【正文】 EG、 GF、 AF的數量關系 . (3)過點 G作 GH⊥ DC,垂足為 (2)的結論可求得 FG=4,然后在△ ADF中依據勾股定理可求 得 AD的長 ,再證明△ FGH∽ △ FAD,利用相似三角形的性質可求得 GH的長 ,最后依據 BE=BC CE=ADGH求解即可 . 127.(2022泰安 ,23,11分 )如圖 ,△ ABC中 ,D是 AB上一點 ,DE⊥ AC于點 E,F是 AD的中點 ,FG⊥ BC于 點 G,與 DE交于點 H,若 FG=AF,AG平分 ∠ CAB,連接 GE,GD. ? (1)求證 :△ ECG≌ △ GHD。AF. 121212 12(3)如圖 2所示 ,過點 G作 GH⊥ DC,垂足為 H. ? 圖 2 ∵ EG2=? GF,∠ OFD=∠ DFA, ∴ △ DOF∽ △ ADF,∴ ? =? ,DF2=FO (3)若 AG=6,EG=2? ,求 BE的長 . 5解析 (1)證明 :∵ GE∥ DF,∴∠ EGF=∠ DFG.∵ 由翻折的性質可知 :GD=GE,DF=EF,∠ DGF= ∠ EGF,∴∠ DGF=∠ DFG,∴ GD=DF,∴ DG=GE=DF=EF,∴ 四邊形 EFDG是菱形 . (2)EG2=? GFDE=63? =18? (cm2). 323336.(2022棗莊 ,24,10分 )如圖 ,將矩形 ABCD沿 AF折疊 ,使點 D落在 BC邊上的點 E處 ,過點 E作 EG∥ CD交 AF于點 G,連接 DG. ? (1)求證 :四邊形 EFDG是菱形 。BD=? 6? 6=18? (cm2). ? 22AD OD?2263?3 312 12 33一題多解 過點 D作 DE⊥ AB,垂足為 E. ? ∵ 菱形 ABCD的周長為 24 cm,∴ AD=AB=6 cm. 在 Rt△ ADE中 ,DE=ADsin 60176。,其周長為 24 cm,則菱形的面積為 cm2. 答案 18? 3解析 ∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴ AB=BC=CD=DA,AC⊥ BD, ∵∠ BAD=60176。=2? .利用相似三角形可得 PM39。交 AC于點 P,此時 PB+PM的值最小 . 過點 B作 BE⊥ CD于 CE=3,則 EM39。. ? 又 ∵ DC=BC,∴ △ BCD是等邊三角形 .∴ BF=CF=? BC=3. ∴ MF=CFCM=32=1,DF=? CF=3? . ∴ DM=? =2? . ∵ ME∥ BD,∴ △ CEM∽ △ COB,∴ ? =? =? =? . 又 ∵ OB=OD,∴ ? =? . 1233 22(3 3) 1?7MECM261313∵ ME∥ BD,∴ △ PEM∽ △ POD,∴ ? =? =? . ∴ PM=? DM=? 2? =? .故選 A. PMPD131414 7 72一題多解 作點 M關于 AC的對稱點 M39。,M是 BC邊的一個三等分點 ,P是對 角線 AC上的動點 ,當 PB+PM的值最小時 ,PM的長是 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 72273355 264答案 A 連接 BD、 DM,DM交 AC于點 P,則此時 PB+PM的值最小 . 過點 D作 DF⊥ BC于點 F,過點 M作 ME∥ BD交 AC于點 E. ∵∠ ABC=120176。 當 AC⊥ BD,根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 ,能判定四邊形 ABCD是菱形 。, ∴ 四邊形 BECD是矩形 .? (8分 ) 考點二 菱形 1.(2022日照 ,1,3分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,對角線 AC,BD相交于點 O,AO=CO,BO=DO,添加下 列條件 ,不能判定四邊形 ABCD是菱形的是 ? ( ) ? =AD =BD ⊥ BD D.∠ ABO=∠ CBO 答案 B ∵ AO=CO,BO=DO,∴ 四邊形 ABCD是平行四邊形 . 當 AB=AD,根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形 ,能判定四邊形 ABCD是菱形 。=∠ B,再由平行線的 性質 ,得 ∠ DAF=∠ AEB,最后由“ AAS”證明兩個三角形全等即可得到 AB=DF. ∴∠ AED=∠ ADE, ∴∠ DEF=∠ DEC, ∵ DF⊥ AE, ∴∠ DFE=90176。,AD∥ BC, ∴∠ ADE=∠ DEC. ∵ AD=AE, 思路分析 首先由矩形的性質 ,得 ∠ B=90176。,AD∥ BC, ∴∠ DAF=∠ AEB. ∵ DF⊥ AE, ∴∠ AFD=90176。時 ,GC=GB. 思路分析 (1)連接 AF,結合旋轉和矩形的性質證 BD∥ AF,且 BD=AF,得到四邊形 BDFA是平行 四邊形 ,得到 DF=AB,進而得到證明的結論 。. 綜上所述 ,當 α為 60176。. 如圖 3,當點 G位于 BC的垂直平分線上 ,且在 BC的右邊時 . 同理 ,△ ADG是等邊三角形 ,∴∠ DAG=60176。 (2)當 α為何值時 ,GC=GB?畫出圖形 ,并說明理由 . ? 解析 (1)證明 :如圖 1,連接 AF. ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,結合旋轉可得 BD=AF,∠ EAF=∠ ABD,∵ AB=AE,∴∠ ABD=∠ AEB,∴∠ EAF=∠ AEB,∴ BD∥ AF,∴ 四邊形 BDFA是平行四邊形 ,∴ FD=AB,∵ AB=CD,∴ FD=CD. ? 圖 1 (2)如圖 2,當點 G位于 BC的垂直平分線上 ,且在 BC的右邊時 . 易知點 G也是 AD的垂直平分線上的點 ,∴ DG=AG, 又 ∵ AG=AD, ∴ △ ADG是等邊三角形 , ∴∠ DAG=60176。α360176。(2)如果兩條線段不在同一個三角形中 ,通常證明這兩條線段所在 的三角形全等 。, ∵ AB=AG=AF,∴ △ AGF是等邊三角形 ,∴ AG=GF, 易得 AD=CF,∴ 四邊形 ACDF是矩形 . 思路分析 (1)利用平行四邊形的性質 ,通過證明△ AGF≌ △ DGC得到 AF=CD,從而得 AB=AF。,判斷四邊形 ACDF的形狀 ,并證明你的結論 . 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AB=CD,AB∥ CD,∴∠ AFC=∠ DCF, 又 ∵ GA=GD,∠ AGF=∠ DGC, ∴ △ AGF≌ △ DGC,∴ AF=CD. ∴ AB=AF. (2)四邊形 ACDF是矩形 . 證明如下 :∵ AF=CD,AF∥ CD, ∴ 四邊形 ACDF是平行四邊形 . ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴∠ BAD=∠ BCD=120176。, ∴ CF=? =? ,故選 D. 524522 2465??? ????1853.(2022青島 ,21,8分 )已知 :如圖 ,?ABCD中 ,對角線 AC與 BD相交于點 E,點 G為 AD的中點 ,連接 CG,CG的延長線交 BA的延長線于點 F,連接 FD. (1)求證 :AB=AF。同理 ,通過△ HOM∽ △ AOD,可以推出 DM=? DG,即 GM =? DG=? .在 Rt△ GHM中 ,GH=? =? . GFADOGOD12 1213121316 121212 12121222HM GM?222.(2022威海 ,12,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=4,BC=6,點 E為 BC的中點 .將△ ABE沿 AE折疊 ,使 點 B落在矩形內點 F處 ,連接 CF的長為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 95125165185答案 D 連接 BF,交 AE于 H,則 AE垂直平分 BF, ∵ BC=6,點 E為 BC的中點 ,∴ BE=3, 又 ∵ AB=4,∠ ABC=90176。167。 特殊的平行四邊形 中考數學 (山東專用 ) A組 2022— 2022年山東中考題組 考點一 矩形 五年中考 1.(2022威海 ,11,3分 )矩形 ABCD與 CEFG如圖放置 ,點 B,C,E共線 ,點 C,D,G共線 ,連接 AF,取 AF的 中點 H,連接 GH,若 BC=EF=2,CD=CE=1,則 GH=? ( ) ? B.? C.? D.? 23 22 52答案 C 如圖 ,過點 H作 HM垂直 CG于點 M,設 AF交 CG于點 O. ? 根據題意可知△ GOF∽ △ DOA,所以 ? =? =? =? ,所以 OF=? OA=? AF,即 AF=3OF,因為 點 H是 AF的中點 ,所以 OH=? AF? AF=? AF,即 AF=6OH,所以 OH=? △ HOM∽ △ FOG,可以推出 HM=? GF=? 。,∴ AE=5, ∴ BH=? ,則 BF=? ,∵ FE=BE=EC,∴∠ BFC=90176。 (2)若 AG=AB,∠ BCD=120176。,∴∠ FAG=60176。 (2)先判斷四邊形 ACDF是平行四邊形 ,再根據“對角線相等的平行四邊形是矩形”得出四邊 形 ACDF是矩形 . 方法總結 證明兩條線段相等的思路主要有以下幾種 :(1)如果兩條線段在同一個三角形中 ,則 可利用“等角對等邊”證明 。(3)利用圖形的性質找出中間量過渡 ,如 a=b,b=c,則 a=c. 4.(2022臨沂 ,25,11分 )將矩形 ABCD繞點 A順時針旋轉 α(0176。),得到矩形 AEFG. (1)如圖 ,當點 E在 BD上時 ,求證 :FD=CD。, ∴ α=60176。. 此時 α=300176?；?300176。(2)當 GC=GB時 ,則點 G位于 BC或 AD的垂直平分線 上 ,分點 G位于 BC所在直線的左邊或右邊兩種情況討論 . 5.(2022濟南 ,23,7分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AD=AE,DF⊥ AE于點 F,求證 :AB=DF. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴∠ B=90176。=∠ B, 又 ∵ AD=AE, ∴ △ ABE≌ △ DFA. ∴ AB=DF. 一題多解 本題還可以連接 DE,通過證明△ DEF≌ △ DEC得到要求證的結論 . 連接 DE,如圖 : ? ∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴ AB=CD,∠ C=90176。,其次由垂直定義得 ∠ AFD=90176。=∠ C, 又 ∵ DE=DE, ∴ △ DEF≌ △ DEC. ∴ DC=DF, ∴ AB=DF. 6.(2022聊城 ,21,8分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=BC,BD平分 ∠ ABED是平行四邊形 ,DE交 BC于點 F,連接 :四邊形 BECD是矩形 . ? 證明 ∵ AB=BC,BD平分 ∠ ABC, ∴ BD⊥ AC,AD=CD.? (2分 ) ∵ 四邊形 ABED是平行四邊形 , ∴ BE∥ AD,BE=AD,? (4分 ) ∴ BE=CD. ∴ 四邊形 BECD是平行四邊形 .? (6分 ) ∵ BD⊥ AC,∴∠ BDC=90176。 當 AC=BD,根據對角線相等的平行四邊形是矩形 ,不能判定四邊形 ABCD是菱形 。 ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,∴ AD∥ BC, ∴∠ ADB=∠ DBC. ∵∠ ABO=∠ CBO,∴∠ ABO=∠ ADO, ∴ AB=AD,∴ 四邊形 ABCD是菱形 .故選 B. 2.(2022聊城 ,4,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,DE∥ BC,EF∥ AB,要判定四邊形 DBFE是菱形 ,還需要添加的 條件是 ? ( ) ? =AC =BD ⊥ AC ∠ ABC 答案 D 菱形是特殊的平行四邊形 ,因而在判定一個四邊形是菱形時 ,應先判定這個四邊形 是平行四邊形 ,然后在平行四邊形的基礎上增加條件 (邊或角 )判定是菱形 .∵ DE∥ BC,EF∥ AB, ∴ 四邊形 DBFE是平行四邊形 ,要使四邊形 DBFE是菱形 ,則添加鄰邊相等即可 ,由 BE平分 ∠ ABC得 ,∠ DBE=∠ EBF,又 ∵ DE∥ BC,∴∠ DEB=∠ EBF,∴∠ DBE=∠ DEB, ∴ DE=DB,∴ 四邊形 DBFE是菱形 . 思路分析 先由“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”得到四邊形 DBFE是平行四邊 形 ,然后由對角線平分一個內角得到平行四邊形的一組鄰邊相等 ,即可由菱形的定義得到需要 添加的條件 . 3.(2022萊蕪 ,9,3分 )如圖 ,菱形 ABCD的邊長為 6,∠ ABC=120176。,∴∠ BCD=60176。,連接 BM39。= BM39。=? ,則 PM=? . ? 772 72解題關鍵 本題考查了菱形的性質 ,相似三角形的判定與性質 ,解直角三角形 .解題的關鍵是確 定“動點 P在什么位置時 ,PB+PM的值最小” . 4.(2022青島 ,7,3分 )如