【文章內容簡介】 N+∠ NEQ=90176。, ∴∠ MEP=∠ NEQ, ∴ △ MEP∽ △ NEQ, ∴ EP∶ EQ=EM∶ EN=AE∶ CE=1∶ 2. (3)過 E點作 EM⊥ AB于點 M,作 EN⊥ BC于點 N, ∵ 在四邊形 PEQB中 ,∠ B=∠ PEQ=90176。, ∴∠ EPB+∠ EQB=180176。(四邊形的內角和是 360176。), 又 ∵∠ EPB+∠ MPE=180176。(平角是 180176。), ∴∠ MPE=∠ EQN(等量代換 ), ∴ Rt△ MEP∽ Rt△ NEQ, ∴ ? =? (兩個相似三角形的對應邊成比例 ). 在 Rt△ AME∽ Rt△ ENC中 , ∴ ? =m=? , ∴ ? =1∶ m=? , EP與 EQ滿足的數(shù)量關系式為 EP∶ EQ=1∶ m, ∴ 0m≤ 2+? 。(當 m2+? 時 ,EF與 BC不會相交 ). ? EPEQ MEENCEEA ENMEEPEQ AECE6 6探究二 :若 AC=30 cm,? =2, 則 DF=30,EF=10? ,AE=10,CE=20. (1)設 EQ=x,則 S=? x2, 所以當 x=10? 時 ,面積最小 ,是 50 cm2。 當 x=10? 時 ,面積最大 ,是 75 cm2. (2)當 x=EB=5? 時 ,S= cm2, 故當 50S≤ ,這樣的三角形有 2個 。 當 S=50或 S≤ 75時 ,這樣的三角形有 1個 . CEAE3142310思路分析 探究一 :(1)連接 BE,根據(jù)已知條件得到 E是 AC的中點 ,根據(jù)等腰直角三角形的性質 可得到全等三角形 ,從而證明結論 。 (2)作 EM⊥ AB于 M,EN⊥ BC于 N,根據(jù)兩個角對應相等證明△ MEP∽ △ NEQ,發(fā)現(xiàn) EP∶ EQ= EM∶ EN,再根據(jù)等腰直角三角形的性質得到 EM∶ EN=AE∶ CE,從而證明結論 。 (3)根據(jù) (2)中求解的過程 ,可以直接寫出結果 。要求 m的取值范圍 ,根據(jù)交點的位置的限制進行分 析 . 探究二 :(1)設 EQ=x,結合上述結論 ,用 x表示出三角形的面積 ,根據(jù) x的最值求得面積的最值 。 (2)首先求得 EQ和 EB重合時的三角形的面積的值 ,再進一步分情況討論 . 解后反思 本題是一道壓軸題 ,考查相似三角形的判定與性質、二次函數(shù)的最值、旋轉的性 質等知識點 ,熟練運用等腰直角三角形的性質和相似三角形的判定和性質 ,構造輔助線證明全 等和相似是解題關鍵 ,體現(xiàn)數(shù)形結合、分類討論的思想 . 10.(2022連云港 ,24,10分 )在一次科技活動中 ,小明進行了模擬雷達掃描試驗 .如圖 ,表盤是△ ABC,其中 AB=AC,∠ BAC=120176。.在點 A處有一束紅外光線 AP,從 AB開始 ,繞點 A逆時針勻速旋轉 , 每秒鐘旋轉 15176。,到達 AC后立即以相同旋轉速度返回 AB,到達后立即重復上述旋轉過程 .小明通 過試驗發(fā)現(xiàn) ,光線從 AB處旋轉開始計時 ,旋轉 1秒 ,此時光線 AP交 BC邊于點 M,BM的長為 (20? 20)cm. (1)求 AB的長 。 (2)從 AB處旋轉開始計時 ,若旋轉 6秒 ,此時光線 AP與 BC邊的交點在什么位置 ?若旋轉 2 014秒 , 交點又在什么位置 ?請說明理由 . ? 3解析 (1)如圖 1,過點 A作 AD⊥ BC,垂足為 ∠ BAC=120176。,AB=AC,所以 ∠ ABC=∠ C=30176。. 令 AB=2t Rt△ ABD中 ,AD=? AB=t cm,BD=? AB=? t cm. 在 Rt△ AMD中 ,因為 ∠ AMD=∠ ABC+∠ BAM=45176。,所以 MD=AD=t cm. 因為 BM=BDMD, 所以 ? tt=20? 20,解得 t=20. 所以 AB=220=40 cm. 答 :AB的長為 40 cm.? (4分 ) ? 圖 1 12 3233 3(2)如圖 2,當光線旋轉 6秒時 ,設 AP交 BC于點 N,此時 ∠ BAN=15176。6=90176。. ? 圖 2 在 Rt△ ABN中 ,BN=? =? =? cm. 所以光線 AP旋轉 6秒時 ,與 BC的交點 N在距點 B? cm處 .(7分 ) 如圖 3,設光線 AP旋轉 2 014秒時與 BC的交點為 Q. cos 30AB?40328 0 338 0 33? 圖 3 由題意可知 ,光線從邊 AB處開始到第一次回到 AB處需 82=16秒 ,又 2 014=12516+14, 所以 AP旋轉 2 014秒與旋轉 14秒時和 BC的交點是同一個點 Q. 易求得 ,CQ=? cm,BC=40? cm, 所以 BQ=BCCQ=40? ? =? cm. 所以光線 AP旋轉 2 014秒時 ,與 BC的交點 Q在距點 B? cm處 .? (10分 ) 8 0 33 33 8 0 33 4 0 334 0 33考點 1 圖形的軸對稱 B組 2022— 2022年 全國 中考題組 1.(2022安徽 ,10,4分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=5,AD= P滿足 S△ PAB=? S矩形 P到 A,B兩 點距離之和 PA +PB的最小值為 ? ( ) ? A.? B.? ? D.? 1329 34 2 41答案 D 如圖 ,過 P點作 MN,使 MN∥ AB,作 A點關于 MN的對稱點 A1,連接 PA 1,A1B,則 PA 1=PA ,設 點 P到 AB的距離為 h,由 AB=5,AD=3,S△ PAB=? S矩形 ABCD可得 h=2,則 AA1=4,因為 PA +PB=PA 1+PB≥ A1 B,所以當 P為 A1B與 MN的交點時 ,PA +PB最小 ,其最小值為 ? =? ,故選 D. ? 132245? 41疑難突破 本題的突破口是根據(jù) S△ PAB=? S矩形 ABCD推出 P點是在平行于 AB的線段上運動 ,從而想 到利用軸對稱的性質將問題轉化 . 132.(2022河北 ,13,2分 )如圖 ,將 ?ABCD沿對角線 AC折疊 ,使點 B落在點 B39。處 .若 ∠ 1=∠ 2=44176。,則 ∠ B為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 C 設 AB39。與 CD相交于點 P,由折疊知 ∠ CAB39。=∠ CAB,由 AB∥ CD,得 ∠ 1=∠ BAB39。, ∴∠ CAB=∠ CAB39。=? ∠ 1=22176。.在△ ABC中 ,∠ CAB=22176。,∠ 2=44176。,∴∠ B=180176。22176。44176。=114176。. 12評析 折疊問題是中考中的常見題目 ,在解決這類問題時 ,要抓住折疊前后圖形的變化特征 ,從 某種意義上說 ,折疊問題其實就是軸對稱問題 . 3.(2022天津 ,10,3分 )如圖 ,把一張矩形紙片 ABCD沿對角線 AC折疊 ,點 B的對應點為 B39。,AB39。與 DC 相交于點 E,則下列結論一定正確的是 ? ( ) ? A.∠ DAB39。=∠ CAB39。 B.∠ ACD=∠ B39。CD =AE =CE 答案 D 由折疊知 ,∠ EAC=∠ BAC,∵ AB∥ CD,∴∠ ECA=∠ BAC,∴∠ EAC=∠ ECA,∴ AE= D. 4.(2022福建福州 ,7,3分 )如圖 ,在 33的正方形網格中有四個格點 A,B,C,D,以其中一點為原點 ,網 格線所在直線為坐標軸 ,建立平面直角坐標系 ,使其余三個點中存在兩個點關于一條坐標軸對 稱 ,則原點是 ? ( ) ? 答案 B 以點 B為坐標原點 ,網格線所在直線為坐標軸 ,建立平面直角坐標系 ,則點 A,C關于坐 標軸對稱 ,故選 B. 5.(2022河北 ,3,3分 )一張菱形紙片按圖 圖 2依次對折后 ,再按圖 3打出一個圓形小孔 ,則展開 鋪平后的圖案是 ? ( ) ? ? 答案 C 可以動手操作 ,也可根據(jù)對折的順序及菱形的對稱性來判斷 .選 C. 6.(2022重慶 ,2,4分 )下列圖形是軸對稱圖形的是 ? ( ) ? 答案 A A選項是軸對稱圖形 ,B、 C、 D選項都不是軸對稱圖形 ,故選 A. 7.(2022遼寧沈陽 ,6,3分 )正方形是軸對稱圖形 ,它的對稱軸有 ? ( ) 答案 B 如圖所示 ,正方形有 4條對稱軸 ,故選 B. ? 8.(2022湖南郴州 ,5,3分 )下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是 ? ( ) 答案 C 等腰三角形、等腰梯形只是軸對稱圖形 ,平行四邊形只是中心對稱圖形 ,矩形既是 軸對稱圖形又是中心對稱圖形 ,故選 C. 9.(2022安徽 ,8,4分 )如圖 ,Rt△ ABC中 ,AB=9,BC=6,∠ B=90176。,將△ ABC折疊 ,使 A點與 BC的中點 D 重合 ,折痕為 MN,則線段 BN的長為 ? ( ) ? A.? B.? 53 52答案 C 設 BN=x,由折疊的性質可得 DN=AN=9x, ∵ D是 BC的中點 , ∴ BD= Rt△ BND中 ,x2+32=(9x)2, 解得 x=4. 故線段 BN的長為 C. 評析 本題考查了折疊問題 ,利用勾股定理構造方程求線段長 ,綜合性較強 . 10.(2022湖北黃岡 ,13,3分 )如圖 ,圓柱形玻璃杯高為 14 cm,底面周長為 32 cm,在杯內壁離杯底 5 cm的點 B處有一滴蜂蜜 ,此時一只螞蟻正好在杯外壁 ,離杯上沿 3 cm與蜂蜜相對的點 A處 ,則螞 蟻從外壁 A處到內壁 B處的最短距離為 cm(杯壁厚度不計 ). ? 答案 20 解析 如圖 ,將圓柱側面展開 ,延長 AC至 A39。,使 A39。C=AC,連接 A39。B,則線段 A39。B的長為螞蟻到蜂蜜的 最短距離 .過 B作 BB39。⊥ AD,垂足為 B39。.在 Rt△ A39。B39。B中 ,B39。B=16,A39。B39。=145+3=12,所以 A39。B= ? =? =20,即螞蟻從外壁 A處到內壁 B處的最短距離為 20 cm. ? 2239。 39。 39。BB AB? 2216 12?11.(2022寧夏 ,15,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=3,BC=5,在 CD上任取一點 E,連接 BE,將△ BCE沿 BE折疊 ,使點 C恰好落在 AD邊上的點 F處 ,則 CE的長為 . ? 答案 ? 53解析 設 CE=x,在矩形 ABCD中 ,∵ AB=3,BC=5,∴ AD=BC=5,CD=AB=3,則 ED= 質可知 ,BF=BC=5,FE=CE= Rt△ ABF中 ,AF=? =4,∴ FD=54= Rt△ DEF中 ,有 DF2+ DE2=EF2,即 12+(3x)2 =x2,解得 x=? ,即 CE的長為 ? . 2253?53 5312.(2022湖南郴州 ,16,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=8,BC=10,E是 AB上一點 ,將矩形 ABCD沿 CE 折疊后 ,點 B落在 AD邊的點 F上 ,則 DF的長為 . ? 答案 6 解析 在矩形 ABCD中 ,CD=AB=8,由對稱性知 CF=BC=10,在 Rt△ DCF中 ,DF=? =6. 22FC CD?評析 本題考查了矩形的性質、圖形的對稱、勾股定理的應用等知識 ,屬容易題 . 13.(2022貴州貴陽 ,24,12分 )如圖 ,將一副直角三角板拼放在一起得到四邊形 ABCD,其中 ∠ BAC =45176。,∠ ACD=30176。,點 E為 CD邊的中點 ,連接 AE,將△ ADE沿 AE所在直線翻折得到△ AD39。E,D39。E交 AC于 F點 ,若 AB=6? cm. (1)AE的長為 cm。 (2)試在線段 AC上確定一點 P,使得 DP+EP的值最小 ,并求出這個最小值 。 (3)求點 D39。到 BC的距離 . ? 2解析 (1)4? .? (4分 ) (2)∵ 在 Rt△ ADC中 ,∠ ACD=30176。,∴∠ ADC=60176。. ∵ E為 CD邊的中點 ,∴ AE=DE,∴ △ ADE為等邊三角形 , ∵ 將△ ADE沿 AE所在直線翻折得到△ AD39。E, ∴ △ AD39。E為等邊三角形 ,? (5分 ) ∴∠ AED39。=60176。,∵∠ EAC=∠ DAC∠ EAD=30176。, ∴∠ EFA=90176。, 即 AC垂直平分線段 ED39。, ∴ 點 E,D39。關于直線 AC對稱 ,? (6分 ) ? 3連接 DD39。交 AC于點 P,連接 EP, 此時 DP+EP的值最小 , 且 DP+EP=DD39。.(7分 ) ∵ △ ADE是等邊三角形 , AD=AE=4? cm, ∴ DD39。=2? AD=12 cm, 即 DP+EP的最小值為 12 cm.? (8分 ) (3)連接 CD39。,BD39。,過 D39。作 D39。G⊥ BC于點 G, ∵ AC垂直平分 ED39。, ∴ AE=AD39。,CE=CD39。. ∵ AE=CE,∴ AD39。=CD39。=4? cm.? (9分 ) 又 ∵ AB=BC,BD39。=BD39。, ∴ △ ABD39?！?△