【正文】 167。 圖形的相似 中考數(shù)學(xué) (山東專用 ) A組 2022— 2022年山東中考題組 考點一 相似的有關(guān)概念 五年中考 1.(2022臨沂 ,16,3分 )已知 AB∥ CD,AD與 BC相交于點 ? =? ,AD=10,則 AO= . ? BOOC23答案 4 解析 ∵ AB∥ CD,∴ OA∶ OD=OB∶ OC=2∶ 3. 又 ∵ AD=10,∴ OA=? 10=4. 252.(2022臨沂 ,17,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,點 D,E,F分別在 AB,AC,BC上 ,DE∥ BC,EF∥ AB=8, BD=3,BF=4,則 FC的長為 . ? 答案 ? 125解析 由已知易得 AD=ABBD=83=5. 由 DE∥ BC得 ? =? ,由 EF∥ AB得 ? =? , ∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 BC=? ,∴ FC=BCBF=? 4=? . ADAEACBFBCBF58 4325 5125考點二 相似三角形的性質(zhì)與判定 1.(2022臨沂 ,6,3分 )如圖 ,利用標(biāo)桿 BE測量建筑物的高度 .已知標(biāo)桿 BE高 m,測得 AB= m, BC= CD的高是 ? ( ) ? m m m m 答案 B 由題意知 BE∥ CD,∴ △ ABE∽ △ ACD, ∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 CD= m. ABAC1 . 2 ?2.(2022棗莊 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ A=78176。,AB=4,AC=△ ABC沿圖示中的虛線剪開 ,剪下 的陰影三角形與原來三角形不相似的是 ? ( ) ? ? 答案 C 選項 A與 B中剪下的陰影三角形分別與原三角形有兩組角對應(yīng)相等 ,可得陰影三角 形與原三角形相似 。選項 D中剪下的陰影三角形與原三角形有兩邊之比都是 2∶ 3,且兩邊的夾 角相等 ,所以兩個三角形也是相似的 ,故選 C. 思路分析 根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判斷即可 . 易錯警示 本題容易出錯的地方是兩組對應(yīng)邊的比相等 ,必須要求夾角也相等才能相似 ,選項 C中不滿足后者 ,故不能判斷相似 . 3.(2022東營 ,10,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,E是 AD邊的中點 ,BE⊥ AC,垂足為點 F,連接 DF,分析 下列四個結(jié)論 :①△ AEF∽ △ CAB。② CF=2AF。③ DF=DC。④ tan∠ CAD=? .其中正確的結(jié)論有 ? ( ) ? 2答案 B ∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴∠ ABC=90176。,AD∥ BC,∴∠ EAF=∠ ACB. ∵ BE⊥ AC,∴∠ AFE=90176。, ∴∠ ABC=∠ AFE,∴ △ AEF∽ △ CAB,故①正確 。 ∵ AD∥ BC,∴ △ AEF∽ △ CBF. ∴ ? =? =? .∴ CF=2AF,故②正確 。 延長 BE交 CD的延長線于 M,易證△ ABE≌ △ DME, ∴ AB=DM,∴ DC= ∵ MF⊥ AC,∴ DF=DC,故③正確 。 ? 在 Rt△ CAD中 ,易知 CDAD,∴ tan∠ CAD=? 1,故④錯誤 . AE12 CDAD一題多解 ③取 BC的中點 M,連接 DM,FM,∴ FM=CM. ∵ E是 AD的中點 ,∴ DE=? AD=? BC=BM,又 ∵ DE∥ BM, ∴ 四邊形 BMDE是平行四邊形 ,∴ DM∥ BE,∴ DM⊥ CF,∴ DM垂直平分 CF,∴ DF=DC. 12124.(2022菏澤 ,7,3分 )如圖 ,△ ABC與△ A39。B39。C39。都是等腰三角形 ,且 AB=AC=5,A39。B39。=A39。C39。=3,若 ∠ B+∠ B39。=90176。,則△ ABC與△ A39。B39。C39。的面積比為 ? ( ) ? ∶ 9 ∶ 3 C.? ∶ ? ? ∶ 3? 5353答案 A 分別作 AD⊥ BC于點 D,A39。D39?！?B39。C39。于點 D39。,則 ∠ ADB=∠ A39。D39。B39。=90176。,∴∠ B+∠ BAD=90 176。.又 ∵∠ B+∠ B39。=90176。,∴∠ BAD=∠ B39。,∴ △ ABD∽ △ B39。A39。D39。,∴ S△ ABD∶ S△ B39。A39。D39。=AB2∶ A39。B39。2=25∶ 9,∴ S△ ABD=? S△ B39。A39。D39。.∵ AB=AC,A39。B39。=A39。C39。,∴∠ B=∠ C,∠ B39。=∠ C39。,∴∠ C+∠ C39。=90176。.同理 ,可得△ ACD∽ △ C39。A39。D39。,∴ S△ ACD∶ S△ C39。A39。D39。=AC2∶ A39。C39。2=25∶ 9,∴ S△ ACD=? S△ C39。A39。D39。.于是 S△ ABC=S△ ABD+S△ ACD=? S△ B39。A39。D39。+ ? S△ C39。A39。D39。=? S△ A39。B39。C39。,∴ S△ ABC∶ S△ A39。B39。C39。=25∶ 9,故選擇 A. ? 259 259 25999思路分析 ①由等腰△ ABC與等腰△ A39。B39。C39。的底角互余 ,啟發(fā)我們作出它們底邊上的高 ,可得 兩對相似三角形 。②利用相似三角形的性質(zhì)分別求所構(gòu)造的兩對相似三角形的面積關(guān)系 。③把 兩個小三角形的面積分別相加 ,計算△ ABC與△ A39。B39。C39。的面積比 . 5.(2022泰安 ,18,3分 )《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作 ,在“勾股”章中有這樣一個 問題 :“今有邑方二百步 ,各中開門 ,出東門十五步有木 ,問 :出南門幾步而見木 ?” 用今天的話 說 ,大意是 :如圖 ,DEFG是一座邊長為 200步 (“步”是古代的長度單位 )的正方形小城 ,東門 H位 于 GD的中點 ,南門 K位于 ED的中點 ,出東門 15步的 A處有一樹木 ,求出南門多少步恰好看到位于 A處的樹木 (即點 D在直線 AC上 ).請你計算 KC的長為 步 . ? 答案 ? 2 0 0 03解析 由題意 ,可得 Rt△ CDK∽ Rt△ DAH,則 ? =? ,又 DH=? DG=100步 ,KD=? DE=100步 , AH=15步 ,∴ ? =? ,解得 KC=? 步 . KCAH12 12100152 0 0 036.(2022萊蕪 ,17,4分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,BE⊥ AC分別交 AC、 AD于點 F、 E,若 AD=1,AB=CF, 則 AE= . ? 答案 ? 512?解析 連接 CE. ? ∵ AB=CF,AB=CD,∴ CF=CD. 又 ∵ CE=CE,∠ EFC=∠ EDC=90176。, ∴ △ EFC≌ △ EDC.∴ DE=EF. 設(shè) AB=CD=CF=a,則 AC2=AD2+CD2=12+a2=1+a2. 設(shè) AE=x,則 DE=EF=1x. 易證△ ABE∽ △ DAC,∴ ? =? .∴ ? =? . ∴ x=a2,① 易證△ AEF∽ △ ACD,∴ ? =? .∴ ? =? . ∴ ? =? .② ABAE1xaACDC2222EF2 21 x a?2(1 )x?由①②可解得 x=? (舍負(fù) ),∴ AE=? . 512?2?7.(2022東營 ,24,10分 )如圖 ,在等腰三角形 ABC中 ,∠ BAC=120176。,AB=AC=2,點 D是 BC邊上的一個 動點 (不與 B、 C重合 ),在 AC上取一點 E,使 ∠ ADE=30176。. (1)求證 :△ ABD∽ △ DCE。 (2)設(shè) BD=x,AE=y,求 y關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量 x的取值范圍 。 (3)當(dāng)△ ADE是等腰三角形時 ,求 AE的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ 在等腰△ ABC中 ,∠ BAC=120176。, ∴∠ B=∠ C=30176。, 又 ∠ ADE=30176。,∴∠ ABD=∠ ADE. ∵∠ ADC=∠ ADE+∠ EDC=∠ ABD+∠ DAB, ∴∠ EDC=∠ DAB, 又 ∠ B=∠ C,∴ △ ABD∽ △ DCE. (2)由 AB=AC=2,∠ BAC=120176。,求得 BC=2? , 則 DC=2? x. ∵ △ ABD∽ △ DCE,∴ ? =? .∴ ? =? . 化簡得 y=? x2? x+2(0x2? ). (3)當(dāng) AD=DE時 ,由 (1)可得△ ABD≌ △ DCE,則 AB=CD, 即 2=2? x. ∴ x=2? 2,代入 y=? x2? x+2得 y=42? , 33ABBDCE2x232 xy??12 3 33312 3 3即 AE=42? . 當(dāng) AE=ED時 ,∠ EAD=∠ EDA=30176。,∠ AED=120176。, ∴∠ DEC=60176。,∠ EDC=90176。, 則 ED=? EC,則有 y=? (2y), 解得 y=? ,即 AE=? . 當(dāng) AD=AE時 ,∠ AED=∠ EDA=30176。,∠ EAD=120176。. 此時點 D與點 B重合 ,與題目不符 ,此情況不存在 . ∴ 當(dāng)△ ADE是等腰三角形時 ,AE=42? 或 ? . 312 1223 23 3238.(2022濟寧 ,22,11分 )定義 :點 P是△ ABC內(nèi)部或邊上的點 (頂點除外 ),在△ PAB,△ PBC,△ PCA 中 ,若至少有一個三角形與△ ABC相似 ,則稱點 P是△ ABC的自相似點 . 例如 :如圖 1,點 P在△ ABC的內(nèi)部 ,∠ PBC=∠ A,∠ PCB=∠ ABC,則△ BCP∽ △ ABC,故點 P為△ ABC的自相似點 . 請你運用所學(xué)知識 ,結(jié)合上述材料 ,解決下列問題 : 在平面直角坐標(biāo)系中 ,點 M是曲線 C:y=? (x0)上的任意一點 ,點 N是 x軸正半軸上的任意一點 . (1)如圖 2,點 P是 OM上一點 ,∠ ONP=∠ M,試說明點 P是△ MON的自相似點 。當(dāng)點 M的坐標(biāo)是 (? , 3),點 N的坐標(biāo)是 (? ,0)時 ,求點 P的坐標(biāo) 。 (2)如圖 3,當(dāng)點 M的坐標(biāo)是 (3,? ),點 N的坐標(biāo)是 (2,0)時 ,求△ MON的自相似點的坐標(biāo) 。 (3)是否存在點 M和點 N,使△ MON無自相似點 ?若存在 ,請直接寫出這兩點的坐標(biāo) 。若不存在 ,請 說明理由 . 33333解析 (1)在△ ONP和△ OMN中 , ∵∠ ONP=∠ OMN,∠ NOP=∠ MON, ∴ △ ONP∽ △ OMN. ∴ 點 P是△ MON的自相似點 . 由題意知 MN⊥ x軸 . 過點 P作 PD⊥ x軸于點 D. ? tan∠ POD=tan∠ MON=? =? . ∴∠ MON=60176。. ∵ △ ONP∽ △ OMN,∴∠ OPN=90176。. ON3在 Rt△ OPN中 ,OP=ONcos 60176。=? . ∴ 在 Rt△ POD中 ,OD=OPcos 60176。=? ? =? , PD=OPsin 60176。=? ? =? ,∴ P? . (2)如圖 ,過點 M作 MH⊥ x軸于點 H,則 MH=? ,∴ MN=2. ? ∵ M(3,? ),N(2,0), ∴ OM=2? ,直線 OM的表達式為 y=? x,ON=2. ∵ P1是△ MON的自相似點 ,∴ △ P1ON∽ △ NOM. ∴ ? =? =? ,即 ? =? =? , 32 3212 3432 323433,44??????333 331PONO1PNNM1222312∴ P1O=P1N=? . 過點 P1作 P1Q⊥ x軸于點 Q, ∴ OQ=? ON=1. ∴ P1的橫坐標(biāo)為 1,∴ P1的縱坐標(biāo)為 ? 1=? .∴ P1? . 如圖 ,△ P2NM∽ △ NOM, ? ∴ ? =? =? ,∴ P2N=P2M=? . ∴ OP2=? ,在△ P2ON中 ,∵ O? =ON2+P2N2, ∴ △ P2ON是直角三角形 ,且 ∠ P2NO=90176。, 23312 33 3331,3??????2PMNM2PNMNMO23343322∴ P2的縱坐標(biāo)為 ? ,∴ ? =? x,∴ x=2, ∴ P2? . 綜上所述 ,自相似點的坐標(biāo)為 ? 或 ? . (3)存在 .M(? ,3),N(2? ,0). 23333 232, 3??????31,3232, 333考點三 位似 1.(2022濰坊 ,8,3分 )在平面直角坐標(biāo)系中 ,點 P(m,n)是線段 AB上一點 ,以原點 O為位似中心把△ AOB放大到原來的兩倍 ,則點 P的對應(yīng)點的坐標(biāo)為 ? ( ) A.(2m,2n) B.(2m,2n)或 (2m,2n) C.? D.? 或 ? 11,22mn??????,11,22mn??答案 B 當(dāng)放大后的△ A39。OB39。與△ AOB在原點 O同側(cè)時 ,點 P的對應(yīng)點的坐標(biāo)為 (2m,2n),當(dāng)放 大后的△ A39。OB39。與