【文章內(nèi)容簡介】 ∴ AB=FDtan 176。≈ =≈ 18(米 ). 答 :旗桿 AB的高度約為 18米 . 解法二 :作 FG⊥ AB于點 G, AEFEAB? 由題意知 ,△ ABE和△ FDE均為等腰直角三角形 , ∴ AB=BE,DE=FD=, ∴ FG=DB=DE+BE=AB+,AG=ABGB=ABFD=. 在 Rt△ AFG中 ,? =tan∠ AFG=tan 176。,即 ? =tan 176。, 解得 AB=≈ 18(米 ). 答 :旗桿 AB的高度約為 18米 . FG??思路分析 思路一 :由題意可確定 ∠ AEF=90176。,從而可推出△ ABE∽ △ FDE,最后由相似三角形 中對應邊的比相等求解 。思路二 :作 FG⊥ AB于點 G,由題意可推出△ ABE和△ FDE均為等腰直 角三角形 ,在直角三角形 AFG中由銳角三角函數(shù)求出 AB. 5.(2022四川成都 ,18,8分 )由我國完全自主設計、自主建造的首艘國產(chǎn)航母于 2022年 5月成功 完成第一次海上試驗任務 .如圖 ,航母由西向東航行 ,到達 A處時 ,測得小島 C位于它的北偏東 70176。 方向 ,且與航母相距 80海里 ,再航行一段時間后到達 B處 ,測得小島 C位于它的北偏東 37176。方向 .如 果航母繼續(xù)航行至小島 C的正南方向的 D處 ,求還需航行的距離 BD的長 . (參考數(shù)據(jù) :sin 70176?！?,cos 70176?！?,tan 70176?！?,sin 37176?！?,cos 37176?！?,tan 37176?！? 5) ? 解析 由題可知 ∠ ACD=70176。,∠ BCD=37176。,AC=80. 在 Rt△ ACD中 ,cos∠ ACD=? ,∴ ≈ ? ,∴ CD≈ , 在 Rt△ BCD中 ,tan∠ BCD=? ,∴ ≈ ? ,∴ BD≈ . 答 :還需要航行的距離 BD的長為 . 807 . 26.(2022河南 ,20,9分 )“高低杠”是女子體操特有的一個競技項目 ,其比賽器材由高、低兩根平 行杠及若干支架組成 ,運動員可根據(jù)自己的身高和習慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)高、低兩杠間的距 離 .某興趣小組根據(jù)高低杠器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學問題 ,請你解答 . 如圖所示 ,底座上 A,B兩點間的距離為 90 C到直線 AB的距離 CE的長為 155 cm,高 杠上點 D到直線 AB的距離 DF的長為 234 cm,已知低杠的支架 AC與直線 AB的夾角 ∠ CAE為 176。,高杠的支架 BD與直線 AB的夾角 ∠ DBF為 176。.求高、低杠間的水平距離 CH的長 . (結(jié)果精確到 1 :sin 176。≈ ,cos 176?！?,tan 176?！?,sin 176?！? 3,cos 176?！?,tan 176?！?) 解析 在 Rt△ CAE中 ,AE=? =? ≈ ? ≈ .? (3分 ) 在 Rt△ DBF中 ,BF=? =? ≈ ? =40.? (6分 ) ∴ EF=AE+AB+BF=+90+40=≈ 151. ∵ 四邊形 CEFH為矩形 ,∴ CH=EF=151. 即高、低杠間的水平距離 CH的長約是 151 cm.? (9分 ) tan CECAE?155tan ?1557 .5 0 0t DFDBF234ta .3?2345 .8 5 0思路分析 根據(jù) Rt△ CAE和 Rt△ DBF中的邊和角的數(shù)值 ,用正切函數(shù)分別求得 AE,BF的長度 , 得 EF=AE+AB+BF,由矩形的性質(zhì)可知 CH=EF,可以求出問題的答案 . 方法總結(jié) 解直角三角形的應用問題 ,一般根據(jù)題意抽象出幾何圖形 ,結(jié)合所給的線段或角 ,借 助邊角關系、三角函數(shù)的定義解題 ,若幾何圖形中無直角三角形 ,則需要根據(jù)條件構(gòu)造直角三 角形 ,再解直角三角形 ,求出實際問題的答案 . 7.(2022云南昆明 ,19,7分 )小婷在放學路上 ,看到隧道上方有一塊宣傳“中國 —— 南亞博覽會” 的豎直標語牌 CD,她在 A點測得標語牌頂端 D處的仰角為 42176。,測得隧道底端 B處的俯角為 30176。 (B,C,D在同一條直線上 ),AB=10 m,隧道高 m(即 BC= m),求標語牌 CD的長 (結(jié)果保留小數(shù) 點后一位 ). (參考數(shù)據(jù) :sin 42176?！?,cos 42176?！?,tan 42176。≈ ,? ≈ ) ? 3解析 如圖 ,過點 A作 AE⊥ BD于點 E,? (1分 ) ? 由題意得 ∠ DAE=42176。,∠ EAB=30176。, 在 Rt△ ABE中 ,∠ AEB=90176。,AB=10,∠ EAB=30176。, ∴ BE=? AB=? 10=5.? (2分 ) ∵ cos∠ EAB=? , ∴ AE=ABcos 30176。=10? =5? .? (4分 ) 在 Rt△ DEA中 ,∠ DEA=90176。,∠ DAE=42176。, ∵ tan∠ DAE=? , 1212AE323AE思路分析 作 AE⊥ BD于點 E,構(gòu)造直角△ DEA和直角△ ABE,解直角△ DEA和直角△ ABE,求得 BE,DE的長 ,進而可求出 CD的長度 . ∴ DE=AEtan 42176?！?5? =? ,? (5分 ) ∴ CD=BE+EDBC=5+? ≈ (m).? (6分 ) 答 :標語牌 CD的長約為 m.? (7分 ) 393228.(2022河南 ,19,9分 )如圖所示 ,我國兩艘海監(jiān)船 A,B在南海海域巡航 ,某一時刻 ,兩船同時收到指 令 ,立即前往救援遇險拋錨的漁船 ,B船在 A船的正南方向 5海里處 ,A船測得漁船 C在其南 偏東 45176。方向 ,B船測得漁船 C在其南偏東 53176。方向 .已知 A船的航速為 30海里 /小時 ,B船的航速為 25海里 /小時 ,問 C船至少要等待多長時間才能得到救援 ?? 參考數(shù)據(jù) :sin 53176?！?? ,cos 53176?！?? , tan 53176?！?? ,? ≈ ? ? 4 3543 2解析 過點 C作 CD⊥ AB交 AB延長線于點 D,則 ∠ CDA=90176。.? (1分 ) 已知 ∠ CAD=45176。,設 CD=x海里 ,則 AD=CD=x海里 . ∴ BD=ADAB=(x5)海里 .? (3分 ) 在 Rt△ BDC中 ,CD=BDtan 53176。,即 x=(x5)tan 53176。, ∴ x=? ≈ ? =20.? (6分 ) ∴ BC=? =? ≈ 20247。? =25海里 . ∴ B船到達 C船處約需時間 :25247。25=1(小時 ).? (7分 ) 在 Rt△ ADC中 ,AC=? x≈ 20= , ∴ A船到達 C船處約需時間 :247。30=(小時 ).? (8分 ) 而 1,所以 C船至少要等待 .? (9分 ) 5 tan 53tan 53 1???45 34 13??sin 5 3?sin 5 3x ?452解題技巧 本題是解三角形兩種典型問題中的一種 . 以下介紹兩種典型問題 : (1)如圖 ,當 BC=a時 ,設 AD=x,則 CD=? ,BD=? . ∵ CD+BD=a,∴ ? +? =a,∴ x=? . ? (2)如圖 ,當 BC=a時 ,設 AD=x,則 BD=? ,CD=? , ∵ CDBD=a,∴ ? ? =a, ∴ x=? . t a nx βt a nx αt a nx βt a αtan tann tana α βα β?t a nx αt a nx βt a nx βt a αtan tant tanα ββ?C組 教師專用題組 考點一 銳角三角函數(shù) 1.(2022貴州貴陽 ,7,3分 )如圖 ,A、 B、 C是小正方形的頂點 ,且每個小正方形的邊長為 1,則 tan∠ BAC的值為 ? ( ) ? A.? C.? D.? 12 333答案 B 如圖 ,連接 BC,則 BC⊥ Rt△ ABC中 ,AB=BC=? =? ,tan∠ BAC=? =1. ? 2221?5BCAB2.(2022湖南婁底 ,11,3分 )如圖 ,由四個全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是 169,小正方 形的面積是 49,則 sin αcos α=? ( ) ? A.? ? C.? ? 51357 713答案 D 如圖 ,∵ 小正方形的面積為 49,大正方形的面積為 169, ∴ 小正方形的邊長是 7,大正方形的邊長是 13, 在 Rt△ ABC中 ,AC2+BC2=AB2,即 AC2+(7+AC)2=132, 整理得 ,AC2+7AC60=0,解得 AC=5,或 AC=12(舍去 ), 在 Rt△ ABC中 ,AC=5,BC=12,AB=13, sin αcos α=? ? =? . ? 5131273.(2022浙江湖州 ,3,4分 )如圖 ,已知在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,AB=5,BC=3,則 cos B的值是 ? ( ) A.? B.? C.? D.? 35 4534 43答案 A 在 Rt△ ABC中 , ∵ AB=5,BC=3, ∴ cos B=? =? . 354.(2022湖南懷化 ,6,3分 )如圖 ,在平面直角坐標系中 ,點 A的坐標為 (3,4),那么 sin α的值是 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 35 34 45 43答案 C 作 AB ⊥ x軸于 B,如圖 , ? ∵ 點 A的坐標為 (3,4), ∴ OB=3,AB=4, ∴ OA=? =5, 在 Rt△ AOB中 ,sin α=? =? .故選 C. 2234?ABOA455.(2022四川達州 ,7,3分 )如圖 ,半徑為 3的☉ A經(jīng)過原點 O和點 C(0,2),B是 y軸左側(cè)☉ A優(yōu)弧上一點 , 則 tan∠ OBC為 ? ( ) ? A.? ? C.? D.? 13 2 24223答案 C 設☉ A與 x軸的交點為 D,連接 CD,∵∠ COD=90176。,∴ CD是☉ A的直徑 ,在 Rt△ OCD中 , OD=? =4? ,∴ tan∠ ODC=? =? ,又 ∠ OBC=∠ ODC,∴ tan∠ OBC=? ,故選擇 C. ? 62?2 24224 246.(2022無錫 ,18,2分 )在如圖的正方形方格紙中 ,每個小的四邊形都是相同的正方形 ,A,B,C,D都 在格點處 ,AB與 CD相交于 O,則 tan∠ BOD的值等于 . ? 答案 3 解析 如圖所示 ,平移 CD到 C39。D39。,交 AB于 O39。, ? 則 ∠ BO39。D39。=∠ BOD, ∴ tan∠ BOD=tan∠ BO39。D39。, 設每個小正方形的邊長為 a, 則 O39。B=?= ? a,O39。D39。=?=2 ? a,BD39。=3a, 作 BE⊥ O39。D39。于點 E, 則 BE=? =? =? , ∴ O39。E=? =? =? a, 22(2 )aa?5 22(2 ) (2 )aa?2 39。39。39。39。BD O FOD?3222a?2 a39。OB BE?22 32( 5 ) 2aa??? ????22∴ tan∠ BO39。E=? =? =3, ∴ tan∠ BOD=3. 39。BEOE32222aa思路分析 平移 CD,使 ∠ BOD的頂點位于格點上 ,從而構(gòu)造直角三角形求解 . 解題關鍵 本題考查解直角三角形 ,解答本題的關鍵是作出合適的輔助線 ,找到直角三角形 ,利 用勾股定理和等積法求出正切值 ,從而解決問題 . 7.(2022貴州黔西南 ,25,12分 )把 (sin α)2記作 sin2α,根據(jù)圖 1和圖 2完成下列各題 . (1)sin2A1+cos2A1= ,sin2A2+cos2A2= ,sin2A3+cos2A3= 。 (2)觀察上述等式猜想 :在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,總有 sin2A+cos2A= 。 (3)如圖 2,在 Rt△ ABC中證明 (2)題中的猜想 。 (4)已知在△ ABC中 ,∠ A+∠ B=90176。,且 sin A=? ,求 cos A. ? 1213解析 (1)sin2A1+cos2A1=? +? =? +? =1, sin2A2+cos2A2=? +? =? +? =1, sin2A3+cos2A3=? +? =? +? =1, 212??????23214342122121212 235 24592516解析 (1)sin2A1+cos2A1=? +? =? +? =1, sin2A2+cos2A2=? +? =? +? =1, sin2A3+cos2A3=? +? =? +? =1, 212??????23214342122121212 235 24592516∴ ? +cos2A=1, 解得 cos A=? 或 cos A=? (舍 ), ∴ cos A=? . 212135 55考點二 解直角三角形 1.(2022四川自貢 ,22,8分 )如圖 ,在△ ABC中 ,BC=12,tan A=? ,∠ B=30176。,求 AC和 AB的長 . ? 34