平行四邊形與特殊的平行四邊形-展示頁(yè)
2025-06-29 00:02本頁(yè)面
【正文】 組對(duì)邊平行且相等就 可以了；我們可以選定DE與FG〖解題過(guò)程〗 證：∵ 在ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn) ∴ DE∥BC，DE=1/2BC （三角形中位線性質(zhì)） 同理：FG∥BC，F(xiàn)G=1/2BC ∴ FG=DE （等量代換）FG∥DE∴ 有DEFG（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）〖練習(xí)〗求證：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分。 圖P13 〖解題過(guò)程〗⒉ 如圖P14，ABCD中，E、F分別為AB、CD上的點(diǎn)，且DF=BE， 圖P14 求證：AF=CE〖思路分析〗可以用全等的方法證，也可以直接證AECF，從而得對(duì)邊相等?！冀忸}格式〗 證： ∵有ABCD （已知）∴AB=CD，AB∥CD（平行四邊形性質(zhì)） ∴∠1=∠2 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 又∵AE=CF （已知） 在AEB和CFD中：AB=CD ∠1=∠2 AE=CF ∴AEB≌CFD （SAS） ∴BE=DF （全等性質(zhì)） 同理：DE=BF ∴ 有DEBF （兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）〖同題練習(xí)〗 ⒈ 用“一組對(duì)邊平行且相等”來(lái)證：⒉ 用“對(duì)角線互相平分”來(lái)證： 〖同類(lèi)練習(xí)〗⒈ 如圖P13，ABCD中，E、F分別為AB、CD中點(diǎn)，AF、DE相交于G，CE、BF相交于H。 我們先看第一種方法：兩組對(duì)邊分別相等。幾何證明題的方法往往有多種，不一定要是最簡(jiǎn)單的，但在找條件時(shí)不能亂，不要所有能用的不用的都寫(xiě)上去?！季毩?xí)〗如圖P11，D、E、F分別是ABC三邊中點(diǎn)， AB=6，AC=7，BC=10，則DEF的周長(zhǎng)為 圖P12三、典型題例與解題思路 【例1】如圖P12，ABCD中，E、F為AC上兩點(diǎn)， 且AE=CF，求證：四邊形DEBF是平行四邊形〖思路分析〗 本類(lèi)題型是在平行四邊形中求證某四邊形是平行四邊形，證題思路較有規(guī)律，都是先由原平行四邊形得到一些條件，再證得其它條件，或由全等三角形或由平行四邊形的判定原理得到所要求證的四邊形是平行四邊形。 圖P10 如圖P10，D、E分別為AB、AC中點(diǎn)，則有： DE∥BC，DE=BC；若已知D為AB中點(diǎn)， DE∥BC，則有：AE=CE〖練習(xí)〗證明三角形中位線原理推論 已知： 求證： 證明：⑧ 三角形的三條中位線將原三角形分成的四個(gè)小三角形的全等，周長(zhǎng)都等于原三角形周長(zhǎng)的一半，面積都等于原三角形面積的1/4?！镜妊切闻c平行線相關(guān)性質(zhì)】⑤ 從等腰三角形底邊上任一點(diǎn)做兩腰的平行線， 圖P06可得一平行四邊形和兩個(gè)小的等腰三角形，且平行四邊形的周長(zhǎng)等于兩腰長(zhǎng)之和；如圖P06，AB=AC，DE∥AC，DF∥AB 易得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠B=∠C， ∴∠1=∠C，∠2=∠B〖練習(xí)〗如圖P06，ABC中，AB=AC=6，D是BC上 一點(diǎn)，DE∥AC，DF∥AB，求四邊形AFDE的周長(zhǎng)。 圖P04 如圖P04，已知D為ABC中BC邊上的中點(diǎn)， AB=5，AC=7，求AD的取值范圍。 ⒊如圖P01，已知，ABCD的周長(zhǎng)為28，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)，ABO的周長(zhǎng)比CBO的周長(zhǎng)多4，則AB= ，BC= 圖P02 ⒋如圖P01，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)，已知AB=8，BC=6，⊿ABO的周長(zhǎng)為17，則CBO的周長(zhǎng)= ② 在平行四邊形內(nèi)，過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)且兩端點(diǎn)在平行四邊形邊上的線段一定被對(duì)角線交點(diǎn)平分；如圖P02，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)，線段 EF過(guò)點(diǎn)O，則OE=OF；證AEO≌CFO即可〖練習(xí)〗⒈如圖P02，ABCD中，EF過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)O，若AB=5，BC=4，EO=3，則四邊形CDEF的周長(zhǎng)為 圖P03⒉如圖P03，ABCD中有圓O，請(qǐng)你畫(huà)一條直線，將此平行四邊形及圓O的面積分成相等的兩部分。依據(jù)是每相鄰兩個(gè)三角形都是“等底同高”。 圖P01二、總結(jié)與平行四邊形相關(guān)的性質(zhì)：（注意，以下性質(zhì)只可用來(lái)指導(dǎo)解證題，在填空、選擇題中可直接使用，但在解答題中不可直接當(dāng)作原理使用）【平行四邊形對(duì)角線相關(guān)性質(zhì)】① 平行四邊形每一條對(duì)角線將其分成兩個(gè)全等的三角形；平行四邊形的對(duì)角線將其分成四個(gè)面積相等的小三角形；相對(duì)的兩個(gè)小三角形全等；相鄰兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)之差就等于邊長(zhǎng)之差?！締?wèn)題1】我們學(xué)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)是從哪幾個(gè)方面來(lái)研究的？ 從“邊、角、線”三個(gè)方面，其中“線”指的是對(duì)角線。平行四邊形的性質(zhì)與判定一、總結(jié)平行四邊形的性質(zhì)與判定原理：性質(zhì)原理判定原理 邊 兩組對(duì)邊分別平行； 兩組對(duì)邊分別相等； 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形； 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形； 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；角對(duì)角相等；鄰角互補(bǔ)；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；線對(duì)角線互相平分。對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形?！締?wèn)題2】判定一個(gè)四邊形是平行四邊形必須有幾個(gè)條件？
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