【文章內(nèi)容簡介】 交 AC,BC于點 E,F,再分別以點 E,F為圓心 ,大于 ? EF的長為半徑畫弧 ,兩弧交于點 P,作射線 CP交 AB于點 BD=3,AC=10,則△ ACD的面積是 . ? 12答案 15 解析 由作圖知 CD是 ∠ ACB的平分線 ,∴ 點 D到 ∠ ACB兩邊的距離相等 ,又 ∠ B=90176。,BD=3,∴ 點 D到 AC邊的距離為 3,∴ △ ACD的面積 =? AC3=? 103=15. 12 123.(2022濟寧 ,14,3分 )如圖 ,在平面直角坐標系中 ,以 O為圓心 ,適當長為半徑畫弧 ,交 x軸于點 M,交 y軸于點 N,再分別以點 M,N為圓心 ,大于 MN長為半徑畫弧 ,兩弧在第二象限交于點 P的坐 標為 (a,b),則 a與 b的數(shù)量關(guān)系為 . ? 答案 a+b=0 解析 由題意可得射線 OP為 ∠ MON的平分線 ,其所在直線的解析式為 y=x,故有 b=a,即 a+b=0. 4.(2022青島 ,15,4分 )已知 :如圖 ,∠ ABC,射線 BC上一點 D. 求作 :等腰△ PBD,使線段 BD為等腰△ PBD的底邊 ,點 P在 ∠ ABC內(nèi)部 ,且點 P到 ∠ ABC兩邊的距 離相等 . ? 解析 如圖所示 : 等腰△ PBD即為所求 . 思路分析 根據(jù)作圖要求可知 ,點 P在線段 BD的垂直平分線上 ,且點 P在 ∠ ABC的平分線上 ,所 以點 P是線段 BD的垂直平分線與 ∠ ABC的平分線的交點 . 疑難突破 根據(jù)題意 ,由兩個條件確定點 P的位置 . B組 2022— 2022年全國中考題組 考點一 軸對稱與折疊 1.(2022遼寧沈陽 ,4,2分 )在平面直角坐標系中 ,點 B的坐標是 (4,1),點 A與點 B關(guān)于 x軸對稱 ,則點 A的坐標是 ? ( ) A.(4,1) B.(1,4) C.(4,1) D.(1,4) 答案 A 關(guān)于 x軸對稱的點 ,橫坐標相同 ,縱坐標互為相反數(shù) . 2.(2022河北 ,3,3分 )圖中由“ ? ”和“ ? ”組成軸對稱圖形 ,該圖形的對稱軸是直線 ? ( ) ? 答案 C 如果一個圖形沿一條直線折疊 ,直線兩旁的部分能夠完全重合 ,這個圖形叫做軸對 稱圖形 ,由此知該圖形的對稱軸是直線 l3,故選 C. 3.(2022天津 ,10,3分 )如圖 ,將一個三角形紙片 ABC沿過點 B的直線折疊 ,使點 C落在 AB邊上的點 E處 ,折痕為 BD,則下列結(jié)論一定正確的是 ? ( ) ? =BD =AC +EB=DB +CB=AB 答案 D 由折疊的性質(zhì)知 ,BC=BE,∴ AE+CB= D. 4.(2022四川內(nèi)江 ,6,3分 )下列圖形 :平行四邊形、矩形、菱形、圓、等腰三角形 ,這些圖形中只 是軸對稱的有 ? ( ) 答案 A 矩形、菱形、圓既是軸對稱又是中心對稱圖形 ,平行四邊形是中心對稱圖形 ,可能 是軸對稱圖形 。只有等腰三角形只是軸對稱圖形 ,故選 A. 5.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,3,3分 )下圖中序號 (1)(2)(3)(4)對應(yīng)的四個三角形 ,都是△ ABC這個圖形 進行了一次變換之后得到的 ,其中是通過軸對稱得到的是 ? ( ) ? A.(1) B.(2) C.(3) D.(4) 答案 A 根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知 ,序號 (1)對應(yīng)的三角形與△ ABC的對應(yīng)點所連的線段被一 條直線 (對稱軸 )垂直平分 ,故選 A. 6.(2022遼寧營口 ,9,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AC=BC,∠ ACB=90176。,點 D在 BC上 ,BD=3,DC=1,點 P是 AB上的動點 ,則 PC+PD的最小值為 ? ( ) 答案 B 過點 C作 CO⊥ AB于 O,延長 CO到 C39。,使 OC39。=OC,連接 DC39。,交 AB于 P,連接 CP. 此時 DP+CP=DP+PC39。=DC39。的值最小 . ∵ DC=1,BD=3,∴ BC=4, 連接 BC39。,由對稱性可知 ∠ C39。BO=∠ CBO=45176。, ∴∠ CBC39。=90176。,∴ C39。B⊥ BC,∠ BCC39。=∠ BC39。C=45176。, ∴ BC=BC39。=4,根據(jù)勾股定理可得 DC39。=? =? = B. ? 2239。BC BD?2243?7.(2022四川成都 ,24,4分 )如圖 ,在菱形 ABCD中 ,tan A=? ,M,N分別在邊 AD,BC上 ,將四邊形 AMNB 沿 MN翻折 ,使 AB的對應(yīng)線段 EF經(jīng)過頂點 D,當 EF⊥ AD時 ,? 的值為 . ? 43BNCN答案 ? 27解析 延長 NF與 DC交于點 H, ∵∠ ADF=90176。,∴∠ A+∠ FDH=90176。, ∵∠ DFN+∠ DFH=180176。,∠ A+∠ B=180176。,∠ B=∠ DFN, ∴∠ A=∠ DFH, ∴∠ FDH+∠ DFH=90176。,∴ NH⊥ DC. 在 Rt△ EDM中 ,tan E=tan A=? , 設(shè) DM=4k(k0),則 DE=3k,EM=5k, ∴ AD=9k=DC,DF=6k. ∵ tan A=tan∠ DFH=? , 則 sin∠ DFH=? , ∴ DH=? DF=? k,∴ CH=9k? k=? k, ∵ cos C=cos A=? =? , ∴ CN=? CH=7k, 43434545245 5215NC353∴ BN=2k,∴ ? =? . ? CN27思路分析 延長 NF與 DC交于點 H,由菱形的性質(zhì)及翻折變換的性質(zhì)得出 NH⊥ DC,構(gòu)造出 Rt△ NHC,在 Rt△ NHC和 Rt△ DHF中 ,利用邊角關(guān)系求得相應(yīng)線段的長 ,再求出 BN,CN的長 ,得出答 案 . 解題關(guān)鍵 本題主要考查了菱形的性質(zhì) ,翻折變換以及解直角三角形 ,靈活運用銳角三角函數(shù) 表示線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵 . 8.(2022四川成都 ,25,4分 )如圖 1,把一張正方形紙片對折得到長方形 ABCD,再沿 ∠ ADC的平分 線 DE折疊 ,如圖 2,點 C落在點 C39。處 ,最后按圖 3所示方式折疊 ,使點 A落在 DE的中點 A39。處 ,折痕是 6 cm,則 FG= cm. ? 答案 ? 10解析 如圖 ,連接 AA39。,作 GM⊥ AD于點 M,作 A39。N⊥ AD于點 N,設(shè) AA39。與 FG交于點 O,由題意知 DN= ? DC39。=? cm,∴ AN=ADDN=? cm,A39。N=? Rt△ AA39。N中 ,AA39。=? =? cm,由對 稱性得 FG垂直平分 AA39。,∴∠ 1+∠ 3=90176。,又 ∠ 2+∠ 3=90176。,∴∠ 1=∠ 2, ∴ Rt△ ANA39。∽ Rt△ GMF,∴ ? =? ,∴ GF=? cm. ? 1232 92 32 2239。AN AN?3 1 0239。AN109.(2022甘肅蘭州 ,26,10分 )如圖 1,將一張矩形紙片 ABCD沿著對角線 BD向上折疊 ,頂點 C落到點 E處 ,BE交 AD于點 F. (1)求證 :△ BDF是等腰三角形 。 (2)如圖 2,過點 D作 DG∥ BE,交 BC于點 G,連接 FG交 BD于點 O. ①判斷四邊形 BFDG的形狀 ,并說明理由 。 ②若 AB=6,AD=8,求 FG的長 . ? 解析 (1)證明 :由折疊得 ,△ BDC≌ △ BDE, ∴∠ DBC=∠ DBF.? (1分 ) 又 ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AD∥ BC, ∴∠ DBC=∠ FDB.? (2分 ) ∴∠ DBF=∠ FDB. ∴ DF=BF. ∴ △ BDF是等腰三角形 .? (3分 ) (2)①四邊形 BFDG是菱形 .? (4分 ) 理由如下 : ∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴ FD∥ BG,? (5分 ) 又 ∵ DG∥ BE, ∴ 四邊形 BFDG是平行四邊形 .? (6分 ) 又 ∵ DF=BF, ∴ 四邊形 BFDG是菱形 .? (7分 ) ② ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴∠ A=90176。, ∴ BD=? =? =10. ∵ 四邊形 BFDG是菱形 , ∴ GF⊥ BD,FG=2OF,OD=? BD=5.? (8分 ) ∵∠ FDO=∠ BDA,∠ FOD=∠ A=90176。, ∴ △ OFD∽ △ ABD.? (9分 ) ∴ ? =? ,即 ? =? ,∴ OF=? . ∴ FG=2OF=? .? (10分 ) 22AB AD?2268?12ABAD6581542思路分析 (1)利用折疊及矩形的性質(zhì)得到角的等量關(guān)系 ,再用等角對等邊轉(zhuǎn)化成邊的等量關(guān) 系 。(2)先判斷四邊形 BFDG是平行四邊形 ,再利用一組鄰邊相等即可判斷四邊形 BFDG是菱形 。 (3)利用相似三角形的性質(zhì) ,把線段 OF與矩形的邊聯(lián)系起來 ,求得線段 OF的長 ,再利用菱形的性 質(zhì)求出 FG的長 . 10.(2022江蘇徐州 ,27,9分 )如圖 ,將邊長為 6的正三角形紙片 ABC按如下順序進行兩次折疊與展 平后 ,得折痕 AD,BE(如圖① ),點 O為其交點 . (1)探求 AO與 OD的數(shù)量關(guān)系 ,并說明理由 。 (2)如圖② ,若 P,N分別為 BE,BC上的動點 , ①當 PN+PD的長度取得最小值時 ,求 BP的長度 。 ②如圖③ ,若點 Q在線段 BO上 ,BQ=1,則 QN+NP+PD的最小值 = . ? 解析 (1)AO=2OD. 理由 :∵ △ ABC是等邊三角形 , ∴∠ BAO=∠ ABO=∠ OBD=30176。, ∴ AO=OB, ∵ BD=CD, ∴ AD⊥ BC, ∴∠ BDO=90176。, ∴ OB=2OD, ∴ OA=2OD. (2)①作點 D關(guān)于 BE的對稱點 D39。,過 D39。作 D39。N⊥ BC分別交 BE、 BC于 P、 N,連接 BD39。, ? 則此時 PN+PD的長度取得最小值 , ∵ BE垂直平分 DD39。, ∴ BD=BD39。, ∵∠ ABC=60176。, ∴ △ BDD39。是等邊三角形 , ∴ BN=? BD=? , ∵∠ PBN=30176。, ∴ ? =? , ∴ PB=? . ② ? .提示 :作 Q關(guān)于 BC的對稱點 Q39。,作 D關(guān)于 BE的對稱點 D39。, 連接 PD、 QN,Q39。D39。,則 Q39。D39。即為 QN+NP+PD的最小值 . 根據(jù)軸對稱的定義可知 :∠ Q39。BN=∠ QBN=30176。,∠ QBQ39。=60176。, ∴ △ B39。為等邊三角形 ,△ BDD39。為等邊三角形 , ∴∠ D39。BQ39。=90176。, ∴ 在 Rt△ D39。BQ39。中 , 1232 32310D39。Q39。=? =? . ∴ QN+NP+PD的最小值為 ? . 2231?10思路分析 (1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到 ∠ BAO=∠ ABO=∠ OBD=30176。,從而得到 AO=OB, 根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論 。 (2)①作點 D關(guān)于 BE的對稱點 D39。,過 D39。作 D39。N⊥ BC分別交 BE、 BC于 P、 N,連接 BD39。,則此時 PN+ PD的長度取得最小值 ,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)知 BD=BD39。,從而推出△ BDD39。是等邊三角形 , 得到 BN=? BD=? ,從而可得結(jié)論 。 ②作 Q關(guān)于 BC的對稱點 Q39。,作 D關(guān)于 BE的對稱點 D39。,連接 PD、 QN,Q39。D39。,則 Q39。D39。即為 QN+NP+PD 的最小值 .根據(jù)軸對稱的定義得到 ∠ Q39。BN=∠ QBN=30176。,∠ QBQ39。=60176。,從而得到△ B39。為等邊 三角形 ,△ BDD39。為等邊三角形 ,解直角三角形即可得到結(jié)論 . 1232解題關(guān)鍵 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定 ,解直角三角形 ,最短路徑問題 ,根據(jù)軸對稱的 定義 ,找到相等的線段是解題的關(guān)鍵 . 考點二 圖形的平移 1.(2022江西 ,5,3分 )小軍同學(xué)在網(wǎng)格紙上將某些圖形進行平移操作 ,他發(fā)現(xiàn)平移前后的兩個圖 形所組成的圖形可以是軸對稱圖形 .如圖所示 ,現(xiàn)在他將正方形 ABCD從當前位置開始進行一 次平移操作 ,平移后的正方形的頂點也在格點上 ,則使平移前后的兩個正方形組成軸對稱圖形 的平移方向有 ? ( ) ? 答案 C 如圖所示 ,正方形 ABCD可以向上、向下、向右以及沿射線 AC或 BD方向平移 ,平移 后的兩個正方形組成軸對稱圖形 .故選 C. ? 2.(2022河北 ,15,2分 )如圖 ,點 I為△ ABC的內(nèi)心 ,AB=4,AC=3,BC=2,將 ∠ ACB平移使其頂點與 I重 合 ,則圖中陰影部分的周長為 ? ( ) ? 答案 B 如圖 ,連接 AI,BI,∵ 點 I為△ ABC的內(nèi)心 ,∴ AI平分 ∠ BAC,BI平分 ∠ ABC,∵ AC∥ IE,∴ ∠ CAI=∠ AIE,∴∠ EAI=∠ AIE,∴ AE= ,BF=FI,∴ 陰影部