(jù)題意 ,由折疊可知△ BMN≌ △ AMN, 有 BM=AM=? m. 在 Rt△ MOB中 ,由勾股定理得 ,BM2=OB2+OM2, 得 (? m)2=1+m2, 解得 m=? . ∴ 點 M的坐標(biāo)為 ? . (2)在 Rt△ ABO中 ,tan∠ OAB=? =? =? , ∴∠ OAB=30176。. 由 MN⊥ AB,得 ∠ MNA=90176。. ∴ 在 Rt△ AMN中 ,得 MN=AMsin∠ OAB=? (? m), 33333333 ,03??????OBOA1333123AN=AMcos∠ OAB=? (? m). ∴ S△ AMN=? MNAN=? (? m)2. 由折疊可知△ A39。MN≌ △ AMN,有 ∠ A39。=∠ OAB=30176。, ∴∠ A39。MO=∠ A39。+∠ OAB=60176。. ∴ 在 Rt△ COM中 ,CO=OMtan∠ A39。MO=? m. ∴ S△ COM=? OMCO=? m2. 又 S△ ABO=? OAOB=? , 于是 ,S=S△ ABOS△ AMNS△ COM=? ? (? m)2? m2, 即 S=? m2+? m+? ? . (3)? . 32312 383312 3212 3232 38332538 3438 30 3m????????23,03??????評析 本題考查圖形的折疊與解直角三角形 ,有一定難度 . 18.(2022江西 ,21,8分 )圖 1中的中國結(jié)掛件是由四個相同的菱形在頂點處依次串接而成 ,每相鄰 兩個菱形均成 30176。的夾角 ,示意圖如圖 2所示 .在圖 2中 ,每個菱形的邊長為 10 cm,銳角為 60176。. (1)連接 CD,EB,猜想它們的位置關(guān)系并加以證明 。 (2)求 A,B兩點之間的距離 (結(jié)果取整數(shù) ,可以使用計算器 ). (參考數(shù)據(jù) :? ≈ ,? ≈ ,? ≈ ) ? 2 3 6解析 (1)CD∥ EB.? (1分 ) 證明 :連接 AC,DE. ∵ 四邊形 AGCH是菱形 ,且 ∠ GCH=60176。, ∴∠ 1=? ∠ GCH=30176。. 同理 ,∠ 2=30176。. ∴∠ ACD=90176。.? (2分 ) 同理可得 ∠ CDE=∠ DEB=90176。.∴ CD∥ EB.? (3分 ) (2)解法一 : 連接 AD,BD,AC,CD,DE,BE. 由 (1)知 ∠ ACD=90176。. ∵ CA=CD,∴∠ CDA=∠ CAD=45176。. 12同理 ,∠ EDB=∠ EBD=45176。, 又由 (1)知 ∠ CDE=90176。. ∴∠ CDA+∠ CDE+∠ EDB=180176。, 即點 A,D,B在同一直線上 .? (4分 ) 連接 GH交 AC于點 M. 由菱形的性質(zhì)可知 ∠ CMH=90176。,CM=? AC. 12在 Rt△ CMH中 ,CM=CHcos∠ 1=10cos 30176。=5? , ∴ CD=AC=2CM=10? .? (6分 ) ∴ 在 Rt△ ACD中 ,AD=? =10? .? (7分 ) 同理 ,BD=10? . ∴ AB=AD+DB=20? ≈ 20=49. 答 :A,B兩點之間的距離約為 49 cm.? (8分 ) 解法二 :連接 CD,DE,AB,延長 AC交 BE的延長線于點 F. 3322AC CD? 666由 (1)知 ∠ ACD=∠ CDE=∠ DEB=90176。, ∴ 四邊形 CDEF是矩形 . ∵ 四個菱形全等 , ∴ AC=CD=DE=EB. ∴ 四邊形 CDEF是正方形 .? (4分 ) ∴ CF=FE=CD且 ∠ F=90176。. ∴ AF=BF=2AC.? (5分 ) 在菱形 AGCH中 ,連接 GH交 AC于點 M, ∴ AC⊥ GH. 在 Rt△ CMH中 ,CM=CHcos∠ 1=10cos 30176。=5? ,? (6分 ) ∴ AC=2CM=10? , AF=BF=2AC=20? .? (7分 ) ∴ 在 Rt△ AFB中 ,AB=? =20? ≈ 20=49. 答 :A,B兩點之間的距離約為 49 cm.? (8分 ) 33322AF BF? 619.(2022廣東 ,20,7分 )如圖 ,某數(shù)學(xué)興趣小組想測量一棵樹 CD的高度 .他們先在點 A處測得樹頂 C的仰角為 30176。,然后沿 AD方向前行 10 m,到達 B點 ,在 B處測得樹頂 C的仰角為 60176。(A、 B、 D三點 在同一直線上 ).請你根據(jù)他們的測量數(shù)據(jù)計算這棵樹 CD的高度 (結(jié)果精確到 m).(參考數(shù)據(jù) : ? ≈ ,? ≈ ) ? 2 3解析 ∵∠ CAB=30176。,∠ CBD=60176。, ∴∠ ACB=60176。30176。=30176。,∴∠ CAB=∠ ACB, ∴ BC=AB=10.? (3分 ) 在 Rt△ CBD中 ,sin 60176。=? , ∴ CD=BCsin 60176。=10? =5? ≈ (m). 答 :這棵樹高約 m.? (7分 ) CDBC32320.(2022浙江紹興 ,21,10分 )九 (1)班同學(xué)在上學(xué)期的社會實踐活動中 ,對學(xué)校旁邊的山坡護墻 和旗桿進行了測量 . (1)如圖 1,第一小組用一根木條 CD斜靠在護墻上 ,使得 DB與 CB的長度相等 ,如果測量得到 ∠ CDB=38176。,求護墻與地面的傾斜角 α的度數(shù) 。 (2)如圖 2,第二小組用皮尺量得 EF為 16米 (E為護墻上的端點 ),EF的中點離地面 FB的高度為 米 ,請你求出 E點離地面 FB的高度 。 (3)如圖 3,第三小組利用第一、二小組的結(jié)果 ,來測量護墻上旗桿的高度 .在點 P測得旗桿頂端 A 的仰角為 45176。,向前走 4米到達 Q點 ,測得 A的仰角為 60176。,求旗桿 AE的高度 (精確到 ). 備用數(shù)據(jù) :tan 60176?！?,tan 30176?！?,? ≈ ,? ≈ . ? 3 2解析 (1)α=76176。. (2)過點 E作 EG⊥ FB,垂足為 G, 過 EF的中點 O作 OH⊥ FB,垂足為 H,如圖 , ? ∵ OH=,∴ EG=2OH=, ∴ E點的高度為 . (3)延長 AE交直線 PB于 G,如圖 ,設(shè) AG=x, 在 Rt△ QAG中 ,tan∠ AQG=? ,得 QG=? x, AGQG 33在 Rt△ PAG中 ,tan∠ APG=? ,得 PG=x. ∵ PQ+QG=PG,∴ 4+? x=x,解得 x≈ , ∴ AE≈ ,∴ 旗桿 AE的高度約是 . AGPG3321.(2022山東青島 ,20,8分 )如圖 ,小明想測山高和索道的長度 .他在 B處仰望山頂 A,測得仰角 ∠ B =31176。,再往山的方向 (水平方向 )前進 80 m至索道口 C處 ,沿索道方向仰望山頂 ,測得仰角 ∠ ACE= 39176。. (1)求這座山的高度 (小明的身高忽略不計 )。 (2)求索道 AC的長 (結(jié)果精確到 m). ? 參考數(shù)據(jù) :tan 31176?！?? ,sin 31176?！?? ,tan 39176?！?? , sin 39176?！?? ? ? 35 12 911711解析 (1)過點 A作 AD⊥ BE于 D, 設(shè)山 AD的高度為 x m. 在 Rt△ ABD中 ,∠ ADB=90176。,tan 31176。=? , ∴ BD=? ≈ ? =? x m. 在 Rt△ ACD中 ,∠ ADC=90176。,tan 39176。=? , ADBDta n 3 1AD?35x53ADCD∴ CD=? ≈ ? =? x m. ∵ BC=BDCD, ∴ ? x? x=80, 解這個方程 ,得 x=180. 即山的高度為 180 m.? (6分 ) (2)在 Rt△ ACD中 ,∠ ADC=90176。,sin 39176。=? , ∴ AC=? ≈ ? ≈ (m). 答 :索道 AC的長約為 m.? (8分 ) ta n 3 9AD?911x11953 119ADACsin 3 9AD? 180711評析 本題是解直角三角形的典型題目 .由一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形 ,并利用三角函數(shù)進 行運算 ,關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以解決 . 22.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,18,6分 )如圖 ,一艘海輪位于燈塔 P的北偏東 65176。方向 ,距離燈塔 80海里 的 A處 ,它沿正南方向航行一段時間后 ,到達位于燈塔 P的南偏東 45176。方向上的 B處 ,這時 ,海輪所 在的 B處距離燈塔 P有多遠 ?(結(jié)果用非特殊角的三角函數(shù)及根式表示即可 ) ? 解析 過點 P作 PD⊥ AB于 D,? (1分 ) 由題意知 ∠ DPB=∠ PBD=45176。, 在 Rt△ PBD中 ,sin B=sin 45176。=? , ∴ PB=? PD.? (2分 ) ∵ 點 A在 P的北偏東 65176。方向上 , ∴∠ APD=25176。. 在 Rt△ PAD中 , cos∠ APD=cos 25176。=? , ∴ PD=PA cos 25176。=80cos 25176。,? (5分 ) ∴ PB=80? cos 25176。(海里 ).? (6分 ) PDPB2PDPA2解題關(guān)鍵 作垂線構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵 . 23.(2022甘肅蘭州 ,24,8分 )如圖 ,在電線桿上的 C處引拉線 CE,CF固定電線桿 .拉線 CE和地面成 6 0176。角 ,在離電線桿 6米處安置測角儀 AB,在 A處測得電線桿上 C處的仰角為 30176。.已知測角儀 AB的 高為 ,求拉線 CE的長 .(結(jié)果保留根號 ) ? 解析 過點 A作 AM⊥ CD,垂足為 M.? (1分 ) ∴ AM=BD=6,AB=MD=.? (2分 ) 在 Rt△ ACM中 ,tan 30176。=? , ∴ CM=AMtan 30176。=6? =2? .? (4分 ) ∴ CD=CM+MD=2? +.? (5分 ) 在 Rt△ CED中 ,sin 60176。=? ,即 ? =? , ∴ CE=? =(4+? )米 .? (6分 ) CMAM3333CDCE 32 2 3 1 .5CE?4 3 33? 3答 :拉線 CE的長為 (4+? )米 .? (8分 ) 3評析 本題要求學(xué)生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形 ,并結(jié)合圖形利用特殊角的三角函數(shù)值解 直角三角形 ,屬中等難度題 . 24.(2022山西 ,21,7分 )如圖 ,點 A,B,C表示某旅游景區(qū)三個纜車站的位置 ,線段 AB,BC表示連接纜 車站的鋼纜 ,已知 A,B,C三點在同一鉛直平面內(nèi) ,它們的海拔高度 AA39。,BB39。,CC39。分別為 110米 ,310 米 ,710米 ,鋼纜 AB的坡度 i1=1∶ 2,鋼纜 BC的坡度 i2=1∶ 1,景區(qū)因改造纜車線路 ,需要從 A到 C直線 架設(shè)一條鋼纜 ,那么鋼纜 AC的長度是多少米 ?(注 :坡度 i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比 ) ? 解析 如圖 ,過點 A作 AE⊥ CC39。于點 E,交 BB39。于點 F,過點 B作 BD⊥ CC39。于點 D.? (1分 ) ? 則△ AFB,△ BDC和△ AEC都是直角三角形 ,四邊形 AA39。B39。F,BB39。C39。D和 BFED都是矩形 .? (2分 ) ∴ BF=BB39。FB39。=BB39。AA39。=310110=200, CD=CC39。DC39。=CC39。BB39。=710310=400.? (3分 ) ∵ i1=1∶ 2,i2=1∶ 1,∴ AF=2BF=400,BD=CD=400. 又 ∵ FE=BD=400,DE=BF=200, ∴ AE=AF+FE=800,CE=CD+DE=600.? (5分 ) ∴ 在 Rt△ AEC中 ,AC=? =? =1 0