【正文】 ) ? A.(? ,1) B.(2,1) C.(1,? ) D.(2,? ) 3 3 3答案 D 由題意可知 AD39。因為 CD∥ AB,所以 ∠ 2=∠ DCA,再由 ∠ 1=∠ 2,可得 ∠ 1=∠ DCA,所以 AD=CD,由一組鄰邊相等的平行四邊 形是菱形 ,得 ?ABCD是菱形 ,D正確 .故選 C. 5.(2022河北 ,9,3分 )求證 :菱形的兩條對角線互相垂直 . 已知 :如圖 ,四邊形 ABCD是菱形 ,對角線 AC,BD交于點 O. 求證 :AC⊥ BD. 以下是排亂的證明過程 : ① 又 BO=DO, ② ∴ AO⊥ BD,即 AC⊥ BD. ③ ∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ④ ∴ AB=AD. ? 證明步驟正確的順序是 ? ( ) A.③ → ② → ① → ④ B.③ → ④ → ① → ② C.① → ② → ④ → ③ D.① → ④ → ③ → ② 答案 B 證明 :∵ 四邊形 ABCD是菱形 ,∴ AB=AD, 又 BO=DO,∴ AO⊥ BD,即 AC⊥ BD. 所以證明步驟正確的順序是③ → ④ → ① → ② ,故選 B. 6.(2022河南 ,9,3分 )我們知道 :四邊形具有不穩(wěn)定性 .如圖 ,在平面直角坐標系中 ,邊長為 2的正方 形 ABCD的邊 AB在 x軸上 ,AB的中點是坐標原點 A,B,把正方形沿箭頭方向推 ,使點 D落 在 y軸正半軸上點 D39。根據(jù)一組鄰邊相等的平 行四邊形是菱形可得選項 B正確 。 如圖 2,其中 AE=CF, 但顯然四邊形 AECF不是平行四邊形 .故 B符合題意 . ? ? 圖 1 圖 2 思路分析 依據(jù)平行四邊形的定義或判定定理進行判斷 . 3.(2022陜西 ,8,3分 )如圖 ,在菱形 ABCD中 ,點 E、 F、 G、 H分別是邊 AB、 BC、 CD和 DA的中點 , 連接 EF、 FG、 GH和 EH=2EF,則下列結(jié)論正確的是 ? ( ) ? =? EF =? EF =2EF =? EF 2 35答案 D 如圖 ,連接 AC、 BD交于 O, ? ∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴ AC⊥ BD,OA=OC,OB=OD, ∵ 點 E、 F、 G、 H分別是邊 AB、 BC、 CD和 DA的中點 , ∴ EF=? AC,EH=? BD, ∵ EH=2EF,∴ BD=2AC,∴ OB=2OA, ∴ AB=? =? OA, 易知 OA=EF,∴ AB=? EF,故選 D. 12 1222OB OA? 55思路分析 首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到 AC⊥ BD,OA=OC,OB=OD,然后根據(jù)三角形中位線定理 得出 EF=? AC,EH=? BD,進而得到 OB=2OA,最后根據(jù)勾股定理求得 AB=? 當 AF∥ CE時 ,如圖 1, 則 ∠ AFE=∠ CEF,從而 ∠ AFD=∠ CEB, 又因為 ∠ ADF=∠ CBE,AD=BC, 所以△ AFD≌ △ CEB,則 AF=CE, 所以四邊形 AECF一定是平行四邊形 ,故 C不符合題意 。菱形的對角線互相垂直平分 ,不一定相等 ,選項 C錯誤 。.? (5分 ) (2)依題意 ,得 (n2)180+360=(n+x2)180.? (7分 ) 解得 x=2.? (9分 ) 112考點二 (特殊 )平行四邊形 1.(2022重慶 ,6,4分 )下列命題正確的是 ? ( ) 答案 D 平行四邊形的對角線互相平分 ,不一定垂直 ,選項 A錯誤 。,∴ (n2)180=360. 解得 n=4.? (3分 ) ∵ θ=630176。 (2)若 n邊形變?yōu)?(n+x)邊形 ,發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了 360176。.甲、乙的說法對嗎 ?若對 ,求出邊數(shù) n。. (1)甲同學說 ,θ能取 360176。,又因為等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等 , 所以 ∠ 1=? =176。. 9.(2022江蘇揚州 ,13,3分 )如圖 ,若該圖案是由 8個全等的等腰梯形拼成的 ,則圖中的 ∠ 1= 176。18176。,所以 ∠ 3+∠ 1∠ 2= 30176。90176。=12176。,∠ 1=120176。60176。、 120176。、 90176。. ? 答案 108 8.(2022河北 ,19,3分 )平面上 ,將邊長相等的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形的一邊重 合并疊在一起 ,如圖 ,則 ∠ 3+∠ 1∠ 2= 176。36176。108176。. ∴∠ COD=36176。108176。,以 ∠ APB,∠ APC為內(nèi)角的兩個正多邊形均為正十二邊形 ,會標的外 輪廓周長為 10+10+1=21. 7.(2022福建 ,15,4分 )兩個完全相同的正五邊形都有一邊在直線 l上 ,且有一個公共頂點 O,其擺 放方式如圖所示 ,則 ∠ AOB等于 度 . ? 解析 如圖 ,∵ 正五邊形中每一個內(nèi)角都是 108176。 在所有符合要求的圖案中選一個外輪廓周長最大的定為會標 ,則會標的外輪廓周長是 . ? 圖 1 902 ?18 ? 圖 2 答案 14。是 360176。. 6.(2022河北 ,19,6分 )如圖 1,作 ∠ BPC平分線的反向延長線 PA ,現(xiàn)要分別以 ∠ APB,∠ APC,∠ BPC 為內(nèi)角作正多邊形 ,且邊長均為 1,將作出的三個正多邊形填充不同花紋后成為一個圖案 . 例如 :若以 ∠ BPC為內(nèi)角 ,可作出一個邊長為 1的正方形 ,此時 ∠ BPC=90176。. ? 解法三 :作 OP⊥ AB,OQ⊥ BC,如圖所示 . ? 易證 Rt△ OPM≌ Rt△ OQN,則 ∠ POM=∠ QON, ∴∠ MON=∠ POQ=180176。. ? 3605 ?解法二 :特殊位置法 ,當 OM⊥ AB,ON⊥ BC時 ,∠ MON=180176。=72176。,∴∠ AFE=∠ ABF+∠ BAF=36176。, ∵ BA=BC,∴∠ BAC=∠ BCA=36176。. 4.(2022陜西 ,12,3分 )如圖 ,在正五邊形 ABCDE中 ,AC與 BE相交于點 F,則 ∠ AFE的度數(shù)為 . ? 答案 72176。,那么這個正多邊形的邊數(shù)是 ? ( ) 答案 B 這個正多邊形的邊數(shù)為 ? =5,故選 B. 36072??3.(2022山西 ,12,3分 )圖 1是我國古代建筑中的一種窗格 ,其中冰裂紋圖案象征著堅冰出現(xiàn)裂紋 并開始消溶 ,形狀無一定規(guī)則 ,代表一種自然和諧美 .圖 2是從圖 1冰裂紋窗格圖案中提取的由五 條線段組成的圖形 ,則 ∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5= 度 . ? 圖 1 ? 圖 2 答案 360 解析 ∵ 任意 n(n≥ 3)邊形的外角和為 360176。,所以 x+2x=180,解得 x=60. 因為 360247。, ∴ DE=? =? . 31222DG GE? 13教師專用題組 考點一 多邊形 1.(2022新疆烏魯木齊 ,5,4分 )如果正 n邊形每一個內(nèi)角等于與它相鄰外角的 2倍 ,則 n的值是 ? ( ) 答案 C 設(shè)正 n邊形外角的度數(shù)為 x176。cos∠ 1=2,DG=CD. 在 Rt△ DGC中 ,∠ DGC=90176。 (2)若 AB=4,AD=6,∠ B=60176。sin 60176。cos 60176。, ∴ △ ABE是等邊三角形 . ∵ AB=4, ∴ AE=AB=4, ∴ AP=? AE=2. 在 Rt△ AGP中 ,可求得 ∠ PAG=60176。 (2)若 AB=4,AD=6,∠ ABC=60176。. ∴ 四邊形 BFDE是矩形 . (2)由 (1)可得 ,∠ BFC=90176。cos∠ BAH=? , 32∴ AC=2AH=? . 39.(2022北京 ,19,5分 )如圖 ,四邊形 ABCD是平行四邊形 ,AE平分 ∠ BAD,交 DC的延長線于點 證 :DA=DE. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 , ∴ AB∥ CD.∴∠ BAE=∠ E. ∵ AE平分 ∠ BAD,∴∠ BAE=∠ DAE. ∴∠ E=∠ DAE,∴ DA=DE. 思路分析 本題要證明在同一個三角形中的兩條線段相等 ,可以考慮借助角相等來證明 . 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要掌握平行四邊形的性質(zhì) ,尤其是題目給出了角平分線 ,就需要 多思考平行四邊形與角有關(guān)的性質(zhì) . 10.(2022北京 ,22,5分 )在 ?ABCD中 ,過點 D作 DE⊥ AB于點 E,點 F在邊 CD上 ,DF=BE,連接 AF,BF. (1)求證 :四邊形 BFDE是矩形 。, ∴ BE=ED,∴ ?BCDE為菱形 . (2)設(shè) AC與 BE交于點 H,如圖 . ∵ AD∥ BC,∴∠ DAC=∠ ACB. ∵ AC平分 ∠ BAD,∴∠ BAC=∠ DAC, ∴∠ BAC=∠ ACB,∴ BA=BC, 由 (1)可知 ,BE=AE=BC, ∴ AB=BE=AE,∴ △ ABE為等邊三角形 , ∴∠ BAC=30176。,E 為 AD的中點 ,連接 BE. (1)求證 :四邊形 BCDE為菱形 。. 6.(2022北京 ,11,4分 )如圖 ,O是矩形 ABCD的對角線 AC的中點 ,M是 AD的中點 ,若 AB=5,AD=12,則 四邊形 ABOM的周長為 . ? 答案 20 解析 ∵ AB=5,AD=12,∴ AC=13,∴ BO=.∵ M、 O分別為 AD、 AC的中點 ,又 CD=5,∴ MO=, AM=6,∴ C四邊形 ABOM=AM+MO+BO+AB=6+++5=20. 7.(2022北京 ,21,5分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AB∥ DC,AB=AD,對角線 AC,BD交于點 O,AC平分 ∠ BAD,過點 C作 CE⊥ AB交 AB的延長線于點 E,連接 OE. (1)求證 :四邊形 ABCD是菱形 。 解析 ∵ 多邊形的外角和為 360176。,正十邊形有十個相等的外角 ,每個外角為 ? =36176。 176。 176。=540176。,則該正多邊形的邊數(shù)是 ? = B. 360303.(2022北京 ,4,3分 )內(nèi)角和為 540176。.故選 C. 2.(2022北京 ,6,3分 )若正多邊形的一個內(nèi)角是 150176。=6,由多邊形內(nèi)角和 公式可知內(nèi)角和為 180176。247。 答案 C 由多邊形外角和為 360176。 176。,則該正多邊形的內(nèi)角和為 ? ( ) 176。 167。 四邊形與多邊形 中考數(shù)學 (北京專用 ) 20222022年北京中考題組 五年中考 1.(2022北京 ,5,2分 )若正多邊形的一個外角是 60176。 176。 176。,可知這個正多邊形的邊數(shù)為 360176。60176。(62)=720176。,則該正多邊形的邊數(shù)是 ? ( ) 答案 B 由題意得 ,該正多邊形的每個外角均為 30176。的多邊形是 ? ( ) ? 答案 C 由多邊形內(nèi)角和公式得 (n2)180176。,解得 n=5,所以該多邊形為五邊形 ,故選 C. 4.(2022北京 ,3,4分 )正十邊形的每個外角等于 ? ( ) 176。 176。 答案 B 多邊形的外角和為 360176。.故選 B. 36010?5.(2022北京 ,12,3分 )下圖是由射線 AB,BC,CD,DE,EA組成的平面圖形 ,則 ∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5= . ? 答案 360176。,∴∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5=360176。 (2)若 AB=? ,BD=2,求 OE的長 . 5解析 (1)證明 :∵ AB∥ CD, ∴∠ OAB=∠ DCA. ∵ AC平分 ∠ BAD, ∴∠ OAB=∠ DAC, ∴∠ DCA=∠ DAC, ∴ CD=AD. 又 ∵ AB=AD,∴ AB=CD,∴ 四邊形 ABCD為平行四邊形 . 又 ∵ CD=AD=AB,∴ 四邊形 ABCD為菱形 . (2)∵ 四邊形 ABCD為菱形 , ∴ OA=OC,BD⊥ AC. ∵ CE⊥ AE,∴ OE=AO=OC. ∵ BD=2,∴ OB=? BD=1. 在 Rt△ AOB中 ,AB=? ,OB=1, ∴ OA=? =2,∴ OE=2. 12522AB OB?8.(2022北京 ,22,5分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,BD為一條對角線 ,AD∥ BC,AD=2BC,∠ ABD=90176。 (2)連接 AC,若 AC平分 ∠ BAD,BC=1,求 AC的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ E為 AD的中點 , ∴ AD=2ED.∵ AD=2BC,∴ ED=BC. ∵ AD∥ BC,∴ 四邊形 BCDE為平行四邊形 . 又