【文章內(nèi)容簡介】 DAC=∠ ACB. ∵ AC平分 ∠ BAD,∴∠ BAC=∠ DAC, ∴∠ BAC=∠ ACB,∴ BA=BC, 由 (1)可知 ,BE=AE=BC, ∴ AB=BE=AE,∴ △ ABE為等邊三角形 , ∴∠ BAC=30176。,AC⊥ BE,∴ AH=CH. 在 Rt△ ABH中 ,AH=ABcos∠ BAH=? , 32(2)設(shè) AC與 BE交于點 H,如圖 . ∴ AC=2AH=? . 39.(2022貴州遵義 ,24,10分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ BAC=90176。,D是 BC的中點 ,E是 AD的中點 .過點 A作 AF ∥ BC交 BE的延長線于點 F. (1)求證 :△ AEF≌ △ DEB。 (2)證明四邊形 ADCF是菱形 。 (3)若 AC=4,AB=5,求菱形 ADCF的面積 . ? 解析 (1)證明 :在 Rt△ ABC中 ,∠ BAC=90176。,D是 BC的中點 , ∴ AD=? BC=DC=BD.? (1分 ) ∵ AF∥ BC,∴∠ DBE=∠ AFE, ∵ E是 AD的中點 ,∴ ED=EA. 又 ∠ BED=∠ FEA,? (2分 ) ∴ △ BDE≌ △ FAE(AAS).? (3分 ) (2)證明 :由 (1)知 AF=BD=DC,? (4分 ) ∴ AF?? DC,∴ 四邊形 ADCF是平行四邊形 .? (5分 ) 又 ∵ AD=DC, ∴ 四邊形 ADCF是菱形 .? (6分 ) (3)解法一 :連接 DF, 12∵ AF?? DC,BD=CD,∴ AF?? BD,? (7分 ) ∴ 四邊形 ABDF是平行四邊形 , ∴ DF=AB=5,? (8分 ) ∴ S菱形 ADCF=? ACDF=? 45=10.? (10分 ) 解法二 :在 Rt△ ABC中 ,AC=4,AB=5, ∴ BC=? ,? (7分 ) 設(shè) BC邊上的高為 h, 則 ? BCh=? ABAC,? (8分 ) 12 124112 12∴ h=? ,? (9分 ) ∴ S菱形 ADCF=DCh=? ? =10.? (10分 ) 2 0 4 141412 2 0 4 1411.(2022天津 ,11,3分 )如圖 ,在正方形 ABCD中 ,E,F分別為 AD,BC的中點 ,P為對角線 BD上的一個 動點 ,則下列線段的長等于 AP+EP最小值的是 ? ( ) ? 考點三 正方形 答案 D 在正方形 ABCD中 ,連接 CE、 PC. ? ∵ 點 A與點 C關(guān)于直線 BD對稱 , ∴ AP=CP, ∴ AP+EP的最小值為 EC. ∵ E,F分別為 AD,BC的中點 , ∴ DE=BF=? AD. ∵ AB=CD,∠ ABF=∠ ADC=90176。, ∴ △ ABF≌ △ CDE.∴ AF=CE. 12故選 D. 解后反思 本題考查軸對稱 ,正方形的性質(zhì) ,主要依據(jù)“兩點之間線段最短” .只要作出點 A(或 點 E)關(guān)于直線 BD的對稱點 C(或 G),再連接 EC(或 AG),所得的線段長為兩條線段和的最小值 . 思路分析 點 A關(guān)于直線 BD的對稱點為點 C,連接 CE,AP+EP的最小值就是線段 CE的長度 。通 過證明△ CDE≌ △ ABF,得 CE=AF,即可得到 PA +PE的最小值等于線段 AF的長 . 2.(2022陜西 ,8,3分 )如圖 ,在正方形 ABCD中 ,連接 BD,點 O是 BD的中點 .若 M、 N是邊 AD上的兩 點 ,連接 MO、 NO,并分別延長交邊 BC于兩點 M39。、 N39。,則 ? 的全等三角形共有 ? ( ) ? ??圖 中答案 C 易知△ ABD≌ △ CBD,△ MON≌ △ M39。ON39。,△ DON≌ △ BON39。,△ DOM≌ △ BOM39。,故 選 C. 3.(2022山西 ,10,3分 )如圖 ,點 E在正方形 ABCD的對角線 AC上 ,且 EC=2AE,直角三角形 FEG的兩 直角邊 EF,EG分別交 BC,DC于點 M,N,若正方形 ABCD的邊長為 a,則重疊部分四邊形 EMCN的面 積為 ? ( ) ? A.? a2 B.? a2 C.? a2 D.? a2 23 14 59 49答案 D 過點 E作 EO⊥ CD,EH⊥ BC,顯然四邊形 EHCO為正方形 ,∴ EH=EO,∠ HEO=90176。. ? ∵∠ GEF=∠ HEO=90176。,∴∠ OEN=∠ MEH. ∵∠ EHM=∠ EON=90176。, ∴ △ EHM≌ △ EON, ∴ S四邊形 EMCN=S正方形 EHCO. ∵ EC=2AE,∴ ? =? . ∵ AB=a,∴ S正方形 ABCD=a2, ∴ S正方形 EHCO=? S正方形 ABCD=? a2, ∴ 重疊部分四邊形 EMCN的面積為 ? D. ECAC 2349 49494.(2022江西 ,12,3分 )在正方形 ABCD中 ,AB=6,連接 AC,BD,P是正方形邊上或?qū)蔷€上一點 ,若 PD=2AP,則 AP的長為 . 答案 2,? ? 或 2? 14 2 3解析 ∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,AB=6,∴ AC⊥ BD,AC=BD=6? ,OA=OD=3? . 有三種情況 :① 點 P在 AD上時 , ? ∵ AD=6,PD=2AP,∴ AP=? AD=2。 ② 點 P在 AC上時 ,不妨設(shè) AP=x(x0),則 DP=2x, ? 在 Rt△ DPO中 ,由勾股定理得 DP2=DO2+OP2, 即 (2x)2=(3? )2+(3? x)2, 2 2132 2解得 x=? ? (負(fù)值舍去 ),即 AP=? ? 。 ③ 點 P在 AB上時 ,∵∠ PAD=90176。,PD=2AP,∴∠ ADP=30176。, ? ∴ AP=ADtan 30176。=6? =2? . 綜上所述 ,AP的長為 2,? ? 或 2? . 14 2 14 233314 2 3思路分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)得出 AC⊥ BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,畫出符合題意的三種情 況 ,根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理及銳角三角函數(shù)求解即可 . 解題關(guān)鍵 熟記正方形的性質(zhì) ,分析符合題意的情況 ,并準(zhǔn)確畫出圖形是解題的關(guān)鍵 . 易錯警示 此題沒有給出圖形 ,需將點 P的位置分類討論 ,做題時 ,往往會因只畫出點 P在正方 形邊上而致錯 . 5.(2022山東青島 ,13,3分 )如圖 ,在正方形 ABCD中 ,對角線 AC與 BD相交于點 O,E為 BC上一點 ,CE =5,F為 DE的中點 .若△ CEF的周長為 18,則 OF的長為 . ? 答案 ? 72解析 ∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,∴ BO=DO,BC=CD,∠ BCD=90176。.在 Rt△ DCE中 ,∵ F為 DE的中 點 ,∴ CF=? DE=EF=DF.∵ △ CEF的周長為 18,∴ CE+CF+EF=18,又 ∵ CE=5,∴ CF+EF=185=1 3,∴ DE=DF+EF=13,∴ DC=? =12,∴ BC=12,∴ BE=125=△ BDE中 ,∵ BO=DO,F為 DE 的中點 ,∴ OF為△ BDE的中位線 ,∴ OF=? BE=? . 122213 5?12 726.(2022上海 ,16,4分 )已知 E是正方形 ABCD的對角線 AC上一點 ,AE=AD,過點 E作 AC的垂線 ,交邊 CD于點 F,那么 ∠ FAD= 度 . 答案 解析 如圖 ,由題意可得△ ADF≌ △ AEF,所以 ∠ FAD=? ∠ DAC= . ? 127.(2022重慶 ,18,4分 )如圖 ,正方形 ABCD的邊長為 6,點 O是對角線 AC、 BD的交點 ,點 E在 CD上 , 且 DE=2CE,連接 C作 CF⊥ BE,垂足是 F,連接 OF,則 OF的長為 . ? 答案 ? 655解析 如圖 ,在 BE上截取 BG=CF,連接 OG, ? ∵ CF⊥ BE,∴∠ EBC+∠ BCF=90176。. 又 ∵∠ ECF+∠ BCF=90176。, ∴∠ EBC=∠ ECF, ∵∠ OBC=∠ OCD=45176。,∴∠ OBG=∠ OCF. 在△ OBG與△ OCF中 ,? ∴ △ OBG≌ △ OCF(SAS), ∴ OG=OF,∠ BOG=∠ COF,∴ OG⊥ OF. ∵ BC=DC=6,DE=2EC,∴ EC=2, ,O B O CO B G O C FB G C F???? ? ??? ??∴ BE=? =? =2? , ∵ BC2=BFBE,∴ 62=BF2 ? , 解得 BF=? , ∴ EF=BEBF=? , ∵ CF2=BFEF,∴ CF=? , ∴ GF=BFBG=BFCF=? . 在等腰直角△ OGF中 ,OF2=? GF2,∴ OF=? . 22BC CE? 2262? 10109 1 051053 1 056 1 0512 6558.(2022上海 ,23,12分 )已知 :如圖 ,四邊形 ABCD中 ,AD∥ BC,AD=CD,E是對角線 BD上一點 ,且 EA= EC. (1)求證 :四邊形 ABCD是菱形 。 (2)如果 BE=BC,且 ∠ CBE∶∠ BCE=2∶ 3,求證 :四邊形 ABCD是正方形 . ? 證明 (1)在△ ADE和△ CDE中 ,? ∴ △ ADE≌ △ CDE(SSS). ∴∠ ADE=∠ CDE. ∵ AD∥ BC, ∴∠ ADE=∠ CBD,∴∠ CBD=∠ CDE,∴ BC=CD, ∴ AD=BC,∴ 四邊形 ABCD為平行四邊形 . 又 AD=CD, ∴ 四邊形 ABCD為菱形 . (2)∵∠ CBE∶∠ BCE=2∶ 3, ∴ 設(shè) ∠ CBE=2x176。,∠ BCE=3x176。, ∵ BE=BC,∴∠ BEC=∠ BCE=3x176。, ∵ 2x+3x+3x=180, ∴ x=,∴∠ CBE=45176。. ,A D C DD E D EE A E C?????? ??∵∠ ADB=∠ CDB=∠ CBE,∴∠ ADC=90176。. ∵ 四邊形 ABCD為菱形 , ∴ 四邊形 ABCD為正方形 . 思路分析 (1)先證四邊形 ABCD為平行四邊形 ,再由一組鄰邊相等 ,便可證得四邊形 ABCD為 菱形 . (2)證菱形 ABCD的一個角為直角 ,便可證得菱形 ABCD為正方形 . 9.(2022山東臨沂 ,25,11分 )如圖 1,在正方形 ABCD的外側(cè) ,作兩個等邊三角形 ADE和 DCF,連接 AF,BE. (1)請判斷 :AF與 BE的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 。 (2)如圖 2,若將條件“兩個等邊三角形 ADE和 DCF”變?yōu)椤皟蓚€等腰三角形 ADE和 DCF,且 EA =ED=FD=FC”,第 (1)問中的結(jié)論是否仍然成立 ?請作出判斷并給予證明 。 (3)若三角形 ADE和 DCF為一般三角形 ,且 AE=DF,ED=FC,第 (1)問中的結(jié)論都能成立嗎 ?請直 接寫出你的判斷 . ? 解析 (1)AF=BE,AF⊥ BE.? (2分 ) (2)結(jié)論成立 .? (3分 ) ? 證明 :∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴ BA=AD=DC,∠ BAD=∠ ADC=90176。. 在△ EAD和△ FDC中 ,? ∴ △ EAD≌ △ FDC.∴∠ EAD=∠ FDC. ∴∠ EAD+∠ DAB=∠ FDC+∠ CDA, 即 ∠ BAE=∠ ADF.? (4分 ) 在△ BAE和△ ADF中 ,? ,E A F DE D F CA D D C?????? ??,B A A DB A E A D FA E D F???? ? ??? ??∴ △ BAE≌ △ ADF. ∴ BE=AF,∠ ABE=∠ DAF.? (6分 ) ∵∠ DAF+∠ BAF=90176。, ∴∠ ABE+∠ BAF=90176。, ∴ AF⊥ BE.? (9分 ) (3)結(jié)論都能成立 .? (11分 ) 考點一 矩形 C組 教師專用題組 1.(2022四川南充 ,8,3分 )如圖 ,對折矩形紙片 ABCD,使 AB與 DC重合得到折痕 EF,將紙片展平 。再 一次折疊 ,使點 D落到 EF上點 G處 ,并使折痕經(jīng)過點 A,展平紙片后 ∠ DAG的大小為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 C 如圖 ,根據(jù)第二次折疊可知 ,∠ 1=∠ 2,∠ MGA=90176。,由第一次折疊可知 ,MN=AN,即 NG 是 Rt△ AMG的中線 ,故 AN=GN,所以 ∠ 2=∠ EF∥ AB,所以 ∠ 3=∠ 4,故 ∠ 1=∠ 2=∠ 4,又因為 ∠ 1+∠ 2+∠ 4=90176。,所以 ∠ 1=∠ 2=∠ 4=30176。,