【正文】 腰三角形 , 則 AP=4,或 AP=5,或 AP=? . (2)連接 PF,DE,記 PF與 DE的交點(diǎn)為 O,連接 OC. ∵ 四邊形 ABCD和四邊形 PEFD都是矩形 , ∴∠ ADC=∠ PDF=90176。, ∴∠ PAD=∠ PDA,∴ PD=PA , ∴ PA =PC,∴ AP=? ,即 AP=5. ③ 當(dāng) DP=DC時(shí) ,過(guò) D作 DQ⊥ AC于 Q,則 PQ=CQ. ∵ S△ ADC=? AD (2)若 AP=? ,求 CF的長(zhǎng) . ? 2解析 (1)在矩形 ABCD中 ,AB=6,AD=8,∠ ADC=90176。BF=? 52? =5? . ③ 如圖 (3),AE=EF=5,Rt△ DEF中 ,可求出 DE=3,根據(jù)勾股定理可得 DF=? =4,所以所求 面積為 ? AEE, ∴∠ ACB=30176。C=90176。E=∠ ABE=90176。處 ,則 AB= . ? 3答案 ? 3解析 由折疊和矩形的性質(zhì) ,可知 BE=B39。,則平行四邊形 DBCE是矩形 .當(dāng) BE⊥ DC時(shí) ,平行四邊形 DBCE是菱形 .故選 B. 3.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,9,3分 )已知矩形 ABCD的周長(zhǎng)為 20 cm,兩條對(duì)角線 AC,BD相交于點(diǎn) O, 過(guò)點(diǎn) O作 AC的垂線 EF,分別交兩邊 AD,BC于 E,F(不與頂點(diǎn)重合 ),則以下關(guān)于△ CDE與△ ABF判 斷完全正確的一項(xiàng)為 ? ( ) A.△ CDE與△ ABF的周長(zhǎng)都等于 10 cm,但面積不一定相等 B.△ CDE與△ ABF全等 ,且周長(zhǎng)都為 10 cm C.△ CDE與△ ABF全等 ,且周長(zhǎng)都為 5 cm D.△ CDE與△ ABF全等 ,但它們的周長(zhǎng)和面積都不能確定 答案 B ∵ AO=CO,EF⊥ AC,即 EF垂直平分 AC, ∴ EA=EC, ∴ △ CDE的周長(zhǎng) =CD+DE+CE=CD+AD=10 cm,同理可求出△ ABF的周長(zhǎng)為 10 △ AOE和 △ COF中 , ∵ ? ∴ △ AOE≌ △ COF,∴ AE=CF. ∵ AD=BC,∴ DE=BF, ,E A O F C OA O C OA O E C O F? ? ?????? ? ? ??∴ 在△ CDE和△ ABF中 ,? ∴ △ CDE≌ △ ABF,故選 B. , ,C D A BC D E A B FD E B F???? ? ??? ??評(píng)析 本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì) ,全等三角形的判定 ,屬容易題 . 4.(2022江西 ,10,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AD=3,將矩形 ABCD繞點(diǎn) A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) ,得到矩形 AE FG,點(diǎn) B的對(duì)應(yīng)點(diǎn) E落在 CD上 ,且 DE=EF,則 AB的長(zhǎng)為 . ? 答案 3? 2解析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) ,得 BC=EF,AB=AE,又四邊形 ABCD為矩形 ,DE=EF,∴ AD=DE=3,∠ D=9 0176。,則平行四邊形 DBCE是矩形 .若 ∠ ADB=90176。? x=4? , 解得 x=1或 x=1(不符合題意 ,舍去 ),∴ EF=2x=2,故選 C. 3 3 32.(2022山東臨沂 ,12,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD為平行四邊形 ,延長(zhǎng) AD到 E,使 DE=AD,連接 EB,EC, ,不能 使四邊形 DBCE成為矩形的是 ? ( ) ? =BE ⊥ DC C.∠ ADB=90176。=x, 3∴ AD=AM+MF+FD=BG+MF+FD=4x, ∵ AD=? x,MF=GF, ∴ △ GEF是等邊三角形 ,∴ FG=GE=FE. ? 設(shè) BG=x,則 GF=GE=EF=FD=2x. 作 GM⊥ AD,交 AD于點(diǎn) M,則四邊形 ABGM是矩形 ,GM=GF. ∵ AD∥ BC, ∴∠ FGE=∠ AFG=60176?！?AFG=120176。,GE=2BG,則折痕 EF的 長(zhǎng)為 ? ( ) ? B.? ? 33 3答案 C ∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴ AD∥ BC,∠ H=∠ D=∠ FGH=∠ C=90176。時(shí) ,應(yīng)聯(lián)想到“在直角三角形中 ,30176。(3)矩形的兩條對(duì)角線把矩形分成四個(gè) 等腰三角形 。④ 根據(jù)△ FHG∽ △ EDF可 求 FG,從而得 AG+FD=FG. 12DEAB DFAGABGFGHSS BHHF 32方法指導(dǎo) 對(duì)于以矩形為背景的相關(guān)計(jì)算 ,可采取以下思路 :(1)矩形的四個(gè)角都是直角 ,一條 對(duì)角線將矩形分成兩個(gè)直角三角形 ,可用勾股定理或三角函數(shù)求線段的長(zhǎng) 。② 設(shè) DE=x,由勾股定理求出 x,進(jìn)一 步求出 EF,再根據(jù) Rt△ DEF∽ Rt△ HFG可求 GF,進(jìn)而求 AG,由 ? ≠ ? 可知△ DEF與△ ABG不 相似 。 ∵ BH=6,HF=4,∴ S△ BGH=? S△ FGH, ∵ △ ABG≌ △ HBG, ∴ S△ ABG=? S△ FGH,故③正確 。,故①正確 。④ AG+DF=FG. 其中正確的是 .(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上 ) ? 32答案 ①③④ 解析 ∵∠ ABG=∠ HBG,∠ FBE=∠ CBE,∠ ABC=90176。②△ DEF∽ △ ABG。② AP=PD,再由相似三角形中對(duì)應(yīng)邊的比相等求解即可 . 難點(diǎn)突破 判斷 P點(diǎn)在線段 BD上是解答本題的突破口 . 5.(2022安徽 ,14,5分 )如圖 ,在矩形紙片 ABCD中 ,AB=6,BC= E在 CD上 ,將△ BCE沿 BE折疊 ,點(diǎn) C恰落在邊 AD上的點(diǎn) F處 。② A、 C兩點(diǎn)到直線 l的距離相等 ,則符合題意的直線 l的條數(shù)為 ? ( ) ? 23答案 B 連接 AC交 BD于 O點(diǎn) ,則 OD=OB=? .在直線 BD上找一點(diǎn) E,使得 DE=? ,過(guò)點(diǎn) E作 AC 的平行線即可 ,可知滿(mǎn)足條件的直線有兩條 ,故選 B. 2 34.(2022安徽 ,14,5分 )矩形 ABCD中 ,AB=6,BC= P在矩形 ABCD的內(nèi)部 ,點(diǎn) E在邊 BC上 ,滿(mǎn)足△ PBE∽ △ △ APD是等腰三角形 ,則 PE的長(zhǎng)為 . 答案 3或 ? 65解析 在矩形 ABCD中 ,AD=BC=8,在△ ABD中 ,由勾股定理可得 BD=? =10,∵ ABAD,∴ 根據(jù)△ PBE∽ △ DBC可知 P點(diǎn)在線段 BD上 ,當(dāng) AD=PD=8時(shí) ,由相似可得 ? =? =? ?PE=? 。若菱形中存在直角三角形 ,則應(yīng)注意使用勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜 邊的一半等進(jìn)行求解 。 (2)求長(zhǎng)度 (線段或周長(zhǎng) ).應(yīng)注意使用等腰三角形的性質(zhì) ,若菱形中有一個(gè)頂角為 60176。.因?yàn)?AB=8,BC=4,所以 AC=? =4? .易證△ AGE≌ △ CHF, 所以 AG=CH,所以 AO=? AC=2? ,因?yàn)?EO⊥ GH,∠ B=90176。第四章 圖形的認(rèn)識(shí) 167。 特殊的平行四邊形 中考數(shù)學(xué) (安徽專(zhuān)用 ) A組 2022— 2022年安徽中考題組 五年中考 1.(2022安徽 ,10,4分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=5,AD= P滿(mǎn)足 S△ PAB=? S矩形 P到 A,B兩 點(diǎn)距離之和 PA +PB的最小值為 ? ( ) ? A.? B.? ? D.? 1329 34 2 41答案 D 如圖 ,過(guò) P點(diǎn)作 MN,使 MN∥ AB,作 A點(diǎn)關(guān)于 MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) A1,連接 PA 1,A1B,則 PA 1=PA ,設(shè) 點(diǎn) P到 AB的距離為 h,由 AB=5,AD=3,S△ PAB=? S矩形 ABCD可得 h=2,則 AA1=4,因?yàn)?PA +PB=PA 1+PB≥ A1 B,所以當(dāng) P為 A1B與 MN的交點(diǎn)時(shí) ,PA +PB最小 ,其最小值為 ? =? ,故選 D. ? 132245? 41疑難突破 本題的突破口是根據(jù) S△ PAB=? S矩形 ABCD推出 P點(diǎn)是在平行于 AB的線段上運(yùn)動(dòng) ,從而想 到利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化 . 132.(2022安徽 ,9,4分 )如圖 ,矩形 ABCD中 ,AB=8,BC=4,點(diǎn) E在 AB上 ,點(diǎn) F在 CD上 ,點(diǎn) G、 H在對(duì)角線 AC上 ,若四邊形 EGFH是菱形 ,則 AE的長(zhǎng)是 ? ( ) ? ? ? 5 5答案 C 連接 EF交 GH于點(diǎn) O,由四邊形 EGFH為菱形 ,可得 EF⊥ GH,OH=OG,因?yàn)樗倪呅? ABCD為矩形 ,所以 ∠ B=90176。,所以 ∠ AOE=∠ B,又因?yàn)?∠ OAE=∠ BAC,所以△ AOE∽ △ ABC,所以 ? =? =? ,所以 AE=5,故選 C. ? 22AB BC? 5125AEAC AOAB 54思路分析 連接 EF,先證 EF⊥ GH,可求 AC的長(zhǎng) ,再證△ AGE≌ △ CHF,可得 AG=CH,求得 AO的 長(zhǎng) ,然后證△ AOE∽ △ ABC,由相似比求出 AE的長(zhǎng) . 方法指導(dǎo) 利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算的三種題型 :(1)求角度 .應(yīng)注意菱形的四條邊相等、 對(duì)角相等和鄰角互補(bǔ)等 ,可利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的相關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化要求的角 ,直到找 到與已知角的關(guān)系 。,則連接另 外兩點(diǎn)的對(duì)角線所分割的兩個(gè)三角形為等邊三角形 ,故在計(jì)算時(shí)可借助等邊三角形的性質(zhì)進(jìn) 行求解 。 (3)求面積 .可直接利用 S=底 高來(lái)求解 ,也可利用面積等于對(duì)角線之積的一半來(lái)進(jìn)行求解 . 3.(2022安徽 ,10,4分 )如圖 ,正方形 ABCD的對(duì)角線 BD長(zhǎng)為 2? ,若直線 l滿(mǎn)足 :① 點(diǎn) D到直線 l的距 離為 ? 。 當(dāng) AP=PD時(shí) ,P點(diǎn)為 BD的中點(diǎn) ,∴ PE=? CD=3,故答案為 3或 ? . 2268?PECD BPBD 210 6512 65思路分析 根據(jù) ABAD及已知條件先判斷 P點(diǎn)在線段 BD上 ,再根據(jù)等腰三角形腰的情況分兩 種情況 :① AD=PD=8。點(diǎn) G在 AF上 ,將△ ABG沿 BG折疊 ,點(diǎn) A恰落在線段 BF上的點(diǎn) H處 .有下 列結(jié)論 : ① ∠ EBG=45176。③ S△ ABG=? S△ FGH。, ∴∠ EBG=45176。 ∵ AB=6,BF=BC=10,∴ AF=8, ∴ FD=ADAF=108=2, 設(shè) DE=x,則 EF=CE=6x,在 Rt△ DEF中 , ∵ DF2+DE2=EF2,∴ 22+x2=(6x)2,∴ x=? , 即 DE=? ,∴ EF=? , ∵ BH=AB=6, ∴ HF=BFBH=106=4, 又易知 Rt△ DEF∽ Rt△ HFG, ∴ ? =? ,即 ? =? , ∴ GF=5,∴ AG=3, 8383 103EDHF EFGF 834103GF若△ DEF∽ △ ABG,則 ? =? ,但 ? ≠ ? ,故②不正確 。 ∵ △ FHG∽ △ EDF,∴ ? =? , ∴ ? =? ,∴ FG=5, ∴ AG+DF=5,∴ AG+DF=FG,故④正確 . DEAB DFAG836233232FGEF HFDE103FG483思路分析 ①由折疊得角相等 ,易得 ∠ EBG=? ∠ ABC=45176。③ 由△ ABG與△ FGH等高和△ HBG≌ △ ABG,得 ? =? =? 。(2)矩形的對(duì)角線相 等且互相平分 ,故可借助對(duì)角線的關(guān)系得到全等三角形 。(4)當(dāng)已知條件中有一個(gè)角為 30176。角所對(duì)的直角 邊等于斜邊的一半”這一性質(zhì) . 考點(diǎn)一 矩形 B組 2022— 2022年全國(guó)中考題組 1.(2022新疆烏魯木齊 ,9,4分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,點(diǎn) F在 AD上 ,點(diǎn) E在 BC上 ,把這個(gè)矩形沿 EF折 疊后 ,使點(diǎn) D恰好落在 BC邊上的 G點(diǎn)處 ,若矩形面積為 4? 且 ∠ AFG=60176。. 由折疊知 ∠ GFE=∠ DFE,FD=FG. ∵∠ GFD=180176。, ∴∠ GFE=∠ DFE=60176。,∠ FEG=∠ DFE=60176。sin 60176。cos 60176。GM=4? ,∴ 4x ⊥ DE 答案 B ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,∴ AD∥ BC,AD=BC,AB=CD,∴ DE∥ BC,又 DE=AD,∴ DE=BC,∴ 四邊形 DBCE是平行四邊形 .若 AB=BE,則 CD=BE,則平行四邊形 DBCE是矩形 .若 CE ⊥ DE,即 ∠ DEC=90176。,則 ∠ BDE=90176。, 即△ ADE為等腰直角三角形 , 根據(jù)勾股定理得 AE=? =3? ,所以 AB=AE=3? . 2233? 2 2解題關(guān)鍵 熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵 . 5.(2022廣東 ,15,4分 )如圖 ,矩形 ABCD中 ,對(duì)角線 AC=2? ,E為 BC邊上一點(diǎn) ,BC= ABCD沿 AE所在的直線折疊 ,B點(diǎn)恰好落在對(duì)角線 AC上的 B39。E,∠ AB39。,∴∠ EB39。. ∵ BC=3BE,∴ EC=2BE