【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 OB1處 ,此時(shí)線段 OB1與 AB的交點(diǎn) D恰好為 AB的中點(diǎn) ,則線段 B1D= cm. ? 答案 解析 ∵ 在△ AOB中 ,∠ AOB=90176。,AO=3 cm,BO=4 cm, ∴ AB=? =5 cm, ∵ 點(diǎn) D為 AB的中點(diǎn) ,∴ OD=? AB= cm. ∵ 將△ AOB繞頂點(diǎn) O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到△ A1OB1處 , ∴ OB1=OB=4 cm,∴ B1D=OB1OD= cm. 故答案為 . 22OA OB?12思路分析 先在直角△ AOB中利用勾股定理求出 AB的長(zhǎng) ,再利用直角三角形斜邊上的中線等 于斜邊的一半得出 OD=? OB1=OB,由 B1D=OB1OD求得結(jié)果 . 12解題關(guān)鍵 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) ,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及勾股定理 , 熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵 . 6.(2022四川成都 ,27,10分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,AB=? ,AC=2,過(guò)點(diǎn) B作直線 m∥ AC,將△ ABC繞點(diǎn) C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ A39。B39。C(點(diǎn) A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 A39。,B39。),射線 CA39。,CB39。分別交直線 m于 點(diǎn) P,Q. (1)如圖 1,當(dāng) P與 A39。重合時(shí) ,求 ∠ ACA39。的度數(shù) 。 (2)如圖 2,設(shè) A39。B39。與 BC的交點(diǎn)為 M,當(dāng) M為 A39。B39。的中點(diǎn)時(shí) ,求線段 PQ的長(zhǎng) 。 (3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中 ,當(dāng)點(diǎn) P,Q分別在 CA39。,CB39。的延長(zhǎng)線上時(shí) ,試探究四邊形 PA 39。B39。Q的面積是否存在 最小值 .若存在 ,求出四邊形 PA 39。B39。Q的最小面積 。若不存在 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 . ? 7解析 (1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 AC=A39。C=2, ∵∠ ACB=90176。,AB=? ,AC=2,∴ BC=? =? , ∵∠ ACB=90176。,m∥ AC,∴∠ A39。BC=90176。, ∴ cos∠ A39。CB=? =? , ∴∠ A39。CB=30176。, ∴∠ ACA39。=60176。. (2)∵ M為 A39。B39。的中點(diǎn) ,∠ A39。CB39。=90176。,∴ MA39。=MB39。=MC, ∴∠ A39。CM=∠ MA39。C, 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 ∠ MA39。C=∠ A,∴∠ A=∠ A39。CM, ∴ tan∠ PCB=tan∠ A=? ,∴ PB=? BC=? , ∵ tan∠ BQC=tan∠ PCB=? ,∴ BQ=BC? =? ? =2, ∴ PQ=PB+BQ=? . (3)∵ S四邊形 PA39。B39。Q=S△ PCQS△ A39。CB39。=S△ PCQ? , 7 22AB AC? 339。BCAC 3232 32 3232 23323723∴ S四邊形 PA39。B39。Q最小即 S△ PCQ最小 , S△ PCQ=? PQBC=? PQ. 取 PQ的中點(diǎn) G,連接 CG. ∵∠ PCQ=90176。, ∴ CG=? PQ. 當(dāng) CG最小時(shí) ,PQ最小 ,∴ CG⊥ PQ,即 CG與 CB重合時(shí) ,CG最小 , ∴ CGmin=? ,PQmin=2? ,∴ (S△ PCQ)min=3,(S四邊形 PA39。B39。Q)min=3? . 12 32123 3 3思路分析 (1)在 Rt△ ABC中 ,由勾股定理得 BC=? ,根據(jù)旋轉(zhuǎn)知 A39。C=AC=2,解直角△ A39。BC,得 ∠ A39。CB=30176。,所以 ∠ ACA39。=60176。(2)根據(jù) M為 A39。B39。的中點(diǎn) ,可得 ∠ A39。CM=∠ MA39。C=∠ A,且 ∠ A=∠ BQC, 解 Rt△ PBC,Rt△ BQC,求出 PB=? ,BQ=2,進(jìn)而得出 PQ=PB+BQ=? 。(3)依據(jù) S四邊形 PA39。B39。Q=S△ PCQS△ A39。C B39。= S△ PCQ? ,得當(dāng) S△ PCQ最小時(shí) ,S四邊形 PA39。B39。Q最小 ,又 S△ PCQ=? PQBC=? PQ,求出 PQ最小值即可得到 S△ PCQ的最小值為 3,則四邊形 PA 39。B39。Q的最小面積是 3? . 332 72312 323解后反思 本題是以直角三角形旋轉(zhuǎn)為背景的幾何綜合題 ,主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) ,平行線的 性質(zhì) ,解直角三角形 ,直角三角形的性質(zhì)等 ,根據(jù)直線 m∥ AC以及旋轉(zhuǎn)變換中相等的線段和相等 的角 ,求△ PQC中角的大小和邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵 . C組 教師專(zhuān)用題組 考點(diǎn)一 圖形的軸對(duì)稱(chēng) 1.(2022北京 ,5,3分 )下列圖形中 ,是軸對(duì)稱(chēng)圖形但 ? 中心對(duì)稱(chēng)圖形的是 ? ( ) ? ? ??不 是答案 A 選項(xiàng) A中的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形但不是中心對(duì)稱(chēng)圖形 。選項(xiàng) B、 D中的圖形既是軸對(duì) 稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形 。選項(xiàng) C中的圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形但不是軸對(duì)稱(chēng)圖形 .故選 A. 2.(2022北海 ,12,3分 )如圖 ,在矩形 OABC中 ,OA=8,OC=4,沿對(duì)角線 OB折疊后 ,點(diǎn) A與點(diǎn) D重合 ,OD 與 BC交于點(diǎn) E,則點(diǎn) D的坐標(biāo)是 ? ( ) ? A.(4,8) B.(5,8) C.? D.? 2 4 3 2,55??????2 2 3 6,55??????答案 C ∵ 矩形 OABC中 ,OA=8,OC=4, ∴ BC=OA=8,AB=OC=4, 由折疊得到 OD=OA,∠ AOB=∠ DOB,∠ ODB=∠ BAO=90176。, 在 Rt△ CBO和 Rt△ DOB中 ,? ∴ Rt△ CBO≌ Rt△ DOB(HL), ∴∠ CBO=∠ DOB,∴ OE=EB, 設(shè) CE=x,則 EB=OE=8x, 在 Rt△ COE中 ,根據(jù)勾股定理得 (8x)2=x2+42,解得 x=3, ∴ CE=3,OE=5,∴ DE=3, 過(guò) D作 DF⊥ BC,可得△ COE∽ △ FDE, ,O B B OC B D O??? ??∴ ? =? =? ,即 ? =? =? , 解得 DF=? ,EF=? , ∴ DF+OC=? +4=? ,CF=3+? =? , ∴ 點(diǎn) D的坐標(biāo)為 ? ,故選 C. OCDFOEDECEEF 4DF53 3EF125 95125 325 95 2452 4 3 2,55??????方法技巧 熟練掌握翻折變換 (折疊問(wèn)題 )的性質(zhì) ,坐標(biāo)與圖形的性質(zhì) ,全等三角形的判定與性 質(zhì)及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵 . 3.(2022玉林 ,11,3分 )如圖 ,ABCD是矩形紙片 ,翻折 ∠ B,∠ D,使 AD,BC邊與對(duì)角線 AC重疊 ,且頂點(diǎn) B,D恰好落在同一點(diǎn) O上 ,折痕分別是 CE,AF,則 ? 等于 ? ( ) ? A.? D.? AEEB3 2答案 B 由題意可得 AD=AO,BC=CO,∠ AOF=∠ D=∠ B=∠ COE=90176。,所以 EF垂直平分 AC,所 以 CE=AE,∠ EAC=∠ ECA=∠ BCE,所以 ∠ BCE=? 90176。=30176。,所以 ? =? =2. 13 AEEB ECEB4.(2022吉林 ,14,3分 )在三角形紙片 ABC中 ,∠ C=90176。,∠ B=30176。,點(diǎn) D(不與 B,C重合 )是 BC上任意一 點(diǎn) .將此三角形紙片按下列方式折疊 .若 EF的長(zhǎng)度為 a,則△ DEF的周長(zhǎng)為 (用含 a的式 子表示 ). ? 答案 3a 解析 易知 ∠ FDC=∠ C=90176。, ∴∠ FDB=90176。. ∵∠ B=30176。, ∴ 在 Rt△ BDF中 ,∠ BFD=60176。. ∵∠ EDB=∠ B=30176。, ∴∠ DEF=60176。. ∴ △ DEF是等邊三角形 . ∴ △ DEF的周長(zhǎng)是 3a. 評(píng)析 本題考查折疊的性質(zhì) ,等邊三角形的判定和性質(zhì) ,屬容易題 . 5.(2022河池 ,18,3分 )在如圖所示的三角形紙片中 ,AB=AC,BC=12 cm,∠ C=30176。.折疊這個(gè)三角形 , 使點(diǎn) B落在 AC的中點(diǎn) D處 ,折痕為 EF,那么 BF的長(zhǎng)為 cm. ? 答案 ? 143解析 如圖 ,作 AG⊥ BC于點(diǎn) G,DH⊥ BC于點(diǎn) H. ? ∵ AB=AC,AG⊥ BC, ∴ CG=? BC=6 cm. ∴ 在 Rt△ AGC中 ,AG=CGtan C=2? cm,AC=? =4? cm. ∵ D為 AC的中點(diǎn) , ∴ CD=? AC=2? cm. ∴ DH=? cm,CH=3 cm. ∴ BH=123=9 cm. 設(shè) BF=x cm,則 DF=BF=x cm,FH=(9x)cm. 123sinAGC31233在 Rt△ DFH中 ,由勾股定理 ,得 DF2=FH2+DH2. 即 x2=(9x)2+(? )2,解得 x=? . 3143思路分析 過(guò) D作 DH⊥ BC于 H,過(guò) A作 AG⊥ BC于 G,根據(jù)題意結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)而得出 CG的長(zhǎng) ,再利用銳角三角函數(shù)和勾股定理建立方程求解 . 6.(2022玉林 ,18,3分 )如圖 ,已知正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 3,點(diǎn) E在 AB邊上且 BE=1,點(diǎn) P,Q分別是邊 BC,CD上的動(dòng)點(diǎn) (均不與頂點(diǎn)重合 ),當(dāng)四邊形 AEPQ的周長(zhǎng)取最小值時(shí) ,四邊形 AEPQ的面積是 . ? 答案 ? 92解析 如圖所示 ,作 E關(guān)于 BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) E39。,點(diǎn) A關(guān)于 DC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) A39。,連接 A39。E39。,分別交 CD,BC于 點(diǎn) Q,P,此時(shí)四邊形 AEPQ的周長(zhǎng)最小 .∵ AD=A39。D=3,BE=BE39。=1,∴ AA39。=6,AE39。=4.∵ DQ∥ AE39。,D是 AA39。的中點(diǎn) ,∴ DQ是△ AA39。E39。的中位線 ,∴ DQ=? AE39。=2,∴ CQ=DCDQ=32=1,∵ BP∥ AA39。,∴ △ BE39。 P∽ △ AE39。A39。,∴ ? =? ,即 ? =? ,∴ BP=? ,∴ CP=BCBP=3? =? ,∴ S四邊形 AEPQ=S正方形 ABCDS△ ADQS△ PCQS△ BEP=9? ADDQ? CQCP? BEBP=9? 32? 1? ? 1? =? . ? 1239。BPAA 39。39。BEAE 6BP14 32 32 3212 12 12 12 12 32 12 32 927.(2022寧夏 ,15,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=3,BC=5,在 CD上任取一點(diǎn) E,連接 BE,將△ BCE沿 BE折疊 ,使點(diǎn) C恰好落在 AD邊上的點(diǎn) F處 ,則 CE的長(zhǎng)為 . ? 答案 ? 53解析 設(shè) CE=x,在矩形 ABCD中 , ∵ AB=3,BC=5, ∴ AD=BC=5,CD=AB=3,則 ED=3x. 由折疊的性質(zhì)可知 ,BF=BC=5,FE=CE=x. 在 Rt△ ABF中 ,AF=? =4, ∴ FD=54= Rt△ DEF中 ,有 DF2+DE2=EF2, 即 12+(3x)2 =x2,解得 x=? ,即 CE的長(zhǎng)為 ? . 2253?53 538.(2022安徽 ,17,8分 )如圖 ,在邊長(zhǎng)為 1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的 1212網(wǎng)格中 ,給出了四邊 形 ABCD的兩條邊 AB與 BC,且四邊形 ABCD是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形 ,其對(duì)稱(chēng)軸為直線 AC. (1)試在圖中標(biāo)出點(diǎn) D,并畫(huà)出該四邊形的另兩條邊 。 (2)將四邊形 ABCD向下平移 5個(gè)單位 ,畫(huà)出平移后得到的四邊形 A39。B39。C39。D39。. ? 解析 (1)點(diǎn) D及四邊形 ABCD另兩條邊如圖所示 .? (4分 ) (2)得到的四邊形 A39。B39。C39。D39。如圖所示 .? (8分 ) ? 考點(diǎn)二 圖形的平移 1.(2022貴港 ,10,3分 )將如圖所示的拋物線向右平移 1個(gè)單位長(zhǎng)度 ,再向上平移 3個(gè)單位長(zhǎng)度后 , 得到的拋物線的解析式是 ? ( ) ? =(x1)2+1 =(x+1)2+1 =2(x1)2+1 =2(x+1)2+1 答案 C 由題圖 ,得原拋物線解析式為 y=2x22, 由平移規(guī)律 ,得平移后的拋物線解析式為 y=2(x1)2+1, 故選 C. 2.(2022四川綿陽(yáng) ,10,3分 )將二次函數(shù) y=x2的圖象先向下平移 1個(gè)單位 ,再向右平移 3個(gè)單位 ,得到 的圖象與一次函數(shù) y=2x+b的圖象有公共點(diǎn) ,則實(shí)數(shù) b的取值范圍是 ? ( ) 8 8 ≥ 8 ≥ 8 答案 D 由題意可得 ,y=x2的圖象經(jīng)過(guò)兩次平移后得到 y=(x3)21的圖象 .? 將 ①代入②得 ,x28x+8b= ,所以 Δ=(8)24(8b)=4b+32≥ 0,所以 b≥ 8,故選 D. 2( 3) 1 ,2,yxy x b? ? ? ????? ①②3.(2022崇左 ,22,8分 )如圖 ,△ A1B1C1是△ ABC向右平移 4個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的 ,且三個(gè)頂點(diǎn)的坐 標(biāo)分別為 A1(1,1),B1(4,2),C1(3,4). (1)請(qǐng)畫(huà)出△ ABC,并寫(xiě)出點(diǎn) A,B,C的坐標(biāo) 。 (2)求出△ AOA1的面積 . ? 解析 (1)如圖 : ? 由圖可知點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (3,1),點(diǎn) B的坐標(biāo)為