【正文】 第六章 圖形與變換 167。 圖形的相似 中考數(shù)學(xué) (安徽專(zhuān)用 ) A組 2022— 2022年安徽中考題組 五年中考 1.(2022安徽 ,8,4分 )如圖 ,△ ABC中 ,AD是中線 ,BC=8,∠ B=∠ DAC,則線段 AC的長(zhǎng)為 ? ( ) ? ? ? 23答案 B 由 AD是中線可得 DC=? BC=4. ∵∠ B=∠ DAC,∠ C=∠ C, ∴ △ ADC∽ △ BAC, ∴ ? =? , ∴ AC2=BCDC=84=32, ∴ AC=4? , 故選 B. 12ACBC DCAC2評(píng)析 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì) ,及三角形的中線 ,屬容易題 . 2.(2022安徽 ,17,8分 )如圖 ,在由邊長(zhǎng)為 1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的 1010網(wǎng)格中 ,已知 點(diǎn) O,A,B均為網(wǎng)格線的交點(diǎn) . (1)在給定的網(wǎng)格中 ,以點(diǎn) O為位似中心 ,將線段 AB放大為原來(lái)的 2倍 ,得到線段 A1B1(點(diǎn) A,B的對(duì) 應(yīng)點(diǎn)分別為 A1,B1).畫(huà)出線段 A1B1。 (2)將線段 A1B1繞點(diǎn) B1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。得到線段 A2B1。 (3)以 A,A1,B1,A2為頂點(diǎn)的四邊形 AA1B1A2的面積是 個(gè)平方單位 . ? 解析 (1)線段 A1B1如圖所示 .? (3分 ) ? (2)線段 A2B1如圖所示 .? (6分 ) (3)20.? (8分 ) 提示 :根據(jù) (1)(2)可知四邊形 AA1B1A2是正方形 ,邊長(zhǎng)為 ? =2? ,∴ 以 A,A1,B1,A2為頂點(diǎn)的四 邊形 AA1B1A2的面積為 (2? )2=20(個(gè)平方單位 ). 2242? 553.(2022安徽 ,17,8分 )如圖 ,在邊長(zhǎng)為 1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中 ,給出了格點(diǎn)△ ABC (頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn) ). (1)將△ ABC向上平移 3個(gè)單位得到△ A1B1C1,請(qǐng)畫(huà)出△ A1B1C1。 (2)請(qǐng)畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)△ A2B2C2,使△ A2B2C2∽ △ ABC,且相似比不為 1. ? 解析 (1)作出△ A1B1C1,如圖所示 . ? (4分 ) (2)本題是開(kāi)放題 ,答案不唯一 ,只要作出的△ A2B2C2滿足條件即可 .如圖 .? (8分 ) 評(píng)析 本題主要考查了相似和平移變換 ,找出變換后圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵 ,屬容易題 . 考點(diǎn)一 相似與位似的有關(guān)概念 B組 2022— 2022年全國(guó)中考題組 1.(2022河北 ,7,3分 )若△ ABC的每條邊長(zhǎng)增加各自的 10%得△ A39。B39。C39。,則 ∠ B39。的度數(shù)與其對(duì)應(yīng)角 ∠ B的度數(shù)相比 ? ( ) 10% 10% (1+10%) 答案 D △ ABC的每條邊長(zhǎng)增加各自的 10%即變?yōu)樵瓉?lái)的 ,得到△ A39。B39。C39。,根據(jù)相似三角 形的判定方法可得△ ABC∽ △ A39。B39。C39。,所以 ∠ B39。=∠ B,故選 D. 2.(2022河北 ,15,2分 )如圖 ,△ ABC中 ,∠ A=78176。,AB=4,AC=△ ABC沿圖示中的虛線剪下 ,剪下 的陰影三角形與原三角形 ? 的是 ? ( ) ? ? ???不 相 似答案 C 選項(xiàng) A與 B中剪下的陰影三角形分別與原三角形有兩組角對(duì)應(yīng)相等 ,可得陰影三角 形與原三角形相似 。選項(xiàng) D中剪下的陰影三角形與原三角形有兩邊之比都是 2∶ 3,且兩邊的夾 角相等 ,所以?xún)蓚€(gè)三角形也是相似的 ,故選 C. 評(píng)析 本題考查相似三角形的判定 ,熟練掌握三角形相似的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 . 3.(2022甘肅蘭州 ,5,4分 )如圖 ,線段 CD兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 C(1,2)、 D(2,0),以原點(diǎn)為位似中 心 ,將線段 CD放大得到線段 AB,若點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (5,0),則點(diǎn) A的坐標(biāo)為 ? ( ) ? A.(2,5) B.(,5) C.(3,5) D.(3,6) 答案 B 設(shè)點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (x,y),由位似圖形的性質(zhì)知 ,? =? =? ,得 x=,y=5,則點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (2. 5,5).故選 B. 1x 2y 524.(2022甘肅蘭州 ,17,4分 )如圖 ,四邊形 ABCD與四邊形 EFGH位似 ,位似中心是點(diǎn) O,? =? ,則 ? = . ? OEOA35FGBC答案 ? 35解析 ∵ 四邊形 ABCD與四邊形 EFGH位似 , ∴ △ OEF∽ △ OAB,△ OFG∽ △ OBC, ∴ ? =? =? ,? =? =? . OFOBOEOA35FGBC OFOB355.(2022遼寧沈陽(yáng) ,14,4分 )如圖 ,△ ABC與△ DEF位似 ,位似中心為點(diǎn) O,且△ ABC的面積等于△ DEF面積的 ? ,則 AB∶ DE= . ? 49答案 2∶ 3 解析 ∵ △ ABC與△ DEF位似 ,∴ △ ABC∽ △ DEF,∴ ? =? .∵ S△ ABC=? S△ DEF,∴ ? =? . ∴ ? =? , ∴ ? =? (舍負(fù) ),即 AB∶ DE=2∶ 3. ABCDEFSS 2ABDE?????? 49ABCDEFSS 492ABDE??????49ABDE236.(2022廣西南寧 ,21,8分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,已知△ ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 A(2,2), B(4,0),C(4,4). (1)請(qǐng)畫(huà)出△ ABC向左平移 6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的△ A1B1C1。 (2)以點(diǎn) O為位似中心 ,將△ ABC縮小為原來(lái)的 ? ,得到△ A2B2C2,請(qǐng)?jiān)?y軸右側(cè)畫(huà)出△ A2B2C2,并求 出 ∠ A2C2B2的正弦值 . ? 12解析 (1)△ A1B1C1為所求作三角形 .? (3分 ,正確作出一個(gè)點(diǎn)給 1分 ) (2)△ A2B2C2為所求作三角形 .? (6分 ,正確作出一個(gè)點(diǎn)給 1分 ) ? 根據(jù)勾股定理得 A2C2=? =? , ∴ sin∠ A2C2B2=? =? .? (8分 ) 2213? 10110 10101.(2022甘肅蘭州 ,13,4分 )如圖 ,小明為了測(cè)量一涼亭的高度 AB(頂端 A到水平地面 BD的距離 ),在 涼亭的旁邊放置一個(gè)與涼亭臺(tái)階 BC等高的平臺(tái) DE(DE=BC= ,A,C,B三點(diǎn)共線 ),把一面鏡 子水平放置在平臺(tái)上的點(diǎn) G處 ,測(cè)得 CG=15米 ,然后沿著直線 CG后退到點(diǎn) E處 ,這時(shí)恰好在鏡子 里看到?jīng)鐾さ捻敹?A,測(cè)得 GE=3米 ,小明身高 EF= ,則涼亭的高度 AB約為 ? ( ) ? 考點(diǎn)二 相似三角形的性質(zhì)與判定 答案 A 由光線反射可知 ∠ AGC=∠ FGE,又 ∵∠ FEG=∠ ACG=90176。, ∴ △ FEG∽ △ ACG, ∴ FE∶ AC=EG∶ CG, ∴ ∶ AC=3∶ 15, ∴ AC=8米 .∵ BC= , ∴ AB=AC+BC= . 解題關(guān)鍵 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì) ,解答本題的關(guān)鍵是判定△ FEG與△ ACG相似 . 2.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,7,3分 )如圖 ,有一塊矩形紙片 ABCD,AB=8,AD=6,將紙片折疊 ,使得 AD 邊落在 AB邊上 ,折痕為 AE,再將△ AED沿 DE向右翻折 ,AE與 BC的交點(diǎn)為 F,則△ CEF的面積為 ? ( ) ? A.? B.? 12 98答案 C 在題中的第三個(gè)圖中 ,AD=6,AB=4,DE=6, 因?yàn)?BF∥ DE,所以△ ABF∽ △ ADE, 所以 ? =? , 即 ? =? , 解得 BF=4,所以 CF=2, 所以 S△ CEF=? CECF=2. ABAD BFDE46 6BF123.(2022吉林 ,12,3分 )如圖是測(cè)量河寬的示意圖 ,AE與 BC相交于點(diǎn) D,∠ B=∠ C=90176。.測(cè)得 BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求得河寬 AB= m. ? 答案 100 解析 易知△ ABD∽ △ ECD,∴ ? =? ,又 ∵ BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,∴ AB=100 m. BDCD ABEC4.(2022北京 ,13,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,M,N分別為 AC,BC的中點(diǎn) .若 S△ CMN=1,則 S四邊形 ABNM= . ? 答案 3 解析 ∵ M,N分別為 AC,BC的中點(diǎn) , ∴ MN∥ AB,且 MN=? AB, ∴ △ CMN∽ △ CAB,且相似比為 1∶ 2, ∵ S△ CMN=1, ∴ S△ CAB=4, ∴ S四邊形 ABNM=S△ CABS△ CMN=41=3. 125.(2022山東臨沂 ,18,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,BD,CE分別是邊 AC,AB上的中線 ,BD與 CE相交于點(diǎn) O,則 ? = . ? OBOD答案 2 解析 連接 DE,∵ BD,CE分別是 AC,AB邊上的中線 ,∴ DE為△ ABC的中位線 ,∴ DE=? BC,DE∥ BC,∴ △ OBC∽ △ ODE,∴ ? =? =2. 12OBOD BCDE6.(2022江西 ,14,6分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥ AB,BD是 ∠ ABC的平分線 ,BD交 AC于點(diǎn) AE的長(zhǎng) . ? 解析 ∵ BD平分 ∠ ABC, ∴∠ ABD=∠ CBD. ∵ AB∥ CD,∴∠ ABD=∠ D,△ ABE∽ △ CDE. ∴∠ CBD=∠ D,? =? . ∴ BC=CD. ∵ AB=8,CA=6,CD=BC=4, ∴ ? =? ,∴ AE=4. ABCD AEEC84 6AEAE?思路分析 根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求出 ∠ D=∠ CBD,進(jìn)而可得 BC=CD=4,通過(guò)△ ABE∽ △ CDE,得出含 AE的比例式 ,求出 AE的值 . 方法總結(jié) 證明三角形相似的常見(jiàn)方法 :平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊或其延長(zhǎng)線 相交 ,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 ,相似的基本圖形可分別記為“ A”型和“ X”型 ,如圖 所示 .在應(yīng)用時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形 . ? 7.(2022福建福州 ,25,12分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC=1,BC=? ,在 AC邊上截取 AD=BC,連接 BD. (1)通過(guò)計(jì)算 ,判斷 AD2與 ACCD的大小關(guān)系 。 (2)求 ∠ ABD的度數(shù) . ? 512?解析 (1)∵ AD=BC=? , ∴ AD2=? =? . ∵ AC=1, ∴ CD=1? =? , ∴ AD2=ACCD. (2)∵ AD2=ACCD,AD=BC, ∴ BC2=ACCD,即 ? =? . 又 ∠ C=∠ C, ∴ △ ABC∽ △ BDC. ∴ ? =? . 又 AB=AC, ∴ BD=BC=AD. 512?2512???????352?512? 352?BCAC CDBCABBD ACBC∴∠ A=∠ ABD,∠ ABC=∠ C=∠ BDC. 設(shè) ∠ A=∠ ABD=x,則 ∠ BDC=∠ A+∠ ABD=2x, ∴∠ ABC=∠ C=∠ BDC=2x, ∴∠ A+∠ ABC+∠ C=x+2x+2x=180176。. 解得 x=36176。. ∴∠ ABD=36176。. 評(píng)析 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定 理的應(yīng)用 ,證得△ ABC∽ △ BDC是解題的關(guān)鍵 . 8.(2022江蘇南京 ,20,8分 )如圖 ,△ ABC中 ,CD是邊 AB上的高 ,且 ? =? . (1)求證 :△ ACD∽ △ CBD。 (2)求 ∠ ACB的大小 . ? ADCD CDBD解析 (1)證明 :∵ CD是邊 AB上的高 , ∴∠ ADC=∠ CDB=90176。. 又 ? =? ,∴ △ ACD∽ △ CBD.? (4分 ) (2)∵ △ ACD∽ △ CBD, ∴∠ A=∠ BCD. 在△ ACD中 ,∠ ADC=90176。, ∴∠ A+∠ ACD=90176。, ∴∠ BCD+∠ ACD=90176。,即 ∠ ACB=90176。.? (8分 ) ADCD CDBD考點(diǎn)一 相似與位似的有關(guān)概念 C組 教師專(zhuān)用題組 1.(2022湖北武漢 ,6,3分 )如圖 ,線段 AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(6,6)、 B(8,2),以原點(diǎn) O為位似中 心 ,在第一象限內(nèi)將線段 AB縮小為原來(lái)的 ? 后得到線段 CD,則端點(diǎn) C的坐標(biāo)為 ? ( ) ?