【正文】 167。 解直角三角形 中考數(shù)學(xué) (廣西專用 ) 考點一 銳角三角函數(shù) 五年中考 A組 20222022年廣西中考題組 五年中考 1.(2022柳州 ,7,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,BC=4,AC=3,則 sin B=? =? ( ) ? A.? B.? C.? D.? ACAB35 45 37 34答案 A 在 Rt△ ABC中 ,AB=? =? =5,∴ sin B=? =? .故選 A. 22BC AC? 2243?ACAB 352.(2022玉林 ,2,3分 )sin 30176。=? ( ) A.? B.? C.? D.? 22 1232 33答案 B sin 30176。=? . 123.(2022玉林 ,2,3分 )計算 :cos245176。+sin245176。=? ( ) A.? C.? D.? 12 14 22答案 B ∵ cos 45176。=sin 45176。=? ,∴ cos245176。+sin245176。=? +? =? +? = B. 22 222??????222??????12 124.(2022崇左 ,10,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,AB=13,BC=12,則下列三角函數(shù)表示正確的是 ? ( ) ? A=? A=? A=? B=? 1213 1213512 125答案 A ∵∠ ACB=90176。,AB=13,BC=12,∴ AC=? =? =5,∴ sin A=? =? ,cos A=? =? ,tan A=? =? ,tan B=? =? ,故選項 A正確 ,B,C,D錯誤 .故選 A. 22AB BC? 2213 12?BCAB 1213ACAB 513 BCAC 125 ACBC 512思路分析 由勾股定理求出 AC的長 ,根據(jù)三角函數(shù)的定義依次求值驗證各選項的正確性 . 方法技巧 在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,則 sin A=? ,cos A=? ,tan A=? .求直 角三角形中某銳角的三角函數(shù)值 ,常常利用勾股定理求出有關(guān)邊長來解決 . A? 的 對 邊斜 邊 A? 的 鄰 邊斜 邊 AA?? 的 對 邊的 鄰 邊5.(2022桂林 ,16,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,AC=8,BC=6,CD⊥ AB,垂足為 D,則 tan∠ BCD的值是 . ? 答案 ? 34解析 在 Rt△ ABC與 Rt△ BCD中 ,∠ A+∠ B=90176。,∠ BCD+∠ B=90176。. ∴∠ A=∠ BCD. ∴ tan∠ BCD=tan∠ A=? =? =? ,故答案為 ? . BCAC 68 34 34考點二 解直角三角形 1.(2022欽州 ,10,3分 )如圖 ,為固定電線桿 AC,在離地面高度為 6 m的 A處引拉線 AB,使拉線 AB與 地面上的 BC的夾角為 48176。,則拉線 AB的長度約為 (結(jié)果精確到 :sin 48176。≈ ,cos 48176。≈ ,tan 48176。≈ )? ( ) ? m m m m 答案 C ∵∠ ACB=90176。,AC=6 m,∠ ABC=48176。, ∴ AB=? ≈ C. sin 4 8AC?2.(2022南寧 ,6,3分 )如圖 ,廠房屋頂人字形 (等腰三角形 )鋼架的跨度 BC=10米 ,∠ B=36176。,則中柱 AD(D為底邊中點 )的長是 ? ( ) ? 36176。米 36176。米 36176。米 36176。米 答案 C ∵ tan B=? ,∴ AD=BDtan B=5tan 36176。米 .故選 C. ADBD3.(2022梧州 ,23,8分 )如圖 ,四邊形 ABCD是一片水田 ,某村民小組需計算其面積 .測得如下數(shù)據(jù) : ∠ A=90176。,∠ ABD=60176。,∠ CBD=54176。,AB=200 m,BC=300 m. 請你計算出這片水田的面積 . (參考數(shù)據(jù) :sin 54176?！?,cos 54176?！?,tan 54176。≈ ,? ≈ ) ? 3解析 在 Rt△ ABD中 ,AB=200 m,∠ ABD=60176。, ∴ BD=2200=400(m), AD=200? (m). ∴ S△ ABD=? ABAD =? 200200? ≈ 34 640(m2), 過點 C作 CE⊥ BD,垂足為點 E. ? 在 Rt△ BEC中 ,CE=BCsin∠ CBD =300sin 54176?！?300=(m). ∴ S△ BCD=? BDCE=? 400=48 540(m2). 31212312 12∴ S四邊形 ABCD=S△ ABD+S△ BCD=34 640+48 540=83 180(m2). 答 :所求的水田的面積是 83 180 m2. 考點三 解直角三角形的應(yīng)用 1.(2022百色 ,10,3分 )如圖 ,在距離鐵軌 200米的 B處 ,觀察由南寧開往百色的“和諧號”動車 ,當 動車車頭在 A處時 ,恰好位于 B處的北偏東 60176。方向上 。10秒鐘后 ,動車車頭到達 C處 ,恰好位于 B 處的西北方向上 ,則這時段動車的平均速度是 ? ( ) ? (? +1)米 /秒 (? 1)米 /秒 /秒 /秒 3 3答案 A 作 BD⊥ AC于點 D. ∵ 在 Rt△ ABD中 ,∠ ABD=60176。, ∴ AD=BDtan∠ ABD=200? (米 ), 在 Rt△ BCD中 ,∠ CBD=45176。,CD=BD=200(米 ). 故 AC=200+200? (米 ). 則平均速度是 ? =20(? +1)米 /秒 . 故選 A. 33200 200 310? 32.(2022南寧 ,11,3分 )如圖 ,一艘海輪位于燈塔 P的南偏東 45176。方向 ,距離燈塔 60 n mile的 A處 ,它 沿正北方向航行一段時間后 ,到達位于燈塔 P的北偏東 30176。方向上的 B處 ,這時 ,B處與燈塔 P的距 離為 ? ( ) ? ? n mile ? n mile ? n mile ? n mile 3 23 2答案 B 過點 P作 PC⊥ AB交 AB于點 ∠ APC=90176。45176。=45176。,∠ BPC=90176。30176。=60176。,AP =60 n mile,∴ PC=30? n mile,∴ PB=2PC=60? n mile. 2 23.(2022百色 ,10,3分 )有一輪船在 A處測得南偏東 30176。方向上有一小島 P,輪船沿正南方向航行至 B處 ,測得小島 P在南偏東 45176。方向上 ,按原方向再航行 10海里至 C處 ,測得小島 P在正東方向上 , 則 A,B之間的距離是 ? ( ) ? ? 海里 ? 10 海里 海里 ? 10 海里 3 23答案 D 由題意得 ∠ CAP=30176。,∠ CBP=45176。,BC=10海里 , 在 Rt△ BCP中 , ∵∠ CBP=45176。,∴ CP=BC=10海里 , 在 Rt△ APC中 , AC=? =? =10? 海里 , ∴ AB=ACBC=(10? 10)海里 . tan PCCAP? 1033334.(2022南寧 ,16,3分 )如圖 ,從甲樓底部 A處測得乙樓頂部 C處的仰角是 30176。,從甲樓頂部 B處測得 乙樓底部 D處的俯角是 45176。.已知甲樓的高 AB是 120 m,則乙樓的高 CD是 m(結(jié)果保留 根號 ). ? 答案 40? 3解析 由題意知 ∠ BDA=45176。,∴ AB=AD=120 m, 又 ∵∠ CAD=30176。,∴ 在 Rt△ ADC中 ,tan∠ CAD=tan 30176。=? =? ,∴ CD=40? m. CDAD 33 3方法總結(jié) 三角函數(shù)的應(yīng)用關(guān)鍵是要構(gòu)造直角三角形 ,找到已知線段、角度與要求線段之間 的關(guān)系 ,借助三角函數(shù)構(gòu)造線段長的數(shù)量、比例關(guān)系進而求出所要求的線段長 . 5.(2022桂林 ,23,8分 )如圖所示 ,在某海域 ,一艘指揮船在 C處收到漁船在 B處發(fā)出的求救信號 ,經(jīng) 確定 ,遇險拋錨的漁船所在的 B處位于 C處的南偏西 45176。方向上 ,且 BC=60海里 。指揮船搜索發(fā)現(xiàn) , 在 C處的南偏西 60176。方向上有一艘海監(jiān)船 A,恰好位于 B處的正西方向 .于是命令海監(jiān)船 A前往救 援 ,已知海監(jiān)船 A的航行速度為 30海里 /小時 ,問漁船在 B處需要等待多長時間才能得到海監(jiān)船 A 的救援 ?(參考數(shù)據(jù) :? ≈ ,? ≈ ,? ≈ ,結(jié)果精確到 ) ? 2 3 6解析 過點 C作 CD⊥ AB,交 AB的延長線于點 D, 在 Rt△ BCD中 ,BC=60海里 ,∠ BCD=45176。, ∴ BD=CD=BCsin∠ BCD=30? 海里 , 在 Rt△ ACD中 ,∠ ACD=60176。, ∴ AD=CDtan 60176。=30? 海里 , ∴ AB=ADBD=(30? 30? )海里 , ∴ (30? 30? )247。30=? ? ≈ (小時 ). 答 :漁船在 B處需要等待 A的救援 . ? 266 26 2 6 26.(2022賀州 ,22,8分 )如圖 ,一艘游輪在 A處測得北偏東 45176。的方向上有一燈塔 B,游輪以 20? 海 里 /時的速度向正東方向航行 2小時到達 C處 ,此時測得燈塔 B在 C處北偏東 15176。的方向上 ,求 A處 與燈塔 B相距多少海里 .(結(jié)果精確到 1海里 ,參考數(shù)據(jù) :? ≈ ,? ≈ ) ? 22 3解析 過 C作 CM⊥ AB,垂足為 M, 在 Rt△ ACM中 ,∠ MAC=90176。45176。=45176。,則 ∠ MCA=45176。, ∴ AM=MC, 由勾股定理得 AM2+MC2=AC2=(20? 2)2, 解得 AM=CM=40海里 , ∵∠ ECB=15176。,∴∠ BCF=90176。15176。=75176。, ∴∠ B=∠ BCF∠ MAC=75176。45176。=30176。, 在 Rt△ BCM中 ,tan B=tan 30176。=? ,即 ? =? , ∴ BM=40? 海里 , ∴ AB=AM+BM=40+40? ≈ 40+40≈ 109(海里 ), ∴ A處與燈塔 B相距 109海里 . 2CMBM 3340BM337.(2022梧州 ,23,8分 )隨著人們生活水平的不斷提高 ,旅游已成為人們的一種生活時尚 .為開發(fā) 新的旅游項目 ,我市對某山區(qū)進行調(diào)查 ,發(fā)現(xiàn)一瀑布 ,為測量它的高度 ,測量人員在瀑布的對面 山上 D點處測得瀑布頂端 A點的仰角是 30176。,測得瀑布底端 B點的俯角是 10176。,AB與水平面垂直 .又 在瀑布下的水平面測得 CG=27 m,GF= m(注 :C、 G、 F三點在同一直線上 ,CF⊥ AB于點 F). 斜坡 CD=20 m,坡角 ∠ ECD=40176。,求瀑布 AB的高度 . (參考數(shù)據(jù) :? ≈ ,sin 40176。≈ ,cos 40176?！?,tan 40176?！?,sin 10176?！?,cos 10176。≈ ,tan 10176?！?) ? 3解析 如圖 ,過點 D作 DH⊥ AB于點 H,過點 D作 DJ⊥ EF于點 J, ? 在 Rt△ CDJ中 ,CD=20 m, cos∠ ECD=? ,即 ? ≈ , ∴ JC≈ m, ∴ JF=JC+CG+GF≈ +27+=60 m. DH=JF=60 m. JCDC 20JC在 Rt△ ADH中 ,tan∠ ADH=? ,即 ? =? ,∴ AH=20? m. 同理 ,tan∠ BDH=? ,即 ? ≈ ,∴ BH≈ m, ∴ AB=AH+BH≈ 20+= m. AHDH 60AH 333BHDH 60BH8.(2022桂林 ,23,8分 )“C919”大型客機首飛成功 ,激發(fā)了同學(xué)們對航空科技的興趣 .下圖是某 校航模興趣小組獲得的一張數(shù)據(jù)不完整的航模飛機機翼圖紙 ,圖中 AB∥ CD,AM∥ BN∥ ED,AE ⊥ DE,請根據(jù)圖中數(shù)據(jù) ,求出線段 BE和 CD的長 .(sin 37176。≈ ,cos 37176。≈ ,tan 37176。≈ ,結(jié)果 保留小數(shù)點后一位 ) ? 解析 ∵ BN∥ ED,∴∠ NBD=∠ BDE=37176。, ∵ AE⊥ DE,∴∠ E=90176。, ∴ BE=DEtan∠ BDE≈ cm, 過點 C作 CF⊥ AE,垂足為 F, ? 可知△ AFC為等腰直角三角形 ,四邊形 CFED是矩形 , ∴ AF=25 cm, 又 ∵ AE=AB+BE≈ cm, ∴ CD=EF=AEAF≈ cm.