【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 交 BC于點(diǎn) N, 則△ PMN∽ △ APB. ∴ ? =? =tan∠ PAC=? ,設(shè) PN=2t,則 AB=? t. ∵∠ BAP+∠ APB=∠ MPC+∠ APB=90176。,∠ BAP=∠ C, ∴∠ MPC=∠ C,∴ CN=PN=2t. 易得△ ABP∽ △ CBA, ∴ AB2=BPBC,∴ (? t)2=BP( BP+4t), ∴ BP=t,∴ BC=5t, ∴ tan C=? . 2555555? (3)在 Rt△ ABC中 ,sin∠ BAC=? =? ,∴ tan∠ BAC=? =? . 過(guò)點(diǎn) A作 AG⊥ BE于點(diǎn) G,過(guò)點(diǎn) C作 CH⊥ BE交 EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) H, ∵∠ DEB=90176。,∴ CH∥ AG∥ DE, ∴ ? =? =? , 同 (1)的方法得 ,△ ABG∽ △ BCH, ∴ ? =? =? =? , 設(shè) BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n, ∴ GH=BG+BH=4m+3n, BCAC35BCAB34GHEGACAD52BGABBC43∵ AB=AE,AG⊥ BE,∴ EG=BG=4m, ∴ ? =? =? ,∴ n=2m, ∴ EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m, 在 Rt△ CEH中 ,tan∠ CEB=? =? . ? GH434mnm?52 CHEH314思路分析 (1)利用同角的余角相等判斷出 ∠ MAB=∠ NBC,即可得出結(jié)論 。 (2)作 PM⊥ AP,MN⊥ PC,先判斷出△ PMN∽ △ APB,得出 ? =? =? ,設(shè) PN=2t,則 AB=? t,再 判斷出△ ABP∽ △ CBA,設(shè) PN=2t,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得 BP=t,則 BC=5t,即可得出結(jié)論 。 (3)作 AG⊥ BE,CH⊥ BE,先判斷出 ? =? =? ,同 (1)的方法得 ,△ ABG∽ △ BCH,所以 ? =? = ? =? ,設(shè) BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,進(jìn)一步得出關(guān)于 m,n的等式 ,解得 n=2m,最后得出結(jié)論 . PMAP2555GHEGACAD52 BGCHAGBHABBC43方法指導(dǎo) 幾何中的類比探究關(guān)鍵在于找到解決每一問(wèn)的通法 ,本題涉及的相似三角形 ,要尋 找的比例關(guān)系或添加的輔助線均類似 .同時(shí)要注意挖掘題干中不變的幾何特征 ,根據(jù)特征尋方 法 . 10.(2022江蘇宿遷 ,24,8分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,點(diǎn) E在邊 BC上移動(dòng) (點(diǎn) E不與點(diǎn) B、 C重合 ), 滿足 ∠ DEF=∠ B,且點(diǎn) D、 F分別在邊 AB、 AC上 . (1)求證 :△ BDE∽ △ CEF。 (2)當(dāng)點(diǎn) E移動(dòng)到 BC的中點(diǎn)時(shí) ,求證 :FE平分 ∠ DFC. ? 證明 (1)∵ AB=AC, ∴∠ B=∠ C. ∵∠ B+∠ BDE+∠ BED=∠ DEF+∠ FEC+∠ BED=180176。, ∠ DEF=∠ B, ∴∠ BDE=∠ CEF, ∴ △ BDE∽ △ CEF. (2)∵ △ BDE∽ △ CEF, ∴ ? =? . ∵ 點(diǎn) E是 BC的中點(diǎn) , ∴ BE=CE. ∴ ? =? . 又 ∵∠ DEF=∠ B=∠ C, ∴ △ DEF∽ △ ECF, ∴∠ EFD=∠ CFE, BECFEF∴ FE平分 ∠ DFC. 考點(diǎn)三 位似 1.(2022湖南邵陽(yáng) ,8,3分 )如圖所示 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,已知點(diǎn) A(2,4),過(guò)點(diǎn) A作 AB⊥ x軸于點(diǎn) B. 將△ AOB以坐標(biāo)原點(diǎn) O為位似中心縮小為原圖形的 ? ,得到△ COD,則 CD的長(zhǎng)度是 ? ( ) ? ? 125答案 A 根據(jù)位似圖形的性質(zhì) ,對(duì)應(yīng)邊的比等于位似比 ,可得 ? =? ,因?yàn)?AB=4,所以 CD= 選 A. 122.(2022四川成都 ,8,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD和 A39。B39。C39。D39。是以點(diǎn) O為位似中心的位似圖形 ,若 OA∶ OA39。=2∶ 3,則四邊形 ABCD與四邊形 A39。B39。C39。D39。的面積比為 ? ( ) ? ∶ 9 ∶ 5 ∶ 3 D.? ∶ ? 23答案 A 由位似圖形的性質(zhì)知 ? =? =? ,所以 ? =? =? .故選 A. 39。39。AB39。OA23 39。 39。 39。 39。ABCDA B C DSS 四 邊 形四 邊 形239。39。ABAB??????493.(2022湖南長(zhǎng)沙 ,16,3分 )如圖 ,△ AOB三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(2,4),B(6,0),C(0,0),以原點(diǎn) O為位 似中心 ,把這個(gè)三角形縮小為原來(lái)的 ? ,可以得到△ A39。B39。O,已知點(diǎn) B39。的坐標(biāo)是 (3,0),則點(diǎn) A39。的坐標(biāo) 是 . ? 12答案 (1,2) 解析 ∵ 以原點(diǎn) O為位似中心 ,點(diǎn) B和點(diǎn) B39。是對(duì)應(yīng)點(diǎn) ,∴ 位似圖形位于第一象限 ,∵ 點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (2,4),位似比為 1∶ 2,∴ 點(diǎn) A39。(1,2). 4.(2022甘肅蘭州 ,17,4分 )如圖 ,四邊形 ABCD與四邊形 EFGH位似 ,位似中心是點(diǎn) O,? =? ,則 ? = . ? OEOA35FGBC答案 ? 35解析 ∵ 四邊形 ABCD與四邊形 EFGH位似 , ∴ △ OEF∽ △ OAB,△ OFG∽ △ OBC, ∴ ? =? =? ,? =? =? . 35FGBC35C組 教師專用題組 考點(diǎn)一 相似的有關(guān)概念 1.(2022甘肅蘭州 ,1,4分 )已知 2x=3y(y≠ 0),則下列結(jié)論成立的是 ? ( ) A.? =? B.? =? C.? =? D.? =? xy32 x32y xy23 x2y3答案 A 在等式左右兩邊同時(shí)除以 2y(y≠ 0),可得 ? =? ,故選 A. xy322.(2022浙江杭州 ,2,3分 )如圖 ,已知直線 a∥ b∥ c,直線 m分別交直線 a,b,c于點(diǎn) A,B,C。直線 n分別交 直線 a,b,c于點(diǎn) D,E, ? =? ,則 ? =? ( ) ? A.? B.? C.? ABBC12DEEF13 12 23答案 B ∵ a∥ b∥ c,∴ ? =? ,又 ∵ ? =? ,∴ ? =? ,故選 B. ABBCDEEF12 123.(2022遼寧阜新 ,14,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,若 DE∥ BC,? =? ,DE=4,則 BC的長(zhǎng)是 . ? ADDB23答案 10 解析 ∵ DE∥ BC,∴ ? =? ,又 ∵ ? =? ,∴ ? =? , 又 ∵ DE=4, ∴ ? =? ,∴ BC=10. ADABBD23 AB254254.(2022吉林長(zhǎng)春 ,11,3分 )如圖 ,直線 a∥ b∥ c,直線 l l2與這三條平行線分別相交于點(diǎn) A、 B、 C 和點(diǎn) D、 E、 AB∶ BC=1∶ 2,DE=3,則 EF的長(zhǎng)為 . ? 答案 6 解析 ∵ 直線 a∥ b∥ c,直線 l l2與這三條平行線分別相交于點(diǎn) A、 B、 C和點(diǎn) D、 E、 F, ∴ ? =? . ∵ AB∶ BC=1∶ 2,DE=3,∴ ? =? ,∴ EF=6. 12 35.(2022甘肅蘭州 ,17,5分 )如果 ? =? =? =k(b+d+f≠ 0),且 a+c+e=3(b+d+f),那么 k= . abcde答案 3 解析 由題意得 a=bk,c=dk,e=fk,則 a+c+e=k(b+d+f)=3(b+d+f),故 k=3. 考點(diǎn)二 相似三角形的性質(zhì)與判定 1.(2022江蘇連云港 ,4,3分 )如圖 ,已知△ ABC∽ △ DEF,AB∶ DE=1∶ 2,則下列等式一定成立的是 ? ( ) ? A.? =? B.? =? C.? =? D.? =? BCDF12AD?? 的 度 數(shù)的 度 數(shù)12ABCDEF的 面 積的 面 積12ABCEF的 周 長(zhǎng)的 周 長(zhǎng)12答案 D 根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比 ,得 ? =? =? 。根據(jù)相似三角形的面積 比等于相似比的平方 ,得 ? =? 。根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比 ,得 ? =? 。根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等 ,得 ∠ A=∠ D. BCEFABDE12ABCD 的 面 積的 面 積14ABCDEF的 周 長(zhǎng)的 周 長(zhǎng)122.(2022湖南永州 ,8,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,點(diǎn) D是 AB邊上的一點(diǎn) ,若 ∠ ACD=∠ B,AD=1,AC=2,△ ADC的面積為 1,則△ BCD的面積為 ? ( ) ? 答案 C ∵∠ A=∠ A,∠ ACD=∠ B,∴ △ ACB∽ △ ADC, ∴ ? =? =? =2,∴ △ ACB和△ ADC的相似比為 2,面積比為 4, ∴ △ ACB的面積為 4,△ BCD的面積為 3. ACADABBC3.(2022內(nèi)蒙古通遼 ,7,3分 )志遠(yuǎn)要在報(bào)紙上刊登廣告 ,一塊 10 cm5 cm的長(zhǎng)方形版面要付廣告 費(fèi) 180元 ,他要把該版面的邊長(zhǎng)都擴(kuò)大為原來(lái)的 3倍 ,在每平方厘米版面廣告費(fèi)相同的情況下 ,他 該付廣告費(fèi) ? ( ) 080元 620元 800元 答案 C ∵ 他要把版面的邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的 3倍 ,即所得長(zhǎng)方形與原長(zhǎng)方形相似 ,且相似比為 3, ∴ 新長(zhǎng)方形的面積為 3015, ∴ 該付廣告費(fèi)為 (3015)247。(105)180=1 620(元 ). 4.(2022安徽 ,14,5分 )矩形 ABCD中 ,AB=6,BC= P在矩形 ABCD的內(nèi)部 ,點(diǎn) E在邊 BC上 ,滿足△ PBE∽ △ △ APD是等腰三角形 ,則 PE的長(zhǎng)為 . 答案 3或 ? 65解析 在矩形 ABCD中 ,AD=BC=8,在△ ABD中 ,由勾股定理可得 BD=? =10,∵ ABAD,∴ 根據(jù)△ PBE∽ △ DBC可知 P點(diǎn)在線段 BD上 ,當(dāng) AD=PD=8時(shí) ,由相似可得 ? =? =? ?PE=? 。 當(dāng) AP=PD時(shí) ,P點(diǎn)為 BD的中點(diǎn) ,∴ PE=? CD=3,故答案為 3或 ? . 2268?CDBPBD2106512 65思路分析 根據(jù) ABAD及已知條件先判斷 P點(diǎn)在線段 BD上 ,再根據(jù)等腰三角形腰的情況分兩 種情況 :① AD=PD=8。② AP=PD,再由相似三角形中對(duì)應(yīng)邊的比相等求解即可 . 難點(diǎn)突破 判斷 P點(diǎn)在線段 BD上是解答本題的突破口 . 5.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,20,3分 )如圖 ,在△ ABC與△ ADE中 ,AB=AC,AD=AE,∠ BAC=∠ DAE,且點(diǎn) D 在 AB上 ,點(diǎn) E與點(diǎn) C在 AB的兩側(cè) ,連接 BE,CD,點(diǎn) M,N分別是 BE,CD的中點(diǎn) ,連接 MN,AM,AN. ? 下列結(jié)論 :①△ ACD≌ △ ABE。②△ ABC∽ △ AMN。③△ AMN是等邊三角形 。④若點(diǎn) D是 AB的中 點(diǎn) ,則 S△ ACD=2S△ .(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào) ) 答案 ①② 解析 ∵ AB=AC,∠ BAC=∠ DAE,AD=AE,∴ △ ACD≌ △ ABE,故①正確 ?！?△ ABE≌ △ ACD,∴ ∠ ABE=∠ ACD,BE=CD,∵ M、 N分別是 BE,CD的中點(diǎn) ,∴ BM= ∵ AB=AC,∴ △ ABM≌ △ ACN.∴ AM=AN,即△ AMN為等腰三角形 .故③錯(cuò)誤 ?！?△ ABM≌ △ ACN,∴∠ BAM=∠ CAN,∴∠ BAM+∠ NAD=∠ CAN+∠ NAD,即 ∠ CAB=∠ NAM,∵ ? =? =1,∴ △ ABC∽ △ AMN,故②正確 。 ∵ D是 AB的中點(diǎn) ,∴ AD=? AB,∵ △ ACD和△ ABC在 AB上的高相等 ,∴ S△ ABC=2S△ ACD,∵ △ ACD≌ △ ABE,∴ S△ ABC=2S△ ④錯(cuò)誤 . 綜上 ,正確的結(jié)論是①② . ANAM126.(2022廣東梅州、汕尾 ,14,5分 )已知 :△ ABC中 ,點(diǎn) E是 AB邊的中點(diǎn) ,點(diǎn) F在 AC邊上 ,若以 A,E,F為 頂點(diǎn)的三角形與△ ABC相似 ,則需要增加的一個(gè)條件是 .(寫(xiě)出一個(gè)即可 ) 答案 F是 AC的中點(diǎn) (或 EF∥ BC或 ∠ AEF=∠ B或 ∠ AEF=∠ C或 ∠ AFE=∠ B或 ∠ AFE=∠ C) 解析 答案不唯一 ,根據(jù)三角形相似的判定方法相應(yīng)添加條件即可 . 7.(2022泰安 ,23,3分 )如圖 ,矩形 ABCD中 ,已知 AB=6,BC=8,BD的垂直平分線交 AD于點(diǎn) E,交 BC于 點(diǎn) F,則△ BOF的面積為 . ? 答案 ? 758解析 在矩形 ABCD中 ,AB=CD=6,BC=8,∠ C=90176。, ∴ BD=10.∵ EF垂直平分 BD,∴ BO=DO=5.∵∠ DBC=∠