【正文】 第六章 空間與圖形 167。 圖形的軸對稱、平移與旋轉(zhuǎn) 中考數(shù)學(xué) (江蘇專用 ) 考點 1 圖形的軸對稱 A組 20222022年江蘇中考題組 五年中考 1.(2022鹽城 ,3,3分 )下列圖形中 ,是軸對稱圖形的是 ? ( ) ? 答案 D D中的圖形沿中間線折疊 ,直線兩旁的部分可完全重合 ,故 D中的圖形是軸對稱圖 形 ,故選 D. 2.(2022無錫 ,10,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,∠ BAC=90176。,AB=3,AC=4,點 D是 BC的中點 ,將△ ABD沿 AD所 在直線翻折得到△ AED,連 CE,則線段 CE的長為 ? ( ) ? B.? C.? D.? 54 53 75答案 D 如圖 ,連接 BE交 AD于 O,作 AH⊥ BC于 H. ? 在 Rt△ ABC中 ,∵ AC=4,AB=3, ∴ BC=? =5, ∵ CD=DB, ∴ AD=DC=DB=? , ∵ ? BCAH=? ABAC, ∴ AH=? , ∵ AE=AB,∠ EAD=∠ BAD,AO=AO, ∴ △ AOE≌ △ AOB, 2234?5212 12125∴∠ AOE=∠ AOB=90176。,OE=OB, 又 D為 BC的中點 , ∴ OD∥ EC, ∴∠ BEC=90176。, ∴ △ BCE是直角三角形 , ∵ ? ADBO=? BDAH, ∴ OB=? , ∴ BE=2OB=? , 在 Rt△ BCE中 ,EC=? =? =? , 故選 D. 12 1212524522BC BE? 22 2455??? ????75解題關(guān)鍵 本題考查翻折變換、直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理等知識 ,解題的關(guān) 鍵是學(xué)會利用等積法求高 ,有一定的難度 . 3.(2022泰州 ,3,3分 )下列圖案中 ,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是 ? ( ) ? 答案 B 選項 A中的圖案只是中心對稱圖形 。選項 B中的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱 圖形 。選項 C和 D中的圖案只是軸對稱圖形 .故選 B. 4.(2022南京 ,1,2分 )下列圖形中 ,既是軸對稱圖形 ,又是中心對稱圖形的是 ? ( ) ? 答案 C 選項 A、 D是軸對稱圖形 ,不是中心對稱圖形 ,B是中心對稱圖形 ,不是軸對稱圖形 ,只 有 C符合題意 .故選 C. 5.(2022揚州 ,17,3分 )如圖 ,四邊形 OABC是矩形 ,點 A的坐標(biāo)為 (8,0),點 C的坐標(biāo)為 (0,4),把矩形 OABC沿 OB折疊 ,點 C落在點 D處 ,則點 D的坐標(biāo)為 . ? 答案 ? 1 6 1 2,55???????解析 由折疊得 ∠ CBO=∠ DBO, ∵ 矩形 ABCO, ∴ BC∥ OA, ∴∠ CBO=∠ BOA, ∴∠ DBO=∠ BOA, ∴ BE=OE, 在△ ODE和△ BAE中 , ? ∴ △ ODE≌ △ BAE(AAS), ∴ AE=DE, 設(shè) DE=AE=x,則有 OE=BE=8x, 在 Rt△ ODE中 ,根據(jù)勾股定理得 42+x2=(8x)2, 解得 x=3,即 OE=5,DE=3, ,D B A EO E D B E AO E B E? ? ???? ? ?????過 D作 DF⊥ OE, ∵ S△ OED=? ODDE=? OEDF, ∴ DF=? ,OF=? =? , 則 D? . ? 12 1212522 1245??? ????1651 6 1 2,55???????思路分析 DB與 OA交點為 E,利用 AAS得到△ ODE≌ △ BAE(AAS),由全等三角形對應(yīng)邊相等 得到 DE=AE,過 D作 DF垂直于 OE,利用勾股定理及面積法求出 DF與 OF的長 ,即可確定出點 D的 坐標(biāo) . 解題關(guān)鍵 此題考查了圖形的軸對稱 (折疊問題 ),坐標(biāo)與圖形變換 ,以及矩形的性質(zhì) ,熟練掌握 軸對稱的性質(zhì) ,作輔助線是解決本題的關(guān)鍵 . 6.(2022宿遷 ,15,3分 )如圖 ,正方形 ABCD的邊長為 3,點 E在邊 AB上 ,且 BE=1,若點 P在對角線 BD上 移動 ,則 PA +PE的最小值是 . ? 答案 ? 10解析 作出點 E關(guān)于 BD的對稱點 E39。,連接 AE39。與 BD交于點 P,連接 PE,此時 AP+PE最小 , ∵ BD垂直平分 EE39。,∴ PE=PE39。, ∴ AP+PE=AP+PE39。=AE39。, 在 Rt△ ABE39。中 ,AB=3,BE39。=BE=1, 根據(jù)勾股定理得 AE39。=? , 則 PA +PE的最小值為 ? . ? 10107.(2022連云港 ,15,3分 )如圖 1,將正方形紙片 ABCD對折 ,使 AB與 CD重合 ,折痕為 2,展開 后再折疊一次 ,使點 C與點 E重合 ,折痕為 GH,點 B的對應(yīng)點為 M,EM交 AB于 AD=2,則 MN= . ? 答案 ? 13解析 設(shè) DH=x,則 HC=2x,又由第二次折疊知 EH=HC, ∴ EH=2x. 在 Rt△ DEH中 ,(2x)2x2=12, 解得 x=? , 由第二次折疊知 ∠ MEH=∠ C=90176。, 所以 ∠ DEH+∠ AEN=90176。. 因為 ∠ AEN+∠ ANE=90176。, 所以 ∠ DEH=∠ ANE. 又因為 ∠ A=∠ D=90176。, 所以△ AEN∽ △ DHE, 所以 ? =? ,即 ? =? , 解得 EN=? , 34AEEN DHEH 1EN 34324?53所以 MN=EMEN=2? =? . 53 138.(2022蘇州 ,17,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=10,∠ B=60176。,點 D、 E分別在 AB、 BC上 ,且 BD=BE=4, 將△ BDE沿 DE所在直線折疊得到△ B‘DE(點 B39。在四邊形 ADEC內(nèi) ),連接 AB39。,則 AB39。的長為 . ? 答案 2? 7解析 由折疊知△ B39。DE≌ △ BDE, ∵ BD=BE=4,∴ DB=BE=EB39。=B39。D=4, ∴ 四邊形 BDB39。E為菱形 , ∴ B39。D∥ BE. ∵∠ B=60176。, ∴∠ B39。DA=∠ B=60176。. 作 B39。G⊥ AD于點 G, 在 Rt△ B39。GD中 ,易得 B39。G=2? ,DG=2, ∴ AG=ABBDDG=4, ∴ 在 Rt△ AB39。G中 ,AB39。=? =? =2? . 32239。AG BG? 16 12? 7思路分析 由折疊可得四邊形 BDB39。E為菱形 ,從而得 ∠ B39。DA=60176。,構(gòu)造直角三角形 ,求 AB39。的長 . 評析 本題考查折疊的性質(zhì) ,等邊三角形和菱形的性質(zhì) ,勾股定理等知識 ,屬中檔題 . 9.(2022泰州 ,25,12分 )對給定的一張矩形紙片 ABCD進(jìn)行如下操作 :先沿 CE折疊 ,使點 B落在 CD 邊上 (如圖① ),再沿 CH折疊 ,這時發(fā)現(xiàn)點 E恰好與點 D重合 (如圖② ). (1)根據(jù)以上操作和發(fā)現(xiàn) ,求 ? 的值 。 (2)將該矩形紙片展開 . ① 如圖③ ,折疊該矩形紙片 ,使點 C與點 H重合 ,折痕與 AB相交于點 P,再將該矩形紙片展開 .求證 : ∠ HPC=90176。 ② 不借助工具 ,利用圖④探索一種新的折疊方法 ,找出與圖③中位置相同的 P點 ,要求只有一條 折痕 ,且點 P在折痕上 ,請簡要說明折疊方法 .(不需說明理由 ) ? CDAD解析 (1)由題圖① ,可得 ∠ BCE=? ∠ BCD=45176。, 又 ∵∠ B=90176。, ∴ △ BCE是等腰直角三角形 , ∴ ? =cos 45176。=? ,即 CE=? BE, 由題圖② ,可得 CE=CD,而 AD=BE, ∴ CD=? AD, ∴ ? =? . (2)① 設(shè) AD=BC=a,則 AB=CD=? a,BE=a, ∴ AE=(? 1)a, 如圖 ,連接 EH,則 ∠ CEH=∠ CDH=90176。, ∵∠ BEC=45176。,∠ A=90176。, ∴∠ AEH=45176。=∠ AHE, ∴ AH=AE=(? 1)a, 12BECE 22 22CDAD 2222設(shè) AP=x,則 BP=? ax,由翻折可得 ,PH=PC,即 PH2=PC2, ∴ AH2+AP2=BP2+BC2, 即 [(? 1)a]2+x2=(? ax)2+a2, 解得 x=a,即 AP=BC, 又 ∵ PH=CP,∠ A=∠ B=90176。, ∴ Rt△ APH≌ Rt△ BCP(HL), ∴∠ APH=∠ BCP, 又 ∵ Rt△ BCP中 ,∠ BCP+∠ BPC=90176。, ∴∠ APH+∠ BPC=90176。, ∴∠ CPH=90176。. ? ② 折法 (一 ):沿著過 D的直線翻折 ,使點 A落在 CD邊上 ,此時折痕與 AB的交點即為 P. 22 2? 折法二 :沿著過點 C的直線折疊 ,使點 B落在 CE上 ,此時 ,折痕與 AB的交點即為 P. ? 方法總結(jié) 本題屬于折疊問題 ,主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì) ,矩形的性質(zhì) ,全等三角形的 判定與性質(zhì)的綜合運用 ,折疊是一種對稱變換 ,它屬于軸對稱 ,折疊前后圖形的形狀和大小不 變 ,對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等 .解題時常常設(shè)要求的線段長為 x,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含 x 的代數(shù)式表示其他線段的長度 ,構(gòu)造直角三角形 ,運用勾股定理列出方程求出答案 . 10.(2022徐州 ,27,9分 )如圖 ,將邊長為 6的正三角形紙片 ABC按如下順序進(jìn)行兩次折疊與展平 后 ,得折痕 AD,BE(如圖 1),點 O為其交點 . (1)探求 AO與 OD的數(shù)量關(guān)系 ,并說明理由 。 (2)如圖 2,若 P,N分別為 BE,BC上的動點 , ① 當(dāng) PN+PD的長度取得最小值時 ,求 BP的長度 。 ② 如圖 3,若點 Q在線段 BO上 ,BQ=1,則 QN+NP+PD的最小值 = . ? 解析 (1)AO=2OD. 理由 :∵ △ ABC是等邊三角形 , ∴∠ BAO=∠ ABO=∠ OBD=30176。,∴ AO=OB, ∵ BD=CD,∴ AD⊥ BC,∴∠ BDO=90176。, ∴ OB=2OD,∴ OA=2OD. (2)① 作點 D關(guān)于 BE的對稱點 D39。,過 D39。作 D39。N⊥ BC分別交 BE、 BC于 P、 N,連接 BD39。, ? 則此時 PN+PD的長度取得最小值 , ∵ BE垂直平分 DD39。, ∴ BD=BD39。, ∵∠ ABC=60176。, ∴ △ BDD39。是等邊三角形 , ∴ BN=? BD=? , ∵∠ PBN=30176。, ∴ ? =? ,∴ PB=? . ② ? .提示 :作 Q關(guān)于 BC的對稱點 Q39。,作 D關(guān)于 BE的對稱點 D39。, 連接 PD、 QN、 Q39。D39。,則 Q39。D39。即為 QN+NP+PD的最小值 . 根據(jù)軸對稱的定義可知 :∠ Q39。BN=∠ QBN=30176。,∠ QBQ39。=60176。, ∴ △ B39。為等邊三角形 ,△ BDD39。為等邊三角形 , ∴∠ D39。BQ39。=90176。, ∴ 在 Rt△ D39。BQ39。中 , D39。Q39。=? =? . ∴ QN+NP+PD的最小值為 ? . 12 32BNPB 32 3102231? 1010思路分析 (1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到 ∠ BAO=∠ ABO=∠ OBD=30176。,從而得到 AO=OB,根 據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論 。 (2)① 作點 D關(guān)于 BE的對稱點 D39。,過 D39。作 D39。N⊥ BC分別交 BE、 BC于 P、 N,連接 BD39。,則此時 PN+ PD的長度取得最小值 ,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)知 BD=BD39。,從而推出△ BDD39。是等邊三角形 , 得到 BN=? BD=? ,從而可得結(jié)論 。 ② 作 Q關(guān)于 BC的對稱點 Q39。,作 D關(guān)于 BE的對稱點 D39。,連接 PD、 QN、 Q39。D39。,則 Q39。D39。即為 QN+NP+ PD的最小值 .根據(jù)軸對稱的定義得到 ∠ Q39。BN=∠ QBN=30176。,∠ QBQ39。=60176。,從而得到△ B39。為等 邊三角形 ,△ BDD39。為等邊三角形 ,解直角三角形即可得到結(jié)論 . 12 32解題關(guān)鍵 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定 ,解直角三角形 ,最短路徑問題 ,根據(jù)軸對稱的 定義 ,找到相等的線段是解題的關(guān)鍵 . 11.(2022南京 ,27,11分 )折紙的思考 . 【 操作體驗 】 用一張矩形紙片折等邊三角形 . 第一步 ,對折矩形紙片 ABCD(ABBC)(圖① ),使 AB與 DC重合 ,得到折痕 EF,把紙片展平 (圖② ). 第二步 ,如圖③ ,再一次折疊紙片 ,使點 C落在 EF上的 P處 ,并使折痕經(jīng)過點 B,得到折痕 BG,折出 PB、 PC,得到△ PBC. ? (1)說明△ PBC是等邊三角形 . 【 數(shù)學(xué)思考 】 (2)如圖④ ,小明畫出了圖③的矩形 ABCD和等