【文章內(nèi)容簡介】 ? =? ,在 Rt△ BAC中 ,∵ AC=20,AB=15, ∴ BC=? =25, 又 ∵ AD=5,∴ CD=15,∴ EC=? =12,∴ BE=13, ∴ S△ ABE=? S△ ABC= ? ? 1520=78. ACEC BCCD22AC AB?AC CDBC?BEBC1325 12思路分析 △ ABC的面積是很容易求出來的 ,只要知道 BE與 BC的比值即可解決問題 ,又 BC容易求得 ,故將問題轉(zhuǎn)化為求 BE的長度 ,由△ ABC∽ △ EDC可得 ? =? ,從而求出 EC,由此即可得出 BE. ACEC BCCD7.(2022湖北黃岡 ,14,3分 )如圖 ,已知△ ABC,△ DCE,△ FEG,△ HGI是 4個全等的等腰三角形 ,底邊 BC,CE,EG,GI在同一條直線上 ,且 AB=2,BC= AI,交 FG于點 Q,則 QI= . ? 答案 ? 43解析 過點 A作 AM⊥ BC于點 M. 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì) ,得 MC=? BC=? . ∴ MI=MC+CE+EG+GI=? . 在 Rt△ AMC中 ,AM2=AC2MC2=22? =? . AI=? =? =4. 12 1272212??????15422AM MI?21 5 742??? ????因為 AC∥ GQ,則△ IAC∽ △ IQG, ∴ ? =? ,即 ? =? .∴ QI=? . QIAIGICI 4QI13 438.(2022江西 ,14,6分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥ AB,BD是 ∠ ABC的平分線 ,BD交 AC于點 AE的長 . ? 解析 ∵ BD平分 ∠ ABC, ∴∠ ABD=∠ CBD. ∵ AB∥ CD,∴∠ ABD=∠ D,△ ABE∽ △ CDE. ∴∠ CBD=∠ D,? =? . ∴ BC=CD.∵ AB=8,CA=6,CD=BC=4, ∴ ? =? ,∴ AE=4. ABCD AEEC84 6AEAE?思路分析 根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求出 ∠ D=∠ CBD,進而可得 BC=CD=4,通過△ ABE∽ △ CDE,得出含 AE的比例式 ,求出 AE的值 . 方法總結(jié) 證明三角形相似的常見方法 :平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊或其延長線 相交 ,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 ,相似的基本圖形可分別記為“ A”型和“ X”型 ,如圖 所示 .在應(yīng)用時要善于從復雜的圖形中抽象出這些基本圖形 . ? 9.(2022湖北武漢 ,23,10分 )在△ ABC中 ,∠ ABC=90176。. (1)如圖 1,分別過 A、 C兩點作經(jīng)過點 B的直線的垂線 ,垂足分別為 M、 N,求證 :△ ABM∽ △ BCN。 (2)如圖 2,P是邊 BC上一點 ,∠ BAP=∠ C,tan∠ PAC=? ,求 tan C的值 。 (3)如圖 3,D是邊 CA延長線上一點 ,AE=AB,∠ DEB=90176。,sin∠ BAC=? ,? =? ,直接寫出 tan∠ CEB 的值 . ? 25535 ADAC 25解析 (1)證明 :∵∠ M=∠ N=∠ ABC=90176。, ∴∠ MAB+∠ MBA=∠ NBC+∠ MBA=90176。, ∴∠ MAB=∠ NBC, ∴ △ ABM∽ △ BCN. (2)過點 P作 PM⊥ AP交 AC于點 M,過點 M作 MN⊥ PC交 BC于點 N, 則△ PMN∽ △ APB. ∴ ? =? =tan∠ PAC=? ,設(shè) PN=2t,則 AB=? t. ∵∠ BAP+∠ APB=∠ MPC+∠ APB=90176。,∠ BAP=∠ C, ∴∠ MPC=∠ C,∴ CN=PN=2t. 易得△ ABP∽ △ CBA, ∴ AB2=BPBC,∴ (? t)2=BP( BP+4t), ∴ BP=t,∴ BC=5t, ∴ tan C=? . PNAB PMAP 255 5555(3)在 Rt△ ABC中 ,sin∠ BAC=? =? ,∴ tan∠ BAC=? =? . 過點 A作 AG⊥ BE于點 G,過點 C作 CH⊥ BE交 EB的延長線于點 H, ∵∠ DEB=90176。,∴ CH∥ AG∥ DE, ∴ ? =? =? , 同 (1)的方法得 ,△ ABG∽ △ BCH, ∴ ? =? =? =? , 設(shè) BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,∴ GH=BG+BH=4m+3n, ∵ AB=AE,AG⊥ BE,∴ EG=BG=4m, BCAC 35BCAB 34GHEG ACAD 52BGCH AGBH ABBC 43∴ ? =? =? ,∴ n=2m,∴ EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m, 在 Rt△ CEH中 ,tan∠ CEB=? =? . GHEG 434mnm? 52CHEH 314思路分析 (1)利用同角的余角相等判斷出 ∠ MAB=∠ NBC,即可得出結(jié)論 。 (2)作 PM⊥ AP,MN⊥ PC,先判斷出△ PMN∽ △ APB,得出 ? =? =? ,設(shè) PN=2t,則 AB=? t,再 判斷出△ ABP∽ △ CBA,設(shè) PN=2t,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得 BP=t,則 BC=5t,即可得出結(jié)論 。 (3)作 AG⊥ BE,CH⊥ BE,先判斷出 ? =? =? ,同 (1)的方法得 ,△ ABG∽ △ BCH,所以 ? =? = ? =? ,設(shè) BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,進一步得出關(guān)于 m,n的等式 ,解得 n=2m,最后得出結(jié)論 . PNAB PMAP 255 5GHEG ACAD 52BGCH AGBHABBC 43方法指導 幾何中的類比探究關(guān)鍵在于找到解決每一問的通法 ,本題涉及的相似三角形 ,要尋 找的比例關(guān)系或添加的輔助線均類似 .同時要注意挖掘題干中不變的幾何特征 ,根據(jù)特征尋方 法 . 10.(2022湖北武漢 ,23,10分 )已知四邊形 ABCD的一組對邊 AD,BC的延長線相交于點 E. (1)如圖 1,若 ∠ ABC=∠ ADC=90176。,求證 EDEA=ECEB。 (2)如圖 2,若 ∠ ABC=120176。,cos∠ ADC=? ,CD=5,AB=12,△ CDE的面積為 6,求四邊形 ABCD的面 積 。 (3)如圖 3,另一組對邊 AB,DC的延長線相交于點 F,若 cos∠ ABC=cos∠ ADC=? ,CD=5,CF=ED=n, 直接寫出 AD的長 (用含 n的式子表示 ). ? 3535解析 (1)證明 :∵∠ ADC=90176。,∠ EDC+∠ ADC=180176。, ∴∠ EDC=90176。, 又 ∠ ABC=90176。,∴∠ EDC=∠ ABC, 又 ∠ E為公共角 ,∴ △ EDC∽ △ EBA, ∴ ? =? ,∴ EDEA=ECEB. (2)過點 C作 CF⊥ AD,交 AE于點 F,過點 A作 AG⊥ EB,交 EB的延長線于點 G. ? 在 Rt△ CDF中 ,cos∠ FDC=? ,∴ ? =? , 又 CD=5,∴ DF=3,∴ CF=? =4, 又 S△ CDE=6,∴ ? EDCF=6, EDEB ECEA35 DFCD 3522CD DF?12∴ ED=? =3,∴ EF=ED+DF=6. ∵∠ ABC=120176。,∠ G=90176。,∠ G+∠ BAG=∠ ABC,∴∠ BAG=30176。, 在 Rt△ ABG中 ,BG=? AB=6,AG=? =6? , ∵ CF⊥ AD,AG⊥ EB, ∴∠ EFC=∠ G=90176。, 又 ∠ E為公共角 ,∴ △ EFC∽ △ EGA, ∴ ? =? , ∴ ? =? , ∴ EG=9? ,∴ BE=EGBG=9? 6, ∴ S四邊形 ABCD=S△ ABES△ CED =? BEAG6 =? (9? 6)6? 6 12CF1222AB BG? 3EFEG CFAG6EG 4633 312123 3=7518? . (3)AD=? . 詳解 :過點 C作 CH⊥ AD,交 AE于點 H,則 CH=4,DH=3, ∴ EH=n+3,∴ tan∠ E=? . 過點 A作 AG⊥ DF,交 DF于點 G, 設(shè) AD=5a,則 DG=3a,AG=4a, ∴ FG=FDDG=5+n3a, ? 由 CH⊥ AD,AG⊥ DF,∠ E=∠ F知△ AFG∽ △ CEH, ∴ ? =? ,∴ ? =? ,∴ ? =? , ∴ a=? ,∴ AD=? . 35( 5)6nn ??4 3n ?AGCH FGEH AGFG CHEH 453ana?? 4 3n ?56nn ?? 5( 5)6nn ??11.(2022浙江杭州 ,19,4分 )如圖 ,在△ ABC中 ,點 D,E分別在邊 AB,AC上 ,∠ AED=∠ AG分別 交線段 DE,BC于點 F,G,且 ? =? . (1)求證 :△ ADF∽ △ ACG。 (2)若 ? =? ,求 ? 的值 . ? ADAC DFCGADAC 12AFFG解析 (1)證明 :因為 ∠ AED=∠ B,∠ DAE=∠ CAB, 所以 ∠ ADF=∠ C,又因為 ? =? , 所以△ ADF∽ △ ACG. (2)因為△ ADF∽ △ ACG,所以 ? =? , 又因為 ? =? ,所以 ? =? ,所以 ? =1. ADAC DFCGADAC AFAGADAC 12AFAG 12AFFG12.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,在四邊形 ABCD中 ,點 E、 F分別是 AB、 CD的中點 .過點 E作 AB的 垂線 ,過點 F作 CD的垂線 ,兩垂線交于點 G,連接 GA、 GB、 GC、 GD、 EF,若 ∠ AGD=∠ BGC. (1)求證 :AD=BC。 (2)求證 :△ AGD∽ △ EGF。 (3)如圖 2,若 AD、 BC所在直線互相垂直 ,求 ? 的值 . ? ? ADEF解析 (1)證明 :由題意知 GE垂直平分 AB,∴ GA=GB. 同理 GD=GC. 在△ AGD和△ BGC中 ,∵ GA=GB,∠ AGD=∠ BGC,GD=GC, ∴ △ AGD≌ △ BGC.∴ AD=BC.? (5分 ) (2)證明 :∵∠ AGD=∠ BGC,∴∠ AGB=∠ DGC. 在△ AGB和△ DGC中 ,? =? ,∠ AGB=∠ DGC, ∴ △ AGB∽ △ DGC.∴ ? =? .? (8分 ) 又 ∠ AGE=∠ DGF,∴∠ AGD=∠ EGF,∴ △ AGD∽ △ EGF.? (10分 ) (3)如圖 1,延長 AD交 GB于點 M,交 BC的延長線于點 H,則 AH⊥ BH. 圖 1 GAGD GBGCAGDG EGFG由△ AGD≌ △ BGC,知 ∠ GAD=∠ GBC. 在△ GAM和△ HBM中 ,∠ GAD=∠ GBC,∠ GMA=∠ HMB, ∴∠ AGB=∠ AHB=90176。,? (12分 ) ∴∠ AGE=? ∠ AGB=45176。,∴ ? =? . 又△ AGD∽ △ EGF,∴ ? =? =? .? (14分 ) (本題解法有多種 ,如可按圖 2和圖 3作輔助線求解 ,過程略 ) ? ? 圖 2 圖 3 12 AGEG2ADEF AGEG 2評析 本題綜合考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線、三角形全等和相似 的判定方法和性質(zhì) ,屬于拓展探索型題 ,學生要有較強的基本功和綜合分析問題的能力 . 13.(2022福建福州 ,25,13分 )如圖① ,在銳角△ ABC中 ,D,E分別為 AB,BC中點 ,F為 AC上一點 ,且 ∠ AFE=∠ A,DM∥ EF交 AC于點 M. (1)求證 :DM=DA。 (2)點 G在 BE上 ,且 ∠ BDG=∠ C,如圖② ,求證 :△ DEG∽ △ ECF。 (3)在圖②中 ,取 CE上一點 H,使 ∠ CFH=∠ B,若 BG=1,求 EH的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ DM∥ EF, ∴∠ AMD=∠ AFE. ∵∠ AFE=∠ A,∴∠ AMD=∠ A. ∴ DM=DA. 圖① 圖② (2)證明 :∵ D,E分別為 AB,BC的中點 , ∴ DE∥ AC. ∴∠ DEB=∠ C,∠ BDE=∠ A. 又 ∠ AFE=∠ A,∴∠ BDE=∠ AFE. ∴∠ BDG+∠ GDE=∠ C+∠ FEC. ∵∠ BDG=∠ C,∴∠ EDG=∠ FEC. ∴ △ DEG∽ △ ECF. (3)解法一 :如圖③所示 , ∵∠ BDG=∠ C=∠ DEB,∠ B=∠ B, 圖③ ∴ △ BDG∽ △ BED. ∴ ? =? , 即 BD2=BEBG. ∵∠ A=∠ AFE,∠ B=∠ CFH, ∴∠ C=180176。∠ AFE∠ CFH=∠ EFH. BDBE