【正文】 , ∴∠ 1+∠ 3=90176。. ∵ 四邊形 CEFG為正方形 ,∴ EC=EF,∠ CEF=90176。. ∴∠ 1+∠ 2=90176。,∴∠ 2=∠ 3. ∴ △ ENF≌ △ CBE.? (10分 ) ∴ NF=BE,NE=BC. ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AD=BC. ∵ AD=2AB,BE=AB,∴ 設(shè) BE=a,則 BC=EN=2a,NF=a. ∴ BF=? =?= ? a, CE=? =?= ? a, CF=? =? CE=? a.? (11分 ) ∴ BF=CF. ∴ 點 F在 BC邊的垂直平分線上 .? (12分 ) 22BN FN?(3 )aa?10C BE25CE EF213.(2022北京 ,22,5分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,BD為一條對角線 ,AD∥ BC,AD=2BC,∠ ABD=90176。, E為 AD的中點 ,連接 BE. (1)求證 :四邊形 BCDE為菱形 。 (2)連接 AC,若 AC平分 ∠ BAD,BC=1,求 AC的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ E為 AD的中點 , ∴ AD=2ED.∵ AD=2BC,∴ ED=BC. ∵ AD∥ BC,∴ 四邊形 BCDE為平行四邊形 . 又 ∵ 在△ ABD中 ,E為 AD的中點 ,∠ ABD=90176。, ∴ BE=ED,∴ ?BCDE為菱形 . (2)設(shè) AC與 BE交于點 H,如圖 . ∵ AD∥ BC,∴∠ DAC=∠ ACB. ∵ AC平分 ∠ BAD,∴∠ BAC=∠ DAC, ∴∠ BAC=∠ ACB,∴ BA=BC, 由 (1)可知 ,BE=AE=BC, ∴ AB=BE=AE,∴ △ ABE為等邊三角形 , ∴∠ BAC=30176。,AC⊥ BE,∴ AH=CH. 在 Rt△ ABH中 ,AH=ABcos∠ BAH=? , 32∴ AC=2AH=? . 314.(2022江蘇鹽城 ,22,10分 )如圖 ,矩形 ABCD中 ,∠ ABD、 ∠ CDB的平分線 BE、 DF分別交邊 AD、 BC于點 E、 F. (1)求證 :四邊形 BEDF是平行四邊形 。 (2)當 ∠ ABE為多少度時 ,四邊形 BEDF是菱形 ?請說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴ AB∥ DC,AD∥ BC, ∴∠ ABD=∠ CDB, ∵ BE平分 ∠ ABD,DF平分 ∠ BDC, ∴∠ EBD=? ∠ ABD,∠ FDB=? ∠ CDB, ∴∠ EBD=∠ FDB, 12 12∴ BE∥ DF, 又 ∵ AD∥ BC, ∴ 四邊形 BEDF是平行四邊形 . (2)當 ∠ ABE=30176。時 ,四邊形 BEDF是菱形 . 理由如下 :∵ BE平分 ∠ ABD, ∴∠ ABD=2∠ ABE=60176。,∠ EBD=∠ ABE=30176。, ∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴∠ A=90176。, ∴∠ EDB=90176?！?ABD=30176。, ∴∠ EDB=∠ EBD=30176。, ∴ EB=ED, 又 ∵ 四邊形 BEDF是平行四邊形 , ∴ 四邊形 BEDF是菱形 . 考點三 正方形 1.(2022天津 ,11,3分 )如圖 ,在正方形 ABCD中 ,E,F分別為 AD,BC的中點 ,P為對角線 BD上的一個 動點 ,則下列線段的長等于 AP+EP最小值的是 ? ( ) ? 答案 D 在正方形 ABCD中 ,連接 CE、 PC. ? ∵ 點 A與點 C關(guān)于直線 BD對稱 , ∴ AP=CP, ∴ AP+EP的最小值為 EC. ∵ E,F分別為 AD,BC的中點 , ∴ DE=BF=? AD. ∵ AB=CD,∠ ABF=∠ ADC=90176。, ∴ △ ABF≌ △ CDE. ∴ AF=CE. 故選 D. 12思路分析 點 A關(guān)于直線 BD的對稱點為點 C,連接 CE,AP+EP的最小值就是線段 CE的長度 。通 過證明△ CDE≌ △ ABF,得 CE=AF,即可得到 PA +PE的最小值等于線段 AF的長 . 解后反思 本題考查軸對稱 ,正方形的性質(zhì) ,主要依據(jù)“兩點之間線段最短” .只要作出點 A(或 點 E)關(guān)于直線 BD的對稱點 C(或 G),再連接 EC(或 AG),所得的線段長為兩條線段和的最小值 . 2.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,9,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD是邊長為 1的正方形 ,E,F為 BD所在直線上的 兩點 .若 AE=? ,∠ EAF=135176。,則以下結(jié)論正確的是 ? ( ) ? =1 ∠ AFO=? =? AFCE的面積為 ? 51310294答案 C ∵ 四邊形 ABCD是邊長為 1的正方形 ,∴ 對角線 AC、 BD互相垂直平分且相等 ,∴ AO =OD=? ,在 Rt△ AOE中 ,OE=? =? ,∴ DE=OEOD=? ,∴ A選項錯誤 。易知 ∠ ADO= 45176。,∴∠ ADE=135176。,∴∠ ADE=∠ EAF,又 ∠ AED=∠ FEA,∴ △ DAE∽ △ AFE,∴ ? =? =? = ? ,∴ AF=? ,∴ C選項正確 。在 Rt△ AOF中 ,OF=? =? , ∴ tan∠ AFO=? =? ,∴ B選項錯誤 ?！?EF=OF+OE=? , ∴ 四邊形 AFCE的面積 =? EFAC=? ? ? =? , ∴ D選項錯誤 .故選 C. 22 22E AO?3222DEAEADAFFE25102 AF AO?2AO12 52212 12 22523.(2022湖北十堰 ,10,3分 )如圖 ,正方形 ABCD的邊長為 6,點 E,F分別在 AB,AD上 ,若 CE=3? ,且 ∠ ECF=45176。,則 CF的長為 ? ( ) ? ? ? C.? D.? 51055 1 031 0 53答案 A 如圖 ,延長 AB至 F39。,使 BF39。=DF,連接 CF39。、 EF. 在 Rt△ CDF和 Rt△ CBF39。中 ,∵ CD=CB,∠ D=∠ CBF39。,DF=BF39。,∴ Rt△ CDF≌ Rt△ CBF39。.∴ CF=CF39。, ∠ DCF=∠ BCF39。. ∴∠ ECF=∠ ECF39。=45176。.在△ ECF和△ ECF39。中 , ∵ CF=CF39。,∠ ECF=∠ ECF39。,CE=CE,∴ △ ECF≌ △ ECF39。. ∴ EF=EF39。. ∵ CE=3? ,BC=6,∴ BE=? =? =3. ∴ AE= DF=BF39。=x,則 AF=6x,EF=EF39。=3+x, ∵ 在 Rt△ AEF中 ,AF2+AE2=EF2, ∴ (6x)2+32=(3+x)2,解得 x=2. ∴ CF=? =? =2? .故選 A. 5 22E BC?22(3 5) 6?DF CD?2226?104.(2022湖北武漢 ,14,3分 )以正方形 ABCD的邊 AD作等邊△ ADE,則 ∠ BEC的度數(shù)是 . 答案 30176?；?150176。 解析 ①當點 E在正方形 ABCD外時 ,如圖 , ? ∵ 四邊形 ABCD為正方形 ,△ ADE為等邊三角形 , ∴ AB=AD=AE,∠ BAD=90176。,∠ AED=∠ DAE=60176。, ∴∠ BAE=150176。,∴∠ AEB=∠ ABE=15176。, 同理可得 ∠ DCE=∠ DEC=15176。, 則 ∠ BEC=∠ AED∠ AEB∠ DEC=30176。. ②當點 E在正方形 ABCD內(nèi)時 ,如圖 , ? ∵ 四邊形 ABCD為正方形 ,△ ADE為等邊三角形 , ∴ AB=AD=AE,∠ BAD=90176。,∠ AED=∠ DAE=60176。, ∴∠ BAE=30176。,∴∠ AEB=∠ ABE=75176。, 同理可得 ∠ DCE=∠ DEC=75176。, 則 ∠ BEC=360176?！?AED∠ AEB∠ DEC=150176。. 綜上 ,∠ BEC=30176?；?150176。. 解題關(guān)鍵 熟記正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)并準確作圖是解題的關(guān)鍵 . 易錯警示 此題沒有給出圖形 ,需按點 E的位置分類討論 ,學生往往只畫出點 E在正方形外而導 致漏解 . 5.(2022山西 ,12,3分 )圖 1是我國古代建筑中的一種窗格 ,其中冰裂紋圖案象征著堅冰出現(xiàn)裂紋 并開始消溶 ,形狀無一定規(guī)則 ,代表一種自然和諧美 .圖 2是從圖 1冰裂紋窗格圖案中提取的由五 條線段組成的圖形 ,則 ∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5= 度 . ? 圖 1 ? 圖 2 答案 360 解析 ∵ 任意 n(n≥ 3)邊形的外角和為 360176。,圖中五條線段組成五邊形 ,∴ 208。1+208。2+208。3+208。4+208。5= 360176。. 6.(2022陜西 ,19,7分 )如圖 ,在正方形 ABCD中 ,E、 F分別為邊 AD和 CD上的點 ,且 AE=CF,連接 AF、 CE交于點 :AG=CG. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴∠ ADF=∠ CDE=90176。,AD=CD. ∵ AE=CF,∴ DE=DF. ∴ △ ADF≌ △ CDE.∴∠ DAF=∠ DCE. 又 ∵∠ AGE=∠ CGF,AE=CF, ∴ △ AGE≌ △ CGF,∴ AG=CG. C組 教師專用題組 考點一 矩形 1.(2022湖南懷化 ,9,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,對角線 AC,BD相交于點 O,∠ AOB=60176。,AC=6 cm, 則 AB的長是 ? ( ) ? cm cm cm cm 答案 A ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,AC=6 cm,∴ OA=OC=OB=OD=3 cm,∵∠ AOB=60176。,∴ △ AOB 是等邊三角形 ,∴ AB=OA=3 A. 2.(2022黑龍江龍東地區(qū) ,18,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AD=4,∠ DAC=30176。,點 P、 E分別在 AC、 AD上 ,則 PE+PD的最小值是 ? ( ) ? ? D.? 3833答案 B 作點 D關(guān)于 AC的對稱點 F,作 FE39?！?AD于點 E39。,交 AC于點 P39。,連接 AF,EF,PF,DP39。,則 AD =AF,∠ DAC=∠ FAC=30176。,∴∠ FAD=60176。,∵ AD=4,∴ AF=AD=4,∴ E39。F=AFsin∠ FAE39。=4sin 60176。 =2? .由作圖可知 :E39。F≤ EF(垂線段最短 ),且 EF≤ PE+PF(兩點之間線段最短 ),∴ E39。F≤ EF≤ PE +PF,又 ∵ E39。F=E39。P39。+P39。F=E39。P39。+P39。D,PE+PF=PE+PD,∴ E39。P39。+P39。D≤ PE+PD,當此不等式取等號時 , PE+PD最小 ,∴ PE+PD的最小值為 2? . ? 33.(2022遼寧葫蘆島 ,9,3分 )如圖 ,將矩形紙片 ABCD沿直線 EF折疊 ,使點 C落在 AD邊的中點 C39。處 , 點 B落在點 B39。處 ,其中 AB=9,BC=6,則 FC39。的長為 ? ( ) ? A.? 103答案 D 設(shè) FC=FC39。=x,由題知 FD=9x, ∵ BC=6,四邊形 ABCD為矩形 ,∴∠ D=90176。,AD=BC=6, 又 ∵ 點 C39。為 AD的中點 , ∴ C39。D=? AD=3. 在 Rt△ FC39。D中 , 根據(jù)勾股定理 ,得 FC39。2=FD2+C39。D2,即 x2=(9x)2+32, 解得 x= FC39。的長為 5. 124.(2022四川綿陽 ,9,3分 )如圖 ,矩形 ABCD的對角線 AC與 BD交于點 O,過點 O作 BD的垂線分別交 AD,BC于 E,F兩點 .若 AC=2? ,∠ AEO=120176。,則 FC的長度為 ? ( ) ? C.? D.? 323答案 A ∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴ OA=OB=OC=? AC=? . ∵ AD∥ BC,∴∠ OFC=∠ AEO=120176。,∴∠ BFO=60176。. ∵ EF⊥ BD,∴∠ BOF=90176。,∴∠ OBF=∠ OCB=30176。, ∴∠ COF=∠ BFO∠ OCB=30176。,∴ OF=FC. ∵ OF=OBtan 30176。=1,∴ FC=1, 故選 A. 12 35.(2022甘肅天水 ,14,4分 )如圖 ,矩形 ABCD,∠ DAC=65176。,點 E是 CD上一點 ,BE交 AC于點 F,將△ BCE沿