【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 之間的“直距” .例如在下 圖中 ,點(diǎn) P(1,1),點(diǎn) Q(3,2),此時(shí)點(diǎn) Q與點(diǎn) P之間的“直距” DPQ=3. ? (1)① 已知 O為坐標(biāo)原點(diǎn) ,點(diǎn) A(2,1),B(2,0),則 DAO= ,DBO= 。 ② 點(diǎn) C在直線 y=x+3上 ,請(qǐng)你求 DCO的最小值 。 (2)點(diǎn) E是以原點(diǎn) O為圓心 ,1為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,點(diǎn) F是直線 y=2x+4上一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,請(qǐng)你直接 寫(xiě)出點(diǎn) E與點(diǎn) F之間“直距” DEF的最小值 . 解析 (1)① 3。2. ② 設(shè) C(x0,y0),則 DCO=x0+y0, ∵ 點(diǎn) C在直線 y=x+3上 ,∴ x+y=3, 即 x0+y0=3,故 DCO為定值 3. ∴ DCO的最小值為 3. (2)2? . 5213.(2022北京大興一模 ,28)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,過(guò) y軸上一點(diǎn) A作平行于 x軸的直線交某函 數(shù)圖象于點(diǎn) D,點(diǎn) P是 x軸上一動(dòng)點(diǎn) ,連接 DP,過(guò)點(diǎn) P作 DP的垂線交 y軸于點(diǎn) E(E在線段 OA上 ,E不 與點(diǎn) O重合 ),則稱(chēng) ∠ DPE為點(diǎn) D,P,E的“平橫縱直角” .圖 1為點(diǎn) D,P,E的“平橫縱直角”的示 意圖 . ? 圖 1 ? 圖 2 如圖 2,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,已知某二次函數(shù)的圖象與 y軸交于點(diǎn) F(0,m)(m0),與 x軸分別 交于點(diǎn) B(3,0),C(12,0).若過(guò)點(diǎn) F作平行于 x軸的直線交該拋物線于點(diǎn) N. (1)點(diǎn) N的橫坐標(biāo)為 。 (2)已知一直角為點(diǎn) N,M,K的“平橫縱直角” ,若在線段 OC上存在不同的兩點(diǎn) M M2,使相應(yīng)的 點(diǎn) K K2都與點(diǎn) F重合 ,試求 m的取值范圍 。 (3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn) Q,連接 BQ與 FN交于點(diǎn) H,當(dāng) 45176。≤ ∠ QHN≤ 60176。時(shí) ,求 m的取值范圍 . 解析 (1)9. (2)解法一 :∵ MK⊥ MN, ? ∴ 要使線段 OC上存在不同的兩點(diǎn) M M2,使相應(yīng)的點(diǎn) K K2都與點(diǎn) F重合 ,也就是使以 FN為直 徑的圓與 OC有兩個(gè)交點(diǎn) .設(shè)以 FN為直徑的圓的半徑為 r,則 r=? , ∴ |m|? . 又 ∵ m0, ∴ 0m? . 929292解法二 :∵ m0,∴ 點(diǎn) K在 x軸的上方 . 過(guò) N作 NW⊥ OC于點(diǎn) W,設(shè) OM=x,OK=y, 則 CW=OCOW=3,WM=9x. 由△ MOK∽ △ NWM,得 ? =? , ∴ ? =? . ∴ y=? x2+? x. 令 y=m,則 m=? x2+? x, 化為 x29x+m2=0. 由題意可得方程 x29x+m2=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解 , ∴ (9)24m20,得 |m|? . ∵ m0, ∴ 0m? . (3)設(shè)拋物線的表達(dá)式為 y=a(x+3)(x12)(a≠ 0), OKWM MONW9 y x? xm1m 9m1m 9m9292∵ 拋物線過(guò)點(diǎn) F(0,m), ? ∴ m=36a,∴ a=? m, ∴ y=? m(x+3)(x12)=? m? +? m. 過(guò)點(diǎn) Q作 QG⊥ x軸于點(diǎn) G,與 FN交于點(diǎn) R, ∵ FN∥ x軸 , 136136 136292x???????2516∴∠ QRH=90176。, ∵ tan∠ BQG=? ,QG=? m,BG=? , ∴ tan∠ BQG=? . 又 45176?！?∠ QHN≤ 60176。, ∴ 30176?！?∠ BQG≤ 45176。, ∴ 當(dāng) ∠ BQG=30176。時(shí) ,可求得 m=? ? , 當(dāng) ∠ BQG=45176。時(shí) ,可求得 m=? , ∴ m的取值范圍為 ? ≤ m≤ ? ? . BGQG 2516 152245 m2453245245 245314.(2022北京順義一模 ,28)如圖 1,對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn) P和兩條曲線 L L2,給出如下定義 :若從點(diǎn) P 任意引出一條射線分別與 L L2交于 Q Q2,總有 ? 是定值 ,我們稱(chēng)曲線 L1與 L2曲似 ,定值 ? 為曲似比 ,點(diǎn) P為曲心 . ? 圖 1 例如 :如圖 2,以點(diǎn) O39。為圓心 ,r r2(都是常數(shù) )分別為半徑的兩個(gè)同心圓 C C2,從點(diǎn) O39。任意引出 一條射線分別與兩圓交于點(diǎn) M、 N,因?yàn)榭傆?? =? 是定值 ,所以同心圓 C1與 C2曲似 ,曲似比 為 ? ,曲心為 O39。. 12PQPQ 12PQPQ39。39。OMON12rr12rr? 圖 2 ? 圖 3 (1)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,直線 y=kx與拋物線 y=x y=? x2分別交于點(diǎn) A、 B,如圖 3所示 ,試判 斷兩拋物線是否曲似 ,并說(shuō)明理由 。 (2)在 (1)的條件下 ,以 O為圓心 ,OA為半徑作圓 ,過(guò)點(diǎn) B作 x軸的垂線 ,垂足為 C,是否存在 k值 ,使☉ O 與直線 BC相切 ?若存在 ,求出 k的值 ,若不存在 ,說(shuō)明理由 。 (3)在 (1)、 (2)的條件下 ,若將“ y=? x2”改為“ y=? x2”,其他條件不變 ,當(dāng)存在☉ O與直線 BC相 切時(shí) ,直接寫(xiě)出 m的取值范圍及 k與 m之間的關(guān)系式 . 1212 1m解析 (1)是 . 過(guò)點(diǎn) A,B作 x軸的垂線 ,垂足分別為 D,C. ? 依題意可得 A(k,k2),B(2k,2k2), 因此 D(k,0),C(2k,0). ∵ AD⊥ x軸 ,BC⊥ x軸 , ∴ AD∥ BC. ∴ ? =? =? =? . ∴ 兩拋物線曲似 ,曲似比是 ? . (2)假設(shè)存在 k值使☉ O與直線 BC相切 , 則 OA=OC=2k, 又 ∵ OD=k,AD=k2,并且 OD2+AD2=OA2, ∴ k2+(k2)2=(2k)2, 解得 k=177。? . 即存在滿(mǎn)足條件的 k,且 k=177。? . (3)m的取值范圍是 m1, k與 m之間的關(guān)系式為 k2=m21. OAOBODOC 2kk 12123315.(2022北京房山一模 ,28)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,當(dāng)圖形 W上的點(diǎn) P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等 時(shí) ,則稱(chēng)點(diǎn) P為圖形 W的“夢(mèng)之點(diǎn)” . (1)已知☉ O的半徑為 1. ① 在點(diǎn) E(1,1),F? ,M(2,2)中 ,☉ O的“夢(mèng)之點(diǎn)”為 。 ② 若點(diǎn) P位于☉ O內(nèi)部 ,且為雙曲線 y=? (k≠ 0)的“夢(mèng)之點(diǎn)” ,求 k的取值范圍 。 (2)已知點(diǎn) C的坐標(biāo)為 (1,t),☉ C的半徑為 ? ,若在☉ C上存在“夢(mèng)之點(diǎn)” P,直接寫(xiě)出 t的取值范 圍 。 (3)若二次函數(shù) y=ax2ax+1的圖象上存在兩個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)” A(x1,y1),B(x2,y2),且 |x1x2|=2,求二次函數(shù) 圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo) . 22,????????kx2解析 (1)① F. ② ∵ ☉ O的半徑為 1. ∴ ☉ O的“夢(mèng)之點(diǎn)”坐標(biāo)為 ? 和 ? . 又 ∵ 雙曲線 y=? (k≠ 0)與直線 y=x的交點(diǎn)即為雙曲線的“夢(mèng)之點(diǎn)” , ∴ 將 ? 代入雙曲線表達(dá)式中 ,得 k=xy=? , ∵ 點(diǎn) P位于☉ O內(nèi)部 , ∴ 0k? . (2)1≤ t≤ 3. (3)由“夢(mèng)之點(diǎn)”的定義可得 A(x1,x1),B(x2,x2). 令 x=ax2ax+1, 整理得 ,ax2(a+1)x+1=0, 解得 x1=1,x2=? . 22,????????22,??????kx22,???????? 12121a把兩個(gè)根代入 |x1x2|=2中 ,得 ? =2, 解得 a1=1,a2=? . 當(dāng) a=1時(shí) ,y=x2+x+1,其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ? , 當(dāng) a=? 時(shí) ,y=? x2? x+1,其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ? . 11 a?1315,24??????13 13 13 1 1 1,2 1 2??????16.(2022北京平谷一模 ,28)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (x1,y1),點(diǎn) N的坐標(biāo)為 (x2,y2),且 x1≠ x2,y1≠ y2,以 MN為邊構(gòu)造菱形 ,若該菱形的兩條對(duì)角線分別平行于 x軸 ,y軸 ,則稱(chēng)該菱形是以 MN為邊的“坐標(biāo)菱形” . (1)已知點(diǎn) A(2,0),B(0,2? ),則以 AB為邊的“坐標(biāo)菱形”的最小內(nèi)角為 。 (2)若點(diǎn) C(1,2),點(diǎn) D在直線 y=5上 ,以 CD為邊的“坐標(biāo)菱形”為正方形 ,求直線 CD的表達(dá)式 。 (3)☉ O的半徑為 ? ,點(diǎn) P的坐標(biāo)為 (3,m).若在☉ O上存在一點(diǎn) Q,使得以 QP為邊的“坐標(biāo)菱形” 為正方形 ,直線寫(xiě)出 m的取值范圍 . 32解析 (1)60. ? (2)∵ 以 CD為邊的“坐標(biāo)菱形”為正方形 , ∴ 直線 CD與直線 y=5的夾角是 45176。. 過(guò)點(diǎn) C作 CE⊥ DE于 E,則 CE=DE=3, ∴ D(4,5)或 (2,5), ∴ 直線 CD的表達(dá)式為 y=x+1或 y=x+3. (3)1≤ m≤ 5或 5≤ m≤ 1. 提示 : ? 17.(2022北京朝陽(yáng)二模 ,28)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系 xOy中的點(diǎn) P和直線 m,給出如下定義 :若存在一 點(diǎn) P,使得點(diǎn) P到直線 m的距離等于 1,則稱(chēng) P為直線 m的平行點(diǎn) . (1)當(dāng)直線 m的表達(dá)式為 y=x時(shí) , ① 在點(diǎn) P1(1,1),P2(0,? ),P3? 中 ,直線 m的平行點(diǎn)是 。 ②☉ O的半徑為 ? ,點(diǎn) Q在☉ O上 ,若點(diǎn) Q為直線 m的平行點(diǎn) ,求點(diǎn) Q的坐標(biāo) 。 (2)點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (n,0),☉ A半徑等于 1,若☉ A上存在直線 y=? x的平行點(diǎn) ,直接寫(xiě)出 n的取值范圍 . 2 22,???????103解析 (1)① P2,P3. ② 由題意可知 ,直線 m的所有平行點(diǎn)組成平行于直線 m,且到直線 m的距離為 1的直線 . 設(shè)該直線與 x軸交于點(diǎn) A,與 y軸交于點(diǎn) B. 如圖 1,當(dāng)點(diǎn) B在原點(diǎn)上方時(shí) ,作 OH⊥ AB于點(diǎn) H,可知 OH=1. 由直線 m的表達(dá)式為 y=x,可知 ∠ OAB=∠ OBA=45176。. 所以 OB=? . 直線 AB與☉ O的交點(diǎn)即為滿(mǎn)足條件的點(diǎn) Q. 連接 OQ1,作 Q1N⊥ y軸于點(diǎn) N,∵ OQ1=? , ∴ 在 Rt△ OHQ1中 ,可得 HQ1=3, 所以 BQ1=2. 在 Rt△ BNQ1中 ,可求 NQ1=NB=? , 所以 ON=2? , 所以點(diǎn) Q1的坐標(biāo)為 (? ,2? ). 同理可得點(diǎn) Q2的坐標(biāo)為 (2? ,? ). 210222 22 2? 如圖 2,當(dāng)點(diǎn) B在原點(diǎn)下方時(shí) ,同理可求得點(diǎn) Q3的坐標(biāo)為 (2? ,? ),點(diǎn) Q4的坐標(biāo)為 (? ,2? ). 綜上所述 ,點(diǎn) Q的坐標(biāo)為 (? ,2? ),(2? ,? ),(2? ,? ),(? ,2? ). (2)? ≤ n≤ ? . 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2433 433思路分析 本題需要明確點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度 ,進(jìn)而利用 90176。構(gòu)造直角 三角形來(lái)解決問(wèn)題 . 解題關(guān)鍵 解決本題最后一問(wèn)的關(guān)鍵是要找到臨界平行線 ,進(jìn)而借助切線和解直角三角形的 知識(shí)來(lái)確定 n的取值范圍 . 18.(2022北京海淀一模 ,29)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,若 P,Q為某個(gè)菱形相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn) ,且該 菱形的兩條對(duì)角線分別與 x軸 ,y軸平行 ,則稱(chēng)該菱形為點(diǎn) P,Q的“相關(guān)菱形” .下圖為點(diǎn) P,Q的 “相關(guān)菱形”的一個(gè)示意圖 . ? 已知點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (1,4),點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (b,0). (1)若 b=3,則 R(1,0),S(5,4),T(6,4)中能夠成為點(diǎn) A,B的“相關(guān)菱形”頂點(diǎn)的是 。 (2)若點(diǎn) A,B的“相關(guān)菱形”為正方形 ,求 b的值 。 (3)☉ B的半徑為 ? ,點(diǎn) C的坐標(biāo)為 (2,4).若☉ B上存在點(diǎn) M,在線段 AC上存在點(diǎn) N,使點(diǎn) M,N的“相 關(guān)菱形”為正方形 ,請(qǐng)直接寫(xiě)出 b的取值范圍 . 2? 解析 (1)R,S. (2)如圖 . ? ∵ 點(diǎn) A,B的“相關(guān)菱形”為正方形 , ∴ △ ABH為等腰直角三角形 . ∵ 點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (1,4), ∴ BH=AH=4, ∴ b=3或 5. (3)5≤ b≤ 0或 3≤ b≤ 8. ? 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要按照題目要求畫(huà)出示意圖 ,同時(shí)要熟練掌握特殊四邊形的判 定方法 . 思路分析 要理解相關(guān)菱形與正方形的判定方法 ,要同時(shí)關(guān)注邊和角的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系 . 19.(2022北京東城一模 ,29)設(shè)平面內(nèi)一點(diǎn)到等邊三角形中心的距離為 d,等邊三角形的內(nèi)切圓 半徑為 r,外接圓半徑為 ,給出如下定義 :滿(mǎn)足 r≤ d