【文章內(nèi)容簡介】 的角平分線 ,點(diǎn) E在 BC的 延長線上 ,EF⊥ AD于點(diǎn) F,點(diǎn) G在 AF上 ,FG=FD,連接 EG交 AC于點(diǎn) H,若點(diǎn) H是 AC的中點(diǎn) ,則 ? 的值為 . ? AGFD答案 ? 43解析 ∵ EF⊥ AD,FG=FD,∴ EF垂直平分 GD,∴ EG=ED,∴∠ EGD=∠ EDG,∴∠ AGH=∠ ADB, 又 ∵∠ BAD=∠ HAG, ∴ △ ABD∽ △ AHG,∴ ? =? .∵ 4AB=5AC,AH=? AC,∴ ? =? ,∴ ? =? ,∴ ? =? .∴ ? = ? . ABAH ADAG 12ABAH 52ADAG 52AGGD23AGFD436.(2022江蘇南京 ,15,2分 )如圖 ,AB、 CD相交于點(diǎn) O,OC=2,OD=3,AC∥ △ ODB的中位 線 ,且 EF=2,則 AC的長為 . ? 答案 ? 83解析 ∵ EF是△ ODB的中位線 , ∴ OE=? OD=? ,EF∥ BD, ∵ AC∥ BD,EF∥ BD, ∴ AC∥ EF,∴ ? =? , ∴ ? =? ,∴ AC=? . 12 32ACEF OCOE2AC232837.(2022湖北武漢 ,16,3分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ ABC=90176。 ,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5? ,則 BD長為 . ? 5答案 2? 41解析 如圖 ,連接 AC,過點(diǎn) D作 DE⊥ BC,交 BC的延長線于 E.∵∠ ABC=90176。 ,AB=3,BC=4,∴ AC=5, ∵ CD=10,DA=5? ,∴ AC2+CD2=AD2,∴∠ ACD=90176。 ,∴∠ ACB+∠ DCE=90176。 ,∵∠ ACB+∠ BAC=9 0176。 ,∴∠ BAC=∠ DCE,又 ∵∠ ABC=∠ DEC=90176。 ,∴ △ ABC∽ △ CED,∴ ? =? =? ,即 ? =? = ? ,∴ CE=6,DE= Rt△ BED中 ,BD=? =? =2? . ? 5ACCD ABCEBCDE 5103CE4DE22BE DE? 22(4 6) 8?? 418.(2022重慶 ,15,4分 )已知△ ABC∽ △ DEF,△ ABC與△ DEF的相似比為 4∶ 1,則△ ABC與△ DEF 對(duì)應(yīng)邊上的高之比為 . 答案 4∶ 1 解析 兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比等于相似比 ,所以答案是 4∶ 1. 9.(2022江蘇連云港 ,25,10分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ABC=90176。 ,BC=3,D為 AC延長線上一點(diǎn) ,AC=3 D作 DH∥ AB,交 BC的延長線于點(diǎn) H. (1)求 BDcos∠ HBD的值 。 (2)若 ∠ CBD=∠ A,求 AB的長 . ? 解析 (1)∵ DH∥ AB, ∴∠ BHD=∠ ABC=90176。 , ∵∠ ACB=∠ DCH, ∴ △ ABC∽ △ DHC,∴ ? =? . ∵ AC=3CD,BC=3, ∴ CH=1. ∴ BH=BC+CH=4. 在 Rt△ BHD中 ,cos∠ HBD=? , ∴ BDcos∠ HBD=BH=4.? (4分 ) (2)解法一 :∵∠ A=∠ CBD,∠ ABC=∠ BHD, ∴ △ ABC∽ △ BHD.? (6分 ) ∴ ? =? . 由 (1)知△ ABC∽ △ DHC, ACDC BCHCBHBDBCHD ABBH∴ ? =? =? ,∴ AB=3DH. ∴ ? =? ,DH=2,∴ AB=6.? (10分 ) 解法二 :∵∠ CBD=∠ A,∠ BDC=∠ ADB, ∴ △ CDB∽ △ BDA. ∴ ? =? ,BD2=CDAD, ∴ BD2=CD4 CD=4CD2. ∴ BD=2CD.? (6分 ) ∵ △ CDB∽ △ BDA, ∴ ? =? ,∴ ? =? , ∴ AB=6.? (10分 ) ABDH ACDC313DH 3 4DHCDBD BDADCDBD BCAB 2CDCD 3AB10.(2022福建福州 ,25,13分 )如圖① ,在銳角△ ABC中 ,D,E分別為 AB,BC中點(diǎn) ,F為 AC上一點(diǎn) ,且 ∠ AFE=∠ A,DM∥ EF交 AC于點(diǎn) M. (1)求證 :DM=DA。 (2)點(diǎn) G在 BE上 ,且 ∠ BDG=∠ C,如圖② ,求證 :△ DEG∽ △ ECF。 (3)在圖②中 ,取 CE上一點(diǎn) H,使 ∠ CFH=∠ B,若 BG=1,求 EH的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ DM∥ EF, ∴∠ AMD=∠ AFE. ∵∠ AFE=∠ A, ∴∠ AMD=∠ A. ∴ DM=DA. (2)證明 :∵ D,E分別為 AB,BC的中點(diǎn) , ∴ DE∥ AC. ∴∠ DEB=∠ C,∠ BDE=∠ A. 又 ∠ AFE=∠ A, ∴∠ BDE=∠ AFE. ∴∠ BDG+∠ GDE=∠ C+∠ FEC. 又 ∵∠ BDG=∠ C, ∴∠ EDG=∠ FEC. ∴ △ DEG∽ △ ECF. (3)解法一 :如圖 a所示 , ? 圖 a ∵∠ BDG=∠ C=∠ DEB,∠ B=∠ B, ∴ △ BDG∽ △ BED. ∴ ? =? ,即 BD2=BEBG. ∵∠ A=∠ AFE,∠ B=∠ CFH, ∴∠ C=180176。 ∠ AFE∠ CFH=∠ EFH. 又 ∵∠ FEH=∠ CEF,∴ △ EFH∽ △ ECF. ∴ ? =? ,即 EF2=EHEC. BDBE BGBDEHEF EFEC∵ DE∥ AC,DM∥ EF, ∴ 四邊形 DEFM是平行四邊形 . ∴ EF=DM=AD=BD. ∵ BE=EC,∴ EH=BG=1. 解法二 :如圖 b,在 DG上取一點(diǎn) N,使 DN=FH. ? 圖 b ∵∠ A=∠ AFE,∠ ABC=∠ CFH,∠ C=∠ BDG, ∴∠ EFH=180176。 ∠ AFE∠ CFH=∠ C=∠ BDG. ∵ DE∥ AC,DM∥ EF, ∴ 四邊形 DEFM是平行四邊形 . ∴ EF=DM=AD=BD. ∴ △ BDN≌ △ EFH. ∴ BN=EH,∠ BND=∠ EHF. ∴∠ BNG=∠ FHC. ∵∠ BDG=∠ C,∠ DBG=∠ CFH, ∴∠ BGD=∠ FHC.∴∠ BNG=∠ BGD. ∴ BN=BG.∴ EH=BG=1. 解法三 :如圖 c,取 AC中點(diǎn) P,連接 PD,PE,PH,則 PE∥ AB. ? 圖 c ∴∠ PEC=∠ ∠ CFH=∠ B, ∴∠ PEC=∠ CFH. 又 ∠ C=∠ C,∴ △ CEP∽ △ CFH.∴ ? =? . ∴ △ CEF∽ △ CPH. ∴∠ CFE=∠ CHP. 由 (2)可得 ∠ CFE=∠ DGE, ∴∠ CHP=∠ DGE.∴ PH∥ DG. ∵ D,P分別為 AB,AC的中點(diǎn) , ∴ DP∥ GH,DP=? BC=BE. ∴ 四邊形 DGHP是平行四邊形 . ∴ DP=GH=BE.∴ EH=BG=1. 解法四 :如圖 d,作△ EHF的外接圓交 AC于另一點(diǎn) P,連接 PE,PH. CECFCPCH12? 圖 d 則 ∠ HPC=∠ HEF,∠ FHC=∠ CPE. ∵∠ B=∠ CFH,∠ C=∠ C,∴∠ A=∠ CHF.∴∠ A=∠ CPE. ∴ PE∥ AB. ∵ DE∥ AC,∴ 四邊形 ADEP是平行四邊形 . ∴ DE=AP=? AC.∴ DE=CP. 由 (2)可得 ∠ GDE=∠ CEF,∠ DEB=∠ C, ∴∠ GDE=∠ CPH.∴ △ DEG≌ △ PCH. ∴ GE=HC.∴ EH=BG=1. 12解法五 :如圖 e,取 AC中點(diǎn) P,連接 PE,PH,則 PE∥ AB. ? 圖 e ∴∠ PEC=∠ ∠ CFH=∠ B, ∴∠ PEC=∠ ∠ C=∠ C, ∴ △ CEP∽ △ CFH.∴ ? =? . ∴ △ CEF∽ △ CPH.∴∠ CEF=∠ CPH. 由 (2)可得 ∠ CEF=∠ EDG,∠ C=∠ DEG. ∵ D,E分別是 AB,BC的中點(diǎn) , ∴ DE=? AC=PC.∴ △ DEG≌ △ PCH. CECFCPCH12∴ CH=EG.∴ EH=BG=1. 11.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,在四邊形 ABCD中 ,點(diǎn) E、 F分別是 AB、 CD的中點(diǎn) .過點(diǎn) E作 AB的 垂線 ,過點(diǎn) F作 CD的垂線 ,兩垂線交于點(diǎn) G,連接 GA、 GB、 GC、 GD、 EF,若 ∠ AGD=∠ BGC. (1)求證 :AD=BC。 (2)求證 :△ AGD∽ △ EGF。 (3)如圖 2,若 AD、 BC所在直線互相垂直 ,求 ? 的值 . ? ? ADEF解析 (1)證明 :由題意知 GE是 AB的垂直平分線 , ∴ GA= GD=GC. 在△ AGD和△ BGC中 ,∵ GA=GB,∠ AGD=∠ BGC,GD=GC, ∴ △ AGD≌ △ BGC.∴ AD=BC.? (5分 ) (2)證明 :∵∠ AGD=∠ BGC,∴∠ AGB=∠ DGC. 在△ AGB和△ DGC中 ,? =? ,∠ AGB=∠ DGC, ∴ △ AGB∽ △ DGC.? (8分 ) ∴ ? =? .又 ∠ AGE=∠ DGF, ∴∠ AGD=∠ EGF,∴ △ AGD∽ △ EGF.? (10分 ) (3)如圖 1,延長 AD交 GB于點(diǎn) M,交 BC的延長線于點(diǎn) H,則 AH⊥ BH. ? GAGD GBGCAGDG EGFG圖 1 由△ AGD≌ △ BGC,知 ∠ GAD=∠ GBC. 在△ GAM和△ HBM中 ,∠ GAD=∠ GBC,∠ GMA=∠ HMB, ∴∠ AGB=∠ AHB=90176。 ,? (12分 ) ∴∠ AGE=? ∠ AGB=45176。 ,∴ ? =? . 又△ AGD∽ △ EGF,∴ ? =? =? .? (14分 ) (本小題解