【文章內(nèi)容簡介】 +BG2=82+62=102=AB2, ∴ △ ABG是直角三角形 ,且 ∠ AGB=90176。. 同理 ,△ DHC是直角三角形 ,且 ∠ DHC=90176。. ∴ EG=? =,∴ GF=102=. 又易求得 BE=? =,∴ HF=102=. ∴ HG=? =2? .故選擇 B. ? 6810?66? ?24.(2022青島 ,12,3分 )已知正方形 ABCD的邊長為 5,點 E、 F分別在 AD、 DC上 ,AE=DF=2,BE與 AF相交于點 G,點 H為 BF的中點 ,連接 GH,則 GH的長為 . ? 答案 ? 342解析 ∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,∴∠ BAD=∠ D=90176。,AB=AD. 又 ∵ AE=DF,∴ △ ABE≌ △ DAF,∴∠ ABE=∠ DAF. ∵∠ ABE+∠ AEB=180176。∠ BAE=180176。90176。=90176。, ∴∠ DAF+∠ AEB=90176。,∴∠ AGE=∠ BGF=90176。.在 Rt△ BGF中 ,∵ 點 H為 BF的中點 ,∴ GH=? BF. 在 Rt△ BFC中 ,BC=5,CF=CDDF=52=3,根據(jù)勾股定理得 BF=? =? ,∴ GH=? . 12 2253?34342疑難突破 判斷 BE和 AF的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵 . 5.(2022青島 ,13,3分 )如圖 ,在正方形 ABCD中 ,對角線 AC與 BD相交于點 O,E為 BC上一點 ,CE=5,F 為 DE的中點 .若△ CEF的周長為 18,則 OF的長為 . ? 答案 ? 72解析 ∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,∴ BO=DO,BC=CD,∠ BCD=90176。.在 Rt△ DCE中 ,∵ F為 DE的中 點 ,∴ CF=? DE=EF=DF.∵ △ CEF的周長為 18,∴ CE+CF+EF=18,又 ∵ CE=5,∴ CF+EF=185=1 3,∴ DE=DF+EF=13,∴ DC=? =12,∴ BC=12,∴ BE=125=△ BDE中 ,∵ BO=DO,F為 DE 的中點 ,∴ OF為△ BDE的中位線 ,∴ OF=? BE=? . 12 223 5?12726.(2022聊城 ,20,8分 )如圖 ,正方形 ABCD中 , E是 BC上的一點 ,連接 AE,過 B點作 BH⊥ AE,垂足為 點 H,延長 BH交 CD于點 F,連接 AF. ? (1)求證 :AE=BF. (2)若正方形邊長是 5,BE=2,求 AF的長 . 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴ AB=BC,∠ ABE=∠ BCF=90176。, ∴∠ BAE+∠ AEB=90176。, ∵ BH⊥ AE, ∴∠ BHE=90176。, ∴∠ AEB+∠ EBH=90176。, ∴∠ BAE=∠ EBH, 在△ ABE和△ BCF中 , ? ∴ △ ABE≌ △ BCF(ASA), ∴ AE=BF. (2)由 (1)得△ ABE≌ △ BCF,∴ BE=CF, ∵ 正方形邊長是 5,BE=2,∴ DF=CDCF=CDBE=52=3. ,B A E C B FA B B CA B E B C F? ? ??????? ? ??在 Rt△ ADF中 ,由勾股定理 ,得 AF=? =? =? =? . 22AD DF?2253?25 934思路分析 (1)根據(jù) ASA證明△ ABE≌ △ BCF,可得 AE=BF。(2)根據(jù) (1),△ ABE≌ △ BCF,得 CF= BE=2,最后利用勾股定理可得 AF的長 . 7.(2022濰坊 ,20,8分 )如圖 ,點 M是正方形 ABCD邊 CD上一點 ,連接 AM,作 DE⊥ AM于點 E,BF⊥ AM 于點 F,連接 BE. (1)求證 :AE=BF。 (2)已知 AF=2,四邊形 ABED的面積為 24,求 ∠ EBF的正弦值 . ? 解析 (1)證明 :∵∠ BAF+∠ DAE=90176。, ∠ ADE+∠ DAE=90176。, ∴∠ BAF=∠ ADE,? (1分 ) 在 Rt△ DEA和 Rt△ AFB中 , ? ∴ Rt△ DEA≌ Rt△ AFB,? (2分 ) ∴ AE=BF.? (3分 ) (2)設(shè) AE=x(x0),則 BF=x, ∵ 四邊形 ABED的面積為 24,DE=AF=2, ∴ S四邊形 ABED=S△ ABE+S△ AED=? x2+? 2x=24,? (4分 ) 解得 x1=6,x2=8(舍 ),? (5分 ) ∴ EF=AEAF=62=4,? (6分 ) 在 Rt△ EFB中 , ,A D E B A FD E A A F BD A A B? ? ???? ? ?????121BE=? =2? ,? (7分 ) ∴ sin∠ EBF=? =? =? .? (8分 ) 2264?13BE42 1 31 313思路分析 (1)利用“ AAS”證明 Rt△ DEA≌ Rt△ AFB,即得 AE=BF。(2)利用 S四邊形 ABED=S△ ABE+S△ AED,求出 AE的長 ,即得 BF的長 ,從而求出 EF的長 ,即可求出 ∠ EBF的正弦值 . 一題多解 本題第 (2)問也可把四邊形 ABED的面積分成△ BEF的面積、△ ABF的面積和△ ADE的面積三部分來處理 ,方法如下 : 設(shè) EF=x(x0),則 AE=x+2, ∴ BF=AE=x+2, 由 (1)知 Rt△ AFB≌ Rt△ DEA, ∴ S四邊形 ABED=S△ BEF+S△ ABF+S△ ADE =S△ BEF+2S△ ABF=24, 即 ? x(x+2)+2? (x+2)2=24, 解得 x1=4,x2=10(舍去 ). ∴ EF=4,BF=6. ∴ BE=? =2? . ∴ sin∠ EBF=? =? =? . 1 1 2246?1342 1 32 1 3138.(2022青島 ,21,8分 )已知 :如圖 ,在菱形 ABCD中 ,點 E,O,F分別為 AB,AC,AD的中點 ,連接 CE,CF, OE,OF. (1)求證 :△ BCE≌ △ DCF。 (2)當(dāng) AB與 BC滿足什么關(guān)系時 ,四邊形 AEOF是正方形 ?請說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴ AB=BC=CD=DA,∠ B=∠ D, ∵ 點 E,F分別為 AB,AD的中點 , ∴ BE=? AB,DF=? AD,∴ BE=DF. 在△ BCE和△ DCF中 ,∵ ? ∴ △ BCE≌ △ DCF(SAS). (2)AB⊥ : ∵ E,O分別是 AB,AC的中點 ,∴ OE是△ ABC的中位線 , ∴ OE=? BC,同理 ,OF=? CD, ∵ E,F分別是 AB,AD的中點 ,∴ AE=? AB,AF=? AD, 又 AB=BC=CD=AD,∴ OE=OF=AF=AE, ∴ 四邊形 AEOF是菱形 ,∵ AB⊥ BC,OE∥ BC,∴ AE⊥ OE, 12 12,B C D CBDB E D F???? ? ??? ??12 12 12 12∴ 四邊形 AEOF是正方形 . 思路分析 (1)要證明△ BCE≌ △ DCF,需構(gòu)造全等的三個條件 ,根據(jù)菱形的性質(zhì)和線段中點的 意義 ,可根據(jù) SAS得證 。(2)要證明四邊形 AEOF是正方形 ,先證明四邊形 AEOF為平行四邊形 ,再 證明一組鄰邊相等 ,有一個角為直角 . B組 2022— 2022年全國中考題組 考點一 矩形 1.(2022浙江紹興 ,8,4分 )在探索“尺規(guī)三等分角”這個數(shù)學(xué)名題的過程中 ,曾利用了下圖 ,該圖 中 ,四邊形 ABCD是矩形 ,E是 BA延長線上一點 ,F是 CE上一點 ,∠ ACF=∠ AFC,∠ FAE=∠ FEA. 若 ∠ ACB=21176。,則 ∠ ECD的度數(shù)是 ? ( ) ? A. 7176。 B. 21176。 C. 23176。 D. 24176。 答案 C 設(shè) ∠ E=∠ EAF=x176。,則 ∠ AFC=∠ ACF=2x176。,∠ BAC=∠ E+∠ ECA=3x176。,在△ ABC中 ,∠ BAC+∠ ACB=90176。,即 3x+21=90,∴ x=23,即 ∠ E=23176。,又 ∵ AB∥ CD,∴∠ ECD=∠ E=23176。. 2.(2022四川宜賓 ,7,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,BC=8,CD=6,將△ ABE沿 BE折疊 ,使點 A恰好落在 對角線 BD上的點 F處 ,則 DE的長是 ? ( ) B.? D.? 2458916答案 C ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AB=CD=6,AD=BC= BD=? =10. 由折疊可知 ,BF=AB=6,EF=AE,∴ DF= Rt△ DEF中 ,∵ EF2+DF2=DE2,∴ (8DE)2+42=DE2,解得 DE= C. 22BC CD?3.(2022安徽 ,10,4分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=5,AD= P滿足 S△ PAB=? S矩形 P到 A,B兩 點距離之和 PA +PB的最小值為 ? ( ) ? A.? B.? ? D.? 132934241答案 D 如圖 ,過 P點作 MN,使 MN∥ AB,作 A點關(guān)于 MN的對稱點 A1,連接 PA 1,A1B,則 PA 1=PA ,設(shè) 點 P到 AB的距離為 h,由 AB=5,AD=3,S△ PAB=? S矩形 ABCD可得 h=2,則 AA1=4,因為 PA +PB=PA 1+PB≥ A1 B,所以當(dāng) P為 A1B與 MN的交點時 ,PA +PB最小 ,其最小值為 ? =? ,故選 D. ? 13 2245?41疑難突破 本題的突破口是根據(jù) S△ PAB=? S矩形 ABCD推出 P點是在平行于 AB的線段上運動 ,從而想 到利用軸對稱的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化 . 134.(2022四川成都 ,14,4分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,按以下步驟作圖 :①分別以點 A和 C為圓心 ,以大 于 ? AC的長為半徑作弧 ,兩弧相交于點 M和 N。②作直線 MN交 CD于點 DE=2,CE=3,則矩形 的對角線 AC的長為 . ? 12答案 ? 30解析 如圖 ,連接 AE,由作圖方法得 MN垂直平分 AC, ∴ EA=EC=3. ∴ 在 Rt△ ADE中 ,AD=? =? =? . ∴ 在 Rt△ ADC中 ,AC=? =? =? . ? 22AE DE?2232?5 D C?22( 5) 5?30思路分析 連接 AE,根據(jù)題中的作圖方法 ,可得 MN垂直平分 AC,則 EA=EC=3,用勾股定理先計 算出 AD,再計算出 AC,得解 . 解題關(guān)鍵 本題考查了矩形的性質(zhì) ,基本作圖 (作已知線段的垂直平分線 ),勾股定理 ,識別基本 作圖并熟練應(yīng)用勾股定理計算是解題的關(guān)鍵 . 5.(2022四川達州 ,20,7分 )如圖 ,在△ ABC中 ,點 O是邊 AC上一個動點 ,過點 O作直線 EF∥ BC分別 交 ∠ ACB、外角 ∠ ACD的平分線于點 E、 F. (1)若 CE=8,CF=6,求 OC的長 。 (2)連接 AE、 :當(dāng)點 O在邊 AC上運動到什么位置時 ,四邊形 AECF是矩形 ?并說明理由 . 解析 (1)∵ CE、 CF分別是 ∠ ACB、 ∠ ACD的平分線 ,∠ ACB+∠ ACD=180176。, ∴∠ BCE=∠ ECA=? ∠ ACB,∠ ACF=∠ FCD=? ∠ ACD, ∴∠ ECA+∠ ACF=? (∠ ACB+∠ ACD)=? 180176。=90176。, 即 ∠ ECF=90176。, ∵ CE=8,CF=6, ∴ EF=? =10, ∵ EF∥ BC, ∴∠ BCE=∠ E,∠ FCD=∠ F, ∴∠ ECA=∠ E,∠ ACF=∠ F, ∴ OE=OC,OF=OC,∴ OE=OF=5,∴ OC=5. (2)當(dāng)點 O運動到 AC的中點時 ,四邊形 AECF是矩形 . 理由如下 :∵ 點 O是 AC的中點 ,∴ AO=CO,由 (1)知 OE=OF,∴ 四邊形 AECF是平行四邊形 ,又 ∵∠ ECF=90176。,∴ 四邊形 AECF是矩形 ,∴ 當(dāng)點 O運動到 AC的中點時 ,四邊形 AECF是矩形 . 12 1212 12 2286?考點二 菱形 1.(2022河南 ,10,3分 )如圖 1,點 F從菱形 ABCD的頂點 A出發(fā) ,沿 A→ D→ B以 1 cm/s的速度勻速運 動到點 2是點 F運動時 ,△ FBC的面積 y(cm2)隨時間 x(s)變化的關(guān)系圖象 ,則 a的值為 ? ( ) ? 圖 1 ? 圖 2 A.?