【正文】 612 126 622EF ED?12 1225266.(2022北京 ,20,3分 )數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的“從長方形對角線上 任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線 ,則所容兩長方形面積相等 (如圖所示 )”這一推論 ,他 從這一推論出發(fā) ,利用“出入相補”原理復(fù)原了《海島算經(jīng)》九題古證 . ? (以上材料來源于《古證復(fù)原的原則》《吳文俊與中國數(shù)學(xué)》和《古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽》 ) 請根據(jù)上圖完成這個推論的證明過程 . 證明 :S矩形 NFGD=S△ ADC(S△ ANF+S△ FGC), S矩形 EBMF=S△ ABC( + ). 易知 ,S△ ADC=S△ ABC, = , = . 可得 S矩形 NFGD=S矩形 EBMF. 解析 S△ AEF。②作直線 MN交 CD于點 DE=2,CE=3,則矩形 的對角線 AC的長為 . ? 12答案 ? 30解析 如圖 ,連接 AE,由作圖方法得 MN垂直平分 AC,∴ EA=EC=3. ∴ 在 Rt△ ADE中 ,AD=? =? =? . ∴ 在 Rt△ ADC中 ,AC=? =? =? . ? 22AE DE? 2232?522AD DC? 22( 5) 5? 30思路分析 連接 AE,根據(jù)題中的作圖方法 ,可得 MN垂直平分 AC,則 EA=EC=3,用勾股定理先計 算出 AD,再計算出 AC,得解 . 解題關(guān)鍵 本題考查了矩形的性質(zhì) ,基本作圖 (作已知線段的垂直平分線 ),勾股定理 ,識別基本 作圖并熟練應(yīng)用勾股定理計算是解題的關(guān)鍵 . 5.(2022湖北黃岡 ,15,3分 )如圖 ,在一張長為 8 cm,寬為 6 cm的矩形紙片上 ,現(xiàn)要剪下一個腰長為 5 cm的等腰三角形 (要求 :等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合 ,其余的兩個頂點在矩 形的邊上 ).則剪下的等腰三角形的面積為 cm2. 答案 ? 或 5? 或 10 2526解析 不妨設(shè)重合的頂點為點 A,則有以下三種情況 : 圖 (1) 圖 (2) 圖 (3) ①如圖 (1),AE=AF=5,所以所求面積為 ? 55=? . ②如圖 (2),AE=EF=5,Rt△ BEF中 ,可求出 BE=1,根據(jù)勾股定理可得 BF=? =2? ,所以所 求面積為 ? AECD =AE =CE 答案 D 由折疊知 ,∠ EAC=∠ BAC,∵ AB∥ CD,∴∠ ECA=∠ BAC,∴∠ EAC=∠ ECA,∴ AE= D. 3.(2022江西 ,10,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AD=3,將矩形 ABCD繞點 A逆時針旋轉(zhuǎn) ,得到矩形 AE FG,點 B的對應(yīng)點 E落在 CD上 ,且 DE=EF,則 AB的長為 . ? 答案 3? 2解析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) ,得 BC=EF,AB=AE,又四邊形 ABCD為矩形 ,DE=EF,∴ AD=DE=3,∠ D=90176。=∠ CAB39。,AB39。tan 30176。, ∴∠ COF=∠ BFO∠ OCB=30176。. ∵ EF⊥ BD,∴∠ BOF=90176。,則 FC的長度為 ? ( ) ? C.? D.? 32 3答案 A ∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴ OA=OB=OC=? AC=? . ∵ AD∥ BC,∴∠ OFC=∠ AEO=120176。,過點 D39。ADAQ39。39。ADAQ39。39。DEDP 39。E=? ,即 DE=? .∴ DE的長為 ? 或 ? . ? 1239。E=? ,即 DE=? .②當 D39。2,即 52=(7x)2+x2,∴ x1=3,x2=4. ①當 D39。 中 ,AD39。P∽ △ D39。E=90176。=AD=5,DE=D39。,∴ BQ=QD39。在 ∠ ABC的平分線上 ,四邊形 ABCD為矩形 ,∴∠ ABD39。,過點 D39。三種情況討論 . 4.(2022河南 ,15,3分 )如圖 ,矩形 ABCD中 ,AD=5,AB=7,點 E為 DC上一個動點 ,把△ ADE沿 AE折疊 , 當點 D的對應(yīng)點 D39。=CD和 CB39。=16或 4? . 1255思路分析 分 DB39。DH中 ,由勾股定理得 DB39。H=GHB39。EG中 ,由勾股定理得 B39。,∴ DH=? CD=8,∴ AG=DH=8,∴ GE=AGAE= EB39。H⊥ AGHD為矩形 ,∴ AG=DH. ∵ CB39。G⊥ AB于點 G,延長 GB39。=DB39。的垂直平分線上 ,∴ EC垂直平分 BB39。,CB=CB39。=CD時 ,連接 BB39。=DC,則 DB39。恰為等腰三角形 ,則 DB39。E= BE=x,用勾股定理求 AM的長 ,然后利用相似的性質(zhì)求 BE的長 . 評析 本題考查軸對稱 ,矩形的判定和性質(zhì) ,相似三角形的判定與性質(zhì) ,勾股定理等知識 ,題目 的計算量略大 ,屬中檔題 . 3.(2022河南 ,15,3分 )如圖 ,正方形 ABCD的邊長是 16,點 E在邊 AB上 ,AE=3,點 F是邊 BC上不與 點 B,C重合的一個動點 ,把△ EBF沿 EF折疊 ,點 B落在 B39?！?△ B39。E=90176。=∠ ENB39。39。39。39。中 ,AM=? =? =? ,所以 ? =? ,即 x=? . 綜上所述 ,BE的長為 ? 或 ? . 39。M=2時 ,B39。中 ,AM=? =? =2? ,所以 ? =? ,即 x=? 。M=1時 ,B39。NE,∴ ? =? , 設(shè) B39。,∴ △ AMB39。=∠ ENB39。M=∠ B39。EN=90176。. ∵∠ EB39。M+∠ EB39。E=∠ ABC=90176。為線段 MN的三等分點 ,∴ B39。作 AD的垂線 ,分別交 AD,BC于點 M, B39。因為 CD∥ AB,所以 ∠ 2=∠ DCA,再由 ∠ 1=∠ 2,可得 ∠ 1 =∠ DCA,所以 AD=CD,由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 ,得 ?ABCD是菱形 ,D中條件可判 定 ?ABCD是菱形 .故選 C. 2.(2022河南 ,15,3分 )如圖 ,已知 AD∥ BC,AB⊥ BC,AB= E為射線 BC上一個動點 ,連接 AE,將△ ABE沿 AE折疊 ,點 B落在點 B39。根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得選項 B中條件可判定 ?ABCD是菱形 。第四章 圖形的認識 167。 特殊的平行四邊形 中考數(shù)學(xué) (河南專用 ) A組 20222022年 河南 中考題組 五年中考 1.(2022河南 ,7,3分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,對角線 AC,BD相交于點 O,添加下列條件 ? 判定 ?ABCD是菱形的只有 ? ( ) ? ⊥ BD =BC =BD D.∠ 1=∠ 2 ??不 能答案 C 根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可得選項 A中條件可判定 ?ABCD是菱 形 。對角線 相等的平行四邊形為矩形 ,故選項 C錯誤 。處 ,過點 B39。為線段 MN的 三等分點時 ,BE的長為 . ? 答案 ? 或 ? 322 355解析 ∵ AD∥ BC,AB⊥ BC,MN⊥ AD, ∴ 四邊形 ABNM為矩形 ,∴ MN=AB=3, ∵ B39。M=1或 2, ∵∠ AB39。,∴∠ AB39。N=90176。N+∠ B39。,∴∠ AB39。EN. 又 ∵∠ AMB39。=90176?！?△ B39。E=BE=x. ①當 B39。N=2,在 Rt△ AMB39。 ②當 B39。N=1,在 Rt△ AMB39。ABAM 39。BEBN2239。BA BM? 2231? 23222x 3222239。BA BM? 2232? 535 1x 355322 355思路分析 根據(jù) ∠ AMB39。=∠ AB39。及其他角的關(guān)系 ,判定△ AMB39。NE,設(shè) B39。處 .若△ CDB39。的長 為 . ? 答案 16或 4? 5解析 分三種情況討論 :(1)若 DB39。=16(易知此時點 F在 BC上且不與點 C、 B重合 ). (2)當 CB39。,∵ EB=EB39。,∴ 點 E、 C在 BB39。, 由折疊可知點 F與點 C重合 ,不符合題意 ,舍去 . (3)如圖 ,當 CB39。時 ,作 B39。交 CD于點 H. ∵ AB∥ CD,∴ B39。=DB39。=13, ? ∴ 在 Rt△ B39。G=12,∴ B39。G= Rt△ B39。= 4? (易知此時點 F在 BC上且不與點 C、 B重合 ). 綜上所述 ,DB39。=DC、 CB39。=DB39。落在 ∠ ABC的平分線上時 ,DE的長為 . ? 答案 ? 或 ? 52 53解析 如圖 ,連接 BD39。作 PQ⊥ AB,交 AB于點 Q,交 CD于點 P. ∵ 點 D39。=? ∠ ABC=45176。,設(shè) BQ =x,由折疊得 ,AD39。E,∠ AD39。,易得△ ED39。AQ,∴ ? =? ,在 Rt△ AQD39。2=AQ2+QD39。Q=3時 ,? =? ,即 ? =? ,解得 D39。Q=4時 ,? =? ,即 ? =? , 解得 D39。39。ADAQ39。DEDP 39。2DE54 52 5239。DEDP 39。1DE5353 53 52 53思路分析 連接 BD39。作 AB的垂線 PQ,構(gòu)造相似三角形 ,運用相似的性質(zhì)和勾股定理求 DE的長 . 考點一 矩形 B組 20222022年全國中考題組 1.(2022四川綿陽 ,9,3分 )如圖 ,矩形 ABCD的對角線 AC與 BD交于點 O,過點 O作 BD的垂線分別交 AD,BC于 E,F兩點 .若 AC=2? ,∠ AEO=120176。, ∴∠ BFO=60176。, ∴∠ OBF=∠ OCB=30176。, ∴ OF=FC. ∵ OF=OB=1, ∴ FC=1, 故選 A. 1232.(2022天津 ,10,3分 )如圖 ,把一張矩形紙片 ABCD沿對角線 AC折疊 ,點 B的對應(yīng)點為 B39。與 DC 相交于點 E,則下列結(jié)論一定正確的是 ? ( ) ? A.∠ DAB39。 B.∠ ACD=∠ B39。, 即△ ADE為等腰直角三角形 , 根據(jù)勾股定理得 AE=? =3? ,所以 AB=AE=3? . 2233?2 2解題關(guān)鍵 熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵 . 4.(2022四川成都 ,14,4分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,按以下步驟作圖 :①分別以點 A和 C為圓心 ,以大 于 ? AC的長為半徑作弧 ,兩弧相交于點 M和 N。BF=? 52? =5? . ③如圖 (3),AE=EF=5,Rt△ DEF中 ,可求出 DE=3,根據(jù)勾股定理可得 DF=? =4,所以所求 面積為 ? AES△ FMC。S△ AEF。S△ FMC. 7.(2022吉林長春 ,22,9分 )在矩形 ABCD中 ,已知 AD AD上取點 E,使 AE=AB,連接 E作 EF⊥ CE,與邊 AB或其延長線交于點 F. 猜想 :如圖① ,當點 F在邊 AB上時 ,線段 AF與 DE的大小關(guān)系為 . 探究 :如圖② ,當點 F在邊 AB的延長線上時 ,EF與邊 BC交于點 AF與 DE的大小關(guān)系 , 并加以證明 . 應(yīng)用 :如圖② ,若 AB=2,AD=5,利用探究得到的結(jié)論 ,求線段 BG的長 . ? 解析 猜想 :AF=DE.? (2分 ) 探究 :AF=DE. 證明 :∵ EF⊥ CE,∴∠ CEF=90176。. ∵ 四邊形 ABCD為矩形 , ∴∠ A=∠ D=90176。. ∴∠ 1=∠ 3. ∵ AE=AB,∴ AE=DC. ∴ △ AEF≌ △ DCE. ∴ AF=DE.? (6分 ) 應(yīng)用 :∵ AF=DE=ADAE=52=3,∴ BF=AFAB=32=1. 在矩形 ABCD中 ,AD∥ BC, ∴ △ FBG∽ △ FAE. ∴ ? =? ,即 ? =? . ∴ BG=? .? (9分 ) BGAE FBFA 2BG 13231.(2022陜西 ,8,3分 )如圖 ,在菱形 ABCD中 ,點 E、 F、 G、 H分別是邊 AB、 BC、 CD和 DA的中點 , 連接 EF、 FG、 GH和 EH=2EF,則下列結(jié)論正確的是 ? ( ) ? =? EF =? EF =2EF =? EF 2 35考點二 菱形 答案 D 如圖 ,連接 AC、 BD交于 O, ? ∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴ AC⊥ BD,OA=OC,OB=OD, ∵ 點 E、 F、 G、 H分別是邊 AB、 BC、 CD和 DA的中點 , ∴ EF=? AC,EH=? BD, ∵ EH=2EF,∴ BD=2AC,∴ OB=2OA, ∴ AB=? =? OA, 易知 OA=EF,∴ AB=? EF,故選 D. 12 1222OB OA? 55思路分析 首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到 AC⊥ BD,OA=OC,OB=OD,