【文章內(nèi)容簡介】 ∴ c=? ,c=? , ∴ ? =? . 根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識 ,在圖②的銳角△ ABC中 ,探索 ? ,? ,? 之間的關系 ,并寫出 探索過程 . 解析 如圖 1,過點 A作 BC邊上的高 AD, ? 圖 1 ∵ 在 Rt△ ABD中 ,sin B=? ,在 Rt△ ACD中 ,sin C=? , ∴ AD=csin B,AD=bsin C, ∴ csin B=bsin C,∴ ? =? . 同理 ,如圖 2,過點 B作 AC邊上的高 BE, ? 圖 2 cADbs inb Bs inc C∵ 在 Rt△ ABE中 ,sin A=? ,在 Rt△ BCE中 ,sin C=? , ∴ BE=csin A,BE=asin C, ∴ csin A=asin C, ∴ ? =? . 綜上 ,? =? =? . BEc BEas ina As inc Cs inas inb Bs inc C11.(2022江西 ,17,6分 )如圖 1,研究發(fā)現(xiàn) ,科學使用電腦時 ,望向熒光屏幕畫面的“視線角” α約為 20176。,而當手指接觸鍵盤時 ,肘部形成的“手肘角” β約為 100176。.圖 2是其側(cè)面簡化示意圖 ,其中視 線 AB水平 ,且與屏幕 BC垂直 . (1)若屏幕上下寬 BC=20 cm,科學使用電腦時 ,求眼睛與屏幕的最短距離 AB的長 。 (2)若肩膀到水平地面的距離 DG=100 cm,上臂 DE=30 cm,下臂 EF水平放置在鍵盤上 ,其到地面 的距離 FH=72 β是否符合科學要求的 100176。. ? 參考數(shù)據(jù) :sin 69176。≈ ? ,cos 21176?！?? ,tan 20176?！?? ,tan 43176?！?? ,所有結果精確到個位 ? ? 14154111415解析 (1)如圖 ,∵ AB⊥ BC,∴∠ B=90176。. 在 Rt△ ABC中 ,α=20176。, AB=? ≈ 20247。? =55(cm).? (3分 ) (2)如圖 ,延長 FE交 DG于點 I, ? ∵ DG⊥ GH,FH⊥ GH,EF∥ GH, ∴ IE⊥ DG, ∴ 四邊形 GHFI是矩形 , ∴ IG=FH, ∴ DI=DGFH=10072=28(cm).? (4分 ) 在 Rt△ DEI中 ,sin∠ DEI=? =? =? , ∴∠ DEI≈ 69176。.? (5分 ) ∴ β=180176。69176。=111176?！?100176。. tan 20BC?411DI28301415∴ 此時 β不符合科學要求的 100176。.? (6分 ) 12.(2022山東青島 ,18,6分 )如圖 ,AB是長為 10 m,傾斜角為 37176。的自動扶梯 ,平臺 BD與大樓 CE垂 直 ,且與扶梯 AB的長度相等 ,在 B處測得大樓頂部 C的仰角為 65176。,求大樓 CE的高度 (結果保留整 數(shù) ). ? 參考數(shù)據(jù) :sin 37176?！?? ,tan 37176。≈ ? ,sin 65176?！?? ,tan 65176?！?? ? ? 35 34 910157解析 過 B作 BF⊥ AE于 F, ? 在 Rt△ ABF中 ,sin 37176。=? , ∴ ? ≈ ? ,∴ BF≈ 6. ∵∠ BFE=∠ BDE=∠ DEF=90176。, ∴ 四邊形 BFED是矩形 . ∴ BF=DE=6. 在 Rt△ BCD中 ,tan 65176。=? , ∴ ? ≈ ? ,∴ CD≈ ? . ∴ CE=CD+DE=? +6≈ 27. AB1035 CDBD1015715077答 :樓高 CE約為 27米 . C組 教師專用題組 考點一 銳角三角函數(shù) 1.(2022貴州貴陽 ,7,3分 )如圖 ,A,B,C是小正方形的頂點 ,且每個小正方形的邊長都為 1,則 tan∠ BAC的值為 ? ( ) ? A.? C.? D.? 12 333答案 B 如圖 ,連接 BC. 在△ ABD和△ BCE中 ,? ∴ △ ABD≌ △ BCE(SAS), ∴ AB=BC,∠ ABD=∠ BCE. ∵∠ BCE+∠ CBE=90176。, ∴∠ ABD+∠ CBE=90176。,即 ∠ ABC=90176。, ∴ tan∠ BAC=? =1,故選 B. ? ,9 0 ,A D B EA D B B E CB D C E???? ? ? ? ??? ??AB2.(2022甘肅蘭州 ,3,4分 )如圖 ,一個斜坡長 130 m,坡頂離水平地面的距離為 50 m,那么這個斜坡 與水平地面夾角的正切值等于 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 51312513答案 C 在直角三角形中 ,根據(jù)勾股定理可知水平的直角邊長為 120 m,故這個斜坡與水平地 面夾角的正切值等于 ? =? ,故選 C. 50120512思路分析 先利用勾股定理求得第三邊的長 ,再利用正切的定義求正切值 . 3.(2022廣東 ,8,3分 )如圖 ,在平面直角坐標系中 ,點 A的坐標為 (4,3),那么 cos α的值是 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 34 43 35 45答案 D 過點 A作 AB垂直 x軸于 B,則 AB=3,OB=4. 由勾股定理得 OA=5.∴ cos α=? =? .故選 D. ? 454.(2022天津 ,2,3分 )cos 45176。的值等于 ? ( ) A.? B.? C.? D.? 12 22323答案 B 本題考查特殊角的三角函數(shù)值 .cos 45176。=? . 225.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,11,3分 )已知下列命題 : ① 在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,若 ∠ A∠ B,則 sin Asin B。 ② 四條線段 a,b,c,d中 ,若 ? =? ,則 ad=bc。 ③ 若 ab,則 a(m2+1)b(m2+1)。 ④ 若 |x|=x,則 x≥ 0. 其中原命題與逆命題均為真命題的是 ? ( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ abcd答案 A 由 |x|=x,可知 x≥ 0,所以 x≤ 0,所以命題④錯誤 .命題①②③及其逆命題均正確 ,故選 A. 考點二 解直角三角形 1.(2022重慶 ,11,4分 )某數(shù)學興趣小組同學進行測量大樹 CD高度的綜合實踐活動 .如圖 ,在點 A 處測得直立于地面的大樹頂端 C的仰角為 36176。.然后沿在同一剖面的斜坡 AB行走 13米至坡頂 B 處 ,然后再沿水平方向行走 6米至大樹底端 D處 ,斜面 AB的坡度 (或坡比 )i=1∶ ,那么大樹 CD 的高度約為 (參考數(shù)據(jù) :sin 36176。≈ ,cos 36176?！?,tan 36176。≈ )? ( ) ? 答案 A 作 BF⊥ AE于 F,如圖所示 , ? 易知四邊形 BDEF為矩形 ,則 FE=BD=6米 ,DE=BF, ∵ 斜面 AB的坡度 i=1∶ ,∴ AF=, 設 BF=x米 ,則 AF= , 在 Rt△ ABF中 ,x2+()2=132,解得 x=5(舍負 ), ∴ DE=BF=5米 ,AF=12米 , ∴ AE=AF+FE=18米 , 在 Rt△ ACE中 ,CE=AEtan 36176?！?18= , ∴ CD=CEDE=≈ ,故選 A. 2.(2022湖南長沙 ,11,3分 )如圖 ,熱氣球的探測器顯示 ,從熱氣球 A處看一棟樓頂部 B處的仰角為 3 0176。,看這棟樓底部 C處的俯角為 60176。,熱氣球 A處與樓的水平距離為 120 m,則這棟樓的高度為 ? ( ) ? ? m ? m m ? m 3 3 2答案 A 設 AD⊥ BC于點 D,由題意得 AD=120 m, 在 Rt△ ABD中 ,∵∠ BAD=30176。, ∴ BD=ADtan∠ BAD=120tan 30176。=120? =40? (m). 在 Rt△ ACD中 ,∵∠ CAD=60176。, ∴ CD=ADtan∠ CAD=120tan 60176。=120? =120? (m). ∴ BC=BD+CD=40? +120? =160? (m),故選 A. 33333333評析 本題考查了解直角三角形 ,解答本題的關鍵是構造直角三角形 ,利用銳角三角函數(shù)求解 . 3.(2022山東聊城 ,10,3分 )湖南路大橋于今年 5月 1日竣工 ,為徒駭河景區(qū)增添了一道亮麗的風景 線 .某校數(shù)學興趣小組用測量儀器測量該大橋的橋塔高度 ,在距橋塔 AB底部 50米的 C處 ,測得橋 塔頂部 A的仰角為 176。(如圖 ).已知測量儀器 CD的高度為 1米 ,則橋塔 AB的高度約為 (參考數(shù)據(jù) : sin 176?！?,cos 176。≈ ,tan 176?！?)? ( ) ? 答案 C 作 DE⊥ AB于 E,則 BE=CD=1米 ,DE=BC=50米 ,在 Rt△ ADE中 ,tan 176。=? =? ,所 以 AE=tan 176。50≈ 50=(米 ),所以 AB=AE+BE≈ 45米 .故選 C. AEDE504.(2022安徽 ,19,10分 )為了測量豎直旗桿 AB的高度 ,某綜合實踐小組在地面 D處豎直放置標桿 CD,并在地面上水平放置一個平面鏡 E,使得 B,E,D在同一水平線上 ,如圖所示 .該小組在標桿的 F處通過平面鏡 E恰好觀測到旗桿頂 A(此時 ∠ AEB=∠ FED).在 F處測得旗桿頂 A的仰角為 176。, 平面鏡 E的俯角為 45176。,FD= ,問旗桿 AB的高度約為多少米 ?(結果保留整數(shù) ) (參考數(shù)據(jù) :tan 176?！?,tan 176?！?) ? 解析 解法一 :由題意知 ,∠ AEB=∠ FED=45176。, ∴∠ AEF=90176。. 在 Rt△ AEF中 ,? =tan∠ AFE=tan 176。, 在△ ABE和△ FDE中 ,∠ ABE=∠ FDE=90176。,∠ AEB=∠ FED, ∴ △ ABE∽ △ FDE, ∴ ? =? =tan 176。, ∴ AB=FDtan 176。≈ =≈ 18(米 ). 答 :旗桿 AB的高度約為 18米 .? (10分 ) 解法二 :作 FG⊥ AB于點 G, ? AEFEAB由題意知 ,△ ABE和△ FDE均為等腰直角三角形 , ∴ AB=BE,DE=FD=, ∴ FG=DB=DE+BE=AB+,AG=ABGB=ABFD=. 在 Rt△ AFG中 ,? =tan∠ AFG=tan 176。,即 ? =tan 176。, 解得 AB=≈ 18(米 ). 答 :旗桿 AB的高度約為 18米 .? (10分 ) FG??思路分析 思路一 :由題意可確定 ∠ AEF=90176。,從而可推出△ ABE∽ △ FDE,最后由相似三角形 中對應邊的比相等求解 。思路二 :作 FG⊥ AB于點 G,由題意可推出△ ABE和△ FDE均為等腰直 角三角形 ,在直角三角形 AFG中由銳角三角函數(shù)求出 AB. 5.(2022烏魯木齊 ,21,10分 )如圖 ,小強想測量樓 CD的高度 ,樓在圍墻內(nèi) ,小強只能在圍墻外測量 . 他無法測得觀測點到樓底的距離 ,于是小強在 A處仰望樓頂 ,測得仰角為 37176。,再往樓的方向前進 30米至 B處 ,測得樓頂?shù)难鼋菫?53176。(A,B,C三點在一條直線上 ),求樓