【正文】 ∠ CAD=∠ BAD=? ∠ BAC=30176。, ∵ 在△ ADE中 ,∠ AED=90176。,∠ EAD=30176。, ∴ AD=2DE=2, ∵ 在△ ADC中 ,∠ C=90176。, ∴ AC=? =? , ∵ 在△ ABC中 ,∠ C=90176。,∠ B=90176?！?BAC=30176。, ∴ AB=2AC=2? . 1222AD CD? 335.(2022湖南永州模擬 ,15)如圖 ,已知△ ABC中 ,AB=AC,∠ C=30176。,AB⊥ AD,AD=4,則 BC= . ? 答案 12 解析 ∵ AB=AC,∠ C=30176。, ∴∠ B=30176。, 又 ∵ AB⊥ AD, ∴∠ ADB=60176。, ∴∠ DAC=30176。, ∴ AD=DC=4, 在 Rt△ ABD中 ,∠ B=30176。,AD=4, ∴ BD=8, ∴ BC=BD+DC=8+4=12. 一、選擇題 (每小題 3分 ,共 3分 ) B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時間 :15分鐘 分值 :25分 ) 1.(2022湖南長沙周南中學聯(lián)考 ,10)為增加綠化面積 ,某小區(qū)將原來正方形地磚更換為如圖所 示的正八邊形植草磚 ,更換后 ,圖中陰影部分為植草區(qū)域 ,設(shè)正八邊形與其內(nèi)部小正方形的邊長 都為 a,則陰影部分的面積為 ? ( ) ? 答案 A 如圖 ,由題可知 ,AB=a,且 ∠ CAB=∠ CBA=45176。, ∴ AC=BC=? a,∴ S△ ABC=? ? a? a=? , 又 ∵ 正八邊形中間是邊長為 a的正方形 , ∴ 陰影部分的面積為 a2+4? a2=2a2,故選 A. ? 22 1222 22 24a14二、填空題 (每小題 4分 ,共 4分 ) 2.(2022湖南邵陽五模 ,15)如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,E是 AD邊上的中點 .若 ∠ ABE=∠ EBC,AB =2,則平行四邊形 ABCD的周長是 . ? 答案 12 解析 ∵ AD∥ BC,∴∠ AEB=∠ EBC, ∵∠ ABE=∠ EBC,∴∠ ABE=∠ AEB,∴ AB=AE, ∵ E是 AD邊上的中點 , ∴ AD=2AB, ∵ AB=2,∴ AD=4, ∴ 平行四邊形 ABCD的周長 =2(4+2)=12. 3.(2022湖南新化模擬 ,25)已知 :如圖所示 ,△ ABC是邊長為 6 cm的等邊三角形 ,動點 P、 Q同時從 A、 B兩點出發(fā) ,分別在 AB、 BC邊上勻速移動 ,它們的速度分別為 vp=2 cm/s,vQ=1 cm/s,當點 P到 達點 B時 ,P、 Q兩點停止運動 ,設(shè)點 P的運動時間為 t s. (1)當 t何值時 ,△ PBQ為等邊三角形 ? (2)當 t何值時 ,△ PBQ為直角三角形 ? ? 三、解答題 (共 18分 ) 解析 由題意可知 AP=2t cm,BQ=t cm,則 BP=ABAP=(62t)cm,其中 0t≤ 3. (1)當△ PBQ為等邊三角形時 ,有 BP=BQ, 即 62t=t,解得 t=2,經(jīng)檢驗 ,符合題意 . ∴ 當 t=2 s時 ,△ PBQ為等邊三角形 . (2)當 PQ⊥ BQ時 ,△ PBQ為直角三角形 . ∵∠ B=60176。, ∴∠ BPQ=30176。, ∴ 在 Rt△ PBQ中 ,BP=2BQ, 即 62t=2t, 解得 t=,經(jīng)檢驗 ,符合題意 . 當 PQ⊥ BP時 ,同理可得 BQ=2BP, 即 t=2(62t),解得 t=,經(jīng)檢驗 ,符合題意 . 綜上可知當 t為 s或 s時 ,△ PBQ為直角三角形 . 解題關(guān)鍵 本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及判定和直角三角形的性質(zhì) ,利用 t表示出 BP和 BQ,化“動”為“靜”是解題的關(guān)鍵 . 4.(2022湖南新晃模擬 ,26)△ ABC的邊 BC在直線 l上 ,點 D、 E是直線 l上的兩點 ,且 BA=BD,CA= CE. (1)如圖 1,若 AB=AC,∠ BAC=90176。,求 ∠ DAE的度數(shù) 。 (2)如圖 2,若 ∠ BAC=90176。,求 ∠ DAE的度數(shù) 。 (3)如圖 3,設(shè) ∠ BAC=α,∠ DAE=β,請寫出 α,β之間的數(shù)量關(guān)系 ,并說明理由 . ? 解析 (1)∵ BA=BD,CA=CE, ∴∠ ADB=∠ DAB,∠ AEC=∠ CAE, ∵ AB=AC,∠ BAC=90176。,∴∠ ABC=∠ ACB=45176。, ∵∠ ACB=∠ AEC+∠ CAE=2∠ AEC,∠ ABC=∠ ADB+∠ DAB=2∠ ADB,∴∠ AEC=∠ ADB=? 45 176。=176。, ∴∠ DAE=180176?！?AEC∠ ADB=135176。. (2)∵∠ BAC=90176。,∴∠ ACB+∠ ABC=90176。, ∵ AB=BD,∴∠ BAD=∠ BDA, ∵ CA=CE,∴∠ AEC=∠ CAE, ∴∠ ACD=2∠ CAE,∴∠ ADB=∠ ACD+∠ DAC, ∵∠ BAD+∠ DAC=90176。,∴ 2∠ CAE+∠ DAC+∠ DAC=90176。, ∴∠ CAE+∠ DAC=45176。,∴∠ DAE=45176。. 12∴∠ BAD=∠ BDA=? , ∵ AC=CE,∴∠ AEC=∠ CAE=? , ∵∠ BAC+∠ DAE=α+β=∠ BAD+∠ CAE =? =? , ∴ β+? =90176。. 180 2 ABD???180 2 ACE???360 ( )2ABD ACE??? ??1802 α??2α(3)∵∠ BAC=α,∴∠ ABC+∠ ACB=180176。α, ∵ AB=BD, 解題關(guān)鍵 本題考查了等腰三角形的性質(zhì) ,直角三角形的性質(zhì) ,三角形內(nèi)角和定理 ,熟練掌握三 角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 . 思路分析 (1)由等腰三角形的性質(zhì)得到 ∠ ADB=∠ DAB,∠ AEC=∠ CAE,易知 ∠ ABC=∠ ACB= 45176。,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求得 ∠ AEC=∠ ADB=176。,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得 到結(jié)論 。 (2)由直角三角形的性質(zhì)得到 ∠ ACB+∠ ABC=90176。,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 ∠ BAD=∠ BDA, ∠ AEC=∠ CAE,于是得到 ∠ ACD=2∠ CAE,求得 ∠ ADB=∠ ACD+∠ DAC,由于 ∠ BAD+∠ DAC= 90176。,于是得到 2∠ CAE+∠ DAC+∠ DAC=90176。,進而求出 ∠ CAE+∠ DAC=45176。 (3)根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到 ∠ ABC+∠ ACB=180176。α,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 ∠ BAD=∠ BDA=? ,∠ AEC=∠ CAE=? ,由于 ∠ BAC+∠ DAE=α+β=∠ BAD+∠ CAE= ? =? ,于是得到結(jié)果 . 180 2 ABD??? 180 2 ACE???360 ( )2ABD ACE??? ??1802 α??5.(2022湖南湘西保靖模擬 ,23)已知 ,在△ ABC中 ,AB= A點的直線 a從與邊 AC重合的位置 開始繞點 A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角 θ,直線 a交 BC邊于點 P(點 P不與點 B、點 C重合 ),△ BMN的邊 MN始終在直線 a上 (點 M在點 N的上方 ),且 BM=BN,連接 CN. (1)當 ∠ BAC=∠ MBN=90176。時 , ① 如圖 a,當 θ=45176。時 ,∠ ANC的度數(shù)為 。 ② 如圖 b,當 θ≠ 45176。時 ,① 中的結(jié)論是否發(fā)生變化 ?說明理由 。 (2)如圖 c,當 ∠ BAC=∠ MBN≠ 90176。時 ,請直接寫出 ∠ ANC與 ∠ BAC之間的數(shù)量關(guān)系 ,不必證明 . ? 解析 (1)① ∵∠ BAC=90176。,θ=45176。, ∴ AP⊥ BC,BP=CP(等腰三角形三線合一 ), ∴ AP=BP(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 ), 又 ∵∠ MBN=90176。,BM=BN, ∴ AP=PN(等腰三角形三線合一 ), ∴ AP=PN=BP=PC,且 AN⊥ BC, ∴ 四邊形 ABNC是正方形 , ∴∠ ANC=45176。 ? ② 連接 CN,當 θ≠ 45176。時 ,① 中的結(jié)論不發(fā)生變化 . 理由如下 :∵∠ BAC=∠ MBN=90176。,AB=AC,BM=BN, ∴∠ ABC=∠ ACB=∠ BNP=45176。, 又 ∵∠ BPN=∠ APC, ∴ △ BNP∽ △ ACP,∴ ? =? , 又 ∵∠ APB=∠ CPN, ∴ △ ABP∽ △ CNP, ∴∠ ANC=∠ ABC=45176。. (2)∠ ANC=90176。? ∠ BAC. 理由如下 :∵∠ BAC=∠ MBN≠ 90176。,AB=AC,BM=BN, ∴∠ ABC=∠ ACB=∠ BNP=? (180176。∠ BAC), 又 ∵∠ BPN=∠ APC,∴ △ BNP∽ △ ACP, ∴ ? =? , 又 ∵∠ APB=∠ CPN,∴ △ ABP∽ △ CNP, ∴∠ ANC=∠ ABC, 在△ ABC中 ,∠ ABC=? (180176?！?BAC)=90176。? ∠ BAC. BPAP PNPC1212BPAP PNPC12 12∴∠ ANC=90176。? ∠ BAC. 12評析 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) ,等腰直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形三線合一的性質(zhì) .(1)② 與 (2)中 ,先根據(jù)兩角對應相等 ,兩三角形相似求出兩邊對應成比例 ,再根據(jù)兩邊對應成比例 ,夾 角相等得到另兩個相似三角形是解題的關(guān)鍵 . 6.(2022湖南衡陽三模 ,26)如圖甲 ,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,AC=4 cm,BC=3 P由點 B出 發(fā)沿 BA方向向點 A勻速運動 ,同時點 Q由點 A出發(fā)沿 AC方向向點 C勻速運動 ,它們的速度均為 1 cm/ PQ,設(shè)運動時間為 t(s)(0t4),解答下列問題 : (1)設(shè)△ APQ的面積為 S,當 t為何值時 ,S取得最大值 ?S的最大值是多少 ? (2)如圖乙 ,連接 PC,將△ PQC沿 QC翻折 ,得到四邊形 PQP39。C,當四邊形 PQP39。C為菱形時 ,求 t的值 。 (3)當 t為何值時 ,△ APQ是等腰三角形 ? ? 解析 (1)如圖 ,過點 P作 PH⊥ AC于 H, ? ∵∠ ACB=90176。,∴ AC⊥ BC,∴ PH∥ BC,∴ △ APH∽ △ ABC, ∴ ? =? ,∵ AC=4 cm,BC=3 cm,∴ AB=5 cm, ∴ ? =? ,∴ PH=? cm, ∴ △ AQP的面積 S=? AQPH=? t? =? ? +? , 又 0t4,∴ 當 t=? 時 ,S取得最大值 ,且最大值為 ? cm2. (2)如圖 ,連接 PP39。,設(shè) PP39。交 QC于 E, PHBC APAB3PH 5 5 t? 33 5 t???????12 12 33 5 t???????310252t???????15852 158? 當四邊形 PQP39。C為菱形時 ,PE垂直平分 QC,即 PE⊥ AC,QE=EC, 易證△ APE∽ △ ABC,∴ ? =? , ∴ AE=? =? =? t+4, ∴ QE=AEAQ=? t+4t=? t+4, 又 QE=? QC=? (4t)=? t+2, ∴ ? t+4=? t+2,解得 t=? , ∵ 0? 4,∴ 當四邊形 PQP39。C為菱形時 ,t的值是 ? . (3)由 (1)易知 ,PE=? t+3, AEAC APABAP ACAB? (5 ) 45t??4545 9512 12 1295 12 20222022 202235與 (2)同理得 ,QE=AEAQ=? t+4, ∴ PQ=? =? =? , 在△ AQP中 ,① 當 AQ=AP,即 t=5t時 ,解得 t1=? 。 ② 當 PQ=AQ,即 ? =t時 ,解得 t2=? ,t3=5。 ③ 當 PQ=AP,即 ? =5t時 ,解得 t4=0,t5=? 。 ∵ 0t4,∴ t=5,t=0不合題意 ,舍去 , ∴ 當 t為 ? 或 ? 或 ? 時 ,△ APQ是等腰三角形 . 9522PE QE?22393455tt? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?218 18 255 tt??52218 18 255 tt??2513218 18 255 tt??401352 2513 4013解題關(guān)鍵 利用含 t的代數(shù)式表示各線段的長是解決本題的關(guān)鍵 ,注意分類討論思想的應用