【正文】 167。 新定義問題 中考數(shù)學(xué) (北京專用 ) 1.(2022北京 ,28,7分 )對(duì)于平面直角坐標(biāo)系 xOy中的圖形 M,N,給出如下定義 :P為圖形 M上任意一 點(diǎn) ,Q為圖形 N上任意一點(diǎn) ,如果 P,Q兩點(diǎn)間的距離有最小值 ,那么稱這個(gè)最小值為圖形 M,N間的 “閉距離” ,記作 d(M,N). 已知點(diǎn) A(2,6),B(2,2),C(6,2). (1)求 d(點(diǎn) O,△ ABC)。 (2)記函數(shù) y=kx(1≤ x≤ 1,k≠ 0)的圖象為圖形 d(G,△ ABC)=1,直接寫出 k的取值范圍 。 (3)☉ T的圓心為 T(t,0),半徑為 d(☉ T,△ ABC)=1,直接寫出 t的取值范圍 . 好題精練 解析 (1)如圖 1,點(diǎn) O到△ ABC上的點(diǎn)的距離的最小值為 2,即 d(點(diǎn) O,△ ABC)=2. ? 圖 1 (2)k的取值范圍為 1≤ k≤ 1且 k≠ 0. 提示 : 如圖 1,y=kx(k≠ 0)的圖象經(jīng)過原點(diǎn) ,在 1≤ x≤ 1范圍內(nèi) ,函數(shù)圖象為線段 . 當(dāng) y=kx(1≤ x≤ 1,k≠ 0)的圖象經(jīng)過 (1,1)時(shí) ,k=1, 此時(shí) d(G,△ ABC)=1。 當(dāng) y=kx(1≤ x≤ 1,k≠ 0)的圖象經(jīng)過 (1,1)時(shí) ,k=1, 此時(shí) d(G,△ ABC)=1. ∴ 1≤ k≤ 1. ∵ k≠ 0, ∴ 1≤ k≤ 1且 k≠ 0. (3)t的取值范圍為 t=4或 0≤ t≤ 42? 或 t=4+2? . 提示 : ☉ T與△ ABC的位置關(guān)系分三種情況 ,如圖 2. ①☉ T在△ ABC的左側(cè)時(shí) ,d(☉ T,△ ABC)=1, 此時(shí) t=4。 ②☉ T在△ ABC的內(nèi)部時(shí) ,d(☉ T,△ ABC)=1, 此時(shí) 0≤ t≤ 42? 。 ③☉ T在△ ABC的右側(cè)時(shí) ,d(☉ T,△ ABC)=1, 此時(shí) t=4+2? . 綜上所述 ,t=4或 0≤ t≤ 42? 或 t=4+2? . 2 2222 2? 圖 2 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要從點(diǎn)到點(diǎn)的距離中發(fā)現(xiàn)點(diǎn)到直線的距離和平行線間的距離 . 2.(2022北京 ,29,8分 )對(duì)于平面直角坐標(biāo)系 xOy中的點(diǎn) P和圖形 M,給出如下定義 :若在圖形 M上存 在一點(diǎn) Q,使得 P,Q兩點(diǎn)間的距離小于或等于 1,則稱 P為圖形 M的關(guān)聯(lián)點(diǎn) . (1)當(dāng)☉ O的半徑為 2時(shí) , ① 在點(diǎn) P1? ,P2? ,P3? 中 ,☉ O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是 。 ② 點(diǎn) P在直線 y=x上 ,若 P為☉ O的關(guān)聯(lián)點(diǎn) ,求點(diǎn) P的橫坐標(biāo)的取值范圍 。 (2)☉ C的圓心在 x軸上 ,半徑為 2,直線 y=x+1與 x軸、 y軸分別交于點(diǎn) A, ? AB上的所有點(diǎn) 都是☉ C的關(guān)聯(lián)點(diǎn) ,直接寫出圓心 C的橫坐標(biāo)的取值范圍 . 1 ,02??????13,22??????5 ,02????????線 段解析 (1)① P2,P3. ② 設(shè)直線 y=x與以原點(diǎn)為圓心 ,半徑為 1和 3的兩個(gè)圓的交點(diǎn)從左到右依次為 D,E,F,G,過點(diǎn) D作 DM⊥ x軸于點(diǎn) M,如圖 1. ? 圖 1 由 ? 可求得點(diǎn) D的橫坐標(biāo)為 ? . 同理 ,可求得點(diǎn) E,F,G的橫坐標(biāo)分別為 ? ,? ,? . 當(dāng)點(diǎn) P與原點(diǎn)重合時(shí) ,對(duì)于☉ O上任意一點(diǎn) Q,均有 PQ=21,不符合題意 。 22, 3yxxy???? ??? 32222 22 322當(dāng)點(diǎn) P與原點(diǎn)不重合時(shí) ,設(shè)射線 OP與☉ O的交點(diǎn)為 Q. (i)當(dāng) 0OP1時(shí) ,如圖 2. ∵ 對(duì)于☉ O上任意一點(diǎn) Q39。,總有 PQ39。≥ OQ39。OP=OQOP=PQ1, ∴ 此時(shí) P不是☉ O的關(guān)聯(lián)點(diǎn) . ? 圖 2 (ii)當(dāng) 1≤ OP≤ 3時(shí) ,如圖 3. ∵ PQ=|OPOQ|≤ 1,∴ 此時(shí) P是☉ O的關(guān)聯(lián)點(diǎn) . ? 圖 3 (iii)當(dāng) OP3時(shí) ,如圖 4. ? 圖 4 ∵ 對(duì)于☉ O上任意一點(diǎn) Q″,總有 PQ″≥ OPOQ″=OPOQ=PQ1,∴ 此時(shí) P不是☉ O的關(guān)聯(lián)點(diǎn) . 綜上所述 ,當(dāng) P為☉ O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)時(shí) ,1≤ OP≤ 3. ∴ 點(diǎn) P的橫坐標(biāo) xP的取值范圍是 ? ≤ xP≤ ? 或 ? ≤ xP≤ ? . (2)圓心 C的橫坐標(biāo) xC的取值范圍是 2≤ xC≤ 1? 或 2≤ xC≤ 2? .提示 :由 (1)可知 ,線段 AB上的點(diǎn) 均滿足 :與圓心 C的距離大于等于 1,且小于等于 3. 以下為臨界情況 : 如圖 a,C1E⊥ AB,且 C1E=1,此時(shí)點(diǎn) C1的橫坐標(biāo)為 1? 。 ? 322 22 22 3222 22圖 a 如圖 b,C2A=3,此時(shí)點(diǎn) C2的橫坐標(biāo)為 2。 ? 圖 b 如圖 c,AC3=1,此時(shí)點(diǎn) C3的橫坐標(biāo)為 2。 ? 圖 c 如圖 d,C4B=3,此時(shí)點(diǎn) C4的橫坐標(biāo)為 2? . ? 圖 d 易知點(diǎn) C在線段 C1C2和 C3C4上滿足題意 , ∴ 圓心 C的橫坐標(biāo) xC的取值范圍是 2≤ xC≤ 1? 或 2≤ xC≤ 2? . 22 23.(2022北京 ,29,8分 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,☉ C的半徑為 r,P是與圓心 C不重合的點(diǎn) ,點(diǎn) P關(guān)于 ☉ C的反稱點(diǎn)的定義如下 :若在 射線 CP上存在一點(diǎn) P39。,滿足 CP+CP39。=2r,則稱 P39。為點(diǎn) P關(guān)于☉ C的 反稱點(diǎn) .下圖為點(diǎn) P及其關(guān)于☉ C的反稱點(diǎn) P39。的示意圖 . 特別地 ,當(dāng)點(diǎn) P39。與圓心 C重合時(shí) ,規(guī)定 CP39。=0. ? (1)當(dāng)☉ O的半徑為 1時(shí) , ① 分別判斷點(diǎn) M(2,1),N? ,T(1,? )關(guān)于☉ O的反稱點(diǎn)是否存在 ,若存在 ,求其坐標(biāo) 。 ② 點(diǎn) P在直線 y=x+2上 ,若點(diǎn) P關(guān)于☉ O的反稱點(diǎn) P39。存在 ,且點(diǎn) P39。不在 x軸上 ,求點(diǎn) P的橫坐標(biāo)的取 值范圍 。 (2)☉ C的圓心在 x軸上 ,半徑為 1,直線 y=? x+2? 與 x軸、 y軸分別交于點(diǎn) A, 線段 AB上存在 3 ,02??????333 3點(diǎn) P,使得點(diǎn) P關(guān)于☉ C的反稱點(diǎn) P39。在☉ C的內(nèi)部 ,求圓心 C的橫坐標(biāo)的取值范圍 . 解析 (1)① 點(diǎn) M關(guān)于☉ O的反稱點(diǎn)不存在 。 點(diǎn) N關(guān)于☉ O的反稱點(diǎn)存在 ,坐標(biāo)為 ? 。 點(diǎn) T關(guān)于☉ O的反稱點(diǎn)存在 ,坐標(biāo)為 (0,0). ② 如圖 1,直線 y=x+2與 x軸、 y軸分別交于點(diǎn) E(2,0),點(diǎn) F(0,2). 設(shè)點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 x. i)當(dāng)點(diǎn) P在線段 EF上 , 即 0≤ x≤ 2時(shí) ,1≤ OP≤ 2. ∴ 在射線 OP上一定存在一點(diǎn) P39。,使得 OP+OP39。=2. ∴ 點(diǎn) P關(guān)于☉ O的反稱點(diǎn)存在 . 其中點(diǎn) P與點(diǎn) E或點(diǎn) F重合時(shí) ,OP=2,點(diǎn) P關(guān)于☉ O的反稱點(diǎn)為 O,不符合題意 . ∴ 0x2. ii)當(dāng)點(diǎn) P不在線段 EF上 , 即 x0或 x2時(shí) ,OP2. ∴ 對(duì)于射線 OP上任意一點(diǎn) P39。,總有 OP+OP39。2. 1 ,02??????∴ 點(diǎn) P關(guān)于☉ O的反稱點(diǎn)不存在 . 綜上所述 ,點(diǎn) P的橫坐標(biāo) x的取值范圍是 0x2. ? 圖 1 (2)若線段 AB上存在點(diǎn) P,使得點(diǎn) P關(guān)于☉ C的反稱點(diǎn) P39。在☉ C的內(nèi)部 ,則 1CP≤ 2. 依題意可知 ,點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (6,0),點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (0,2? ),∠ BAO=30176。.設(shè)圓心 C的坐標(biāo)為 (x,0). ① 當(dāng) x6時(shí) ,過點(diǎn) C作 CH⊥ AB于點(diǎn) H,如圖 2. ∴ 0CH≤ CP≤ 2. ∴ 0CA≤ 4.∴ 06x≤ 4. ∴ 2≤ x6. 3并且 ,當(dāng) 2≤ x6時(shí) ,CB2,CH≤ 2. ∴ 在線段 AB上一定存在點(diǎn) P, 使得 CP=2. ∴ 此時(shí)點(diǎn) P關(guān)于☉ C的反稱點(diǎn)為 C, 且點(diǎn) C在☉ C的內(nèi)部 . ∴ 2≤ x6. ② 當(dāng) x≥ 6時(shí) ,如圖 3. ∴ 0≤ CA≤ CP≤ 2. ∴ 0≤ x6≤ 2. ∴ 6≤ x≤ 8. 并且 ,當(dāng) 6≤ x≤ 8時(shí) ,CB2,CA≤ 2. ∴ 在線段 AB上一定存在一點(diǎn) P,使得 CP=2. ∴ 此時(shí)點(diǎn) P關(guān)于☉ C的反稱點(diǎn)為 C,且點(diǎn) C在☉ C的內(nèi)部 . ∴ 6≤ x≤ 8. 綜上所述 ,圓心 C的橫坐標(biāo) x的取值范圍是 2≤ x≤ 8. ? 思路點(diǎn)撥 根據(jù)反稱點(diǎn)的定義可知 ,當(dāng)一點(diǎn)到圓心的距離大于半徑的 2倍時(shí) ,此點(diǎn)無反稱點(diǎn) ,所 以要確定一點(diǎn)有沒有反稱點(diǎn) ,先要求出它到圓心的距離 . 解題關(guān)鍵 (1)要準(zhǔn)確理解“反稱點(diǎn)”的含義 。(2)通過具體實(shí)例加深對(duì)“反稱點(diǎn)”的理解 。(3) 運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化 ,分類討論的思想解決較復(fù)雜的問題 . 4.(2022北京 ,25,8分 )對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義 :若存在實(shí)數(shù) M0,對(duì)于任意的函數(shù)值 y,都滿足 M≤ y≤ M,則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù) .在所有滿足條件的 M中 ,其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊界 值 .例如 ,下圖中的函數(shù)是有界函數(shù) ,其邊界值是 1. (1)分別判斷函數(shù) y=? (x0)和 y=x+1(4x≤ 2)是不是有界函數(shù) ?若是有界函數(shù) ,求其邊界值 。 (2)若函數(shù) y=x+1(a≤ x≤ b,ba)的邊界值是 2,且這個(gè)函數(shù)的最大值也是 2,求 b的取值范圍 。 (3)將函數(shù) y=x2(1≤ x≤ m,m≥ 0)的圖象向下平移 m個(gè)單位 ,得到的函數(shù)的邊界值是 t,當(dāng) m在什么 范圍時(shí) ,滿足 ? ≤ t≤ 1? ? 1x34解析 (1)y=? (x0)不是有界函數(shù) 。 y=x+1(4x≤ 2)是有界函數(shù) ,邊界值是 3. (2)對(duì)于函數(shù) y=x+1(a≤ x≤ b,ba), ∵ y隨 x的增大而減小 , ∴ y的最大值是 a+1,y的最小值是 b+1. ∵ 函數(shù)的最大值是 2, ∴ a=1. 又 ∵ 函數(shù)的邊界值是 2, ∴ b+1≥ 2, ∴ b≤ 3. ∴ 1b≤ 3. (3)由題意知 ,函數(shù)平移后的表達(dá)式為 y=x2m(1≤ x≤ m,m≥ 0). 當(dāng) x=1時(shí) ,y=1m。 當(dāng) x=0時(shí) ,y=m。 1x當(dāng) x=m時(shí) ,y=m2m. 根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性 , 當(dāng) 0≤ m≤ 1時(shí) ,1m≥ m2m。 當(dāng) m1時(shí) ,1mm2m. ① 當(dāng) 0≤ m≤ ? 時(shí) ,1m≥ m, 由題意知 ,邊界值 t=1m. 當(dāng) ? ≤ t≤ 1時(shí) ,0≤ m≤ ? . ∴ 0≤ m≤ ? . ② 當(dāng) ? m≤ 1時(shí) ,1mm. 由題意知 ,邊界值 t=m. 當(dāng) ? ≤ t≤ 1時(shí) ,? ≤ m≤ 1. ∴ ? ≤ m≤ 1. ③ 當(dāng) m1時(shí) ,由題意知 ,邊界值 t≥ m. 1234 14141234 3434∴ 不存在滿足 ? ≤ t≤ 1的 m值 . 綜上所述 ,當(dāng) 0≤ m≤ ? 或 ? ≤ m≤ 1時(shí) ,滿足 ? ≤ t≤ 1. 3414 34 345.(2022北京 ,25,8分 )對(duì)于平面直角坐標(biāo)系 xOy中的點(diǎn) P和☉ C,給出如下定義 :若☉ C上存在兩個(gè) 點(diǎn) A,B,使得 ∠ APB=60176。,則稱 P為☉ C的關(guān)聯(lián)點(diǎn) . 已知點(diǎn) D? ,E(0,2),F(2? ,0). (1)當(dāng)☉ O的半徑為 1時(shí) , ① 在點(diǎn) D,E,F中 ,☉ O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是 。 ② 過點(diǎn) F作直線 l交 y軸正半軸于點(diǎn) G,使 ∠ GFO=30176。,若直線 l上的點(diǎn) P(m,n)是☉ O的關(guān)聯(lián)點(diǎn) ,求 m 的取值范圍 。 (2)若線段 EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn) ,求這個(gè)圓的半徑 r的取值范圍 . ? 11,22?????? 3解析 (1)① D,E. ② 當(dāng) OP=2時(shí) , 過點(diǎn) P向☉ O作兩條切線 PA ,PB(A,B為切點(diǎn) ),則 ∠ APB=60176。. ∴ 點(diǎn) P為☉ O的關(guān)聯(lián)點(diǎn) . 事實(shí)上 ,當(dāng) 0≤ OP≤ 2時(shí) ,點(diǎn) P是☉ O的關(guān)聯(lián)點(diǎn) 。當(dāng) OP2時(shí) ,點(diǎn) P不是☉ O的關(guān)聯(lián)點(diǎn) . ∵ F(2? ,0),且 ∠ GFO=30176。, ∴∠ OGF=60176。,OF=2? ,OG=2. 如圖 ,以 O為圓心 ,OG為半徑作圓 ,設(shè)該圓與 l的另一個(gè)交點(diǎn)為 M. ? 當(dāng)點(diǎn) P在線段 GM上時(shí) ,OP≤ 2,點(diǎn) P是☉ O的關(guān)聯(lián)點(diǎn) 。 33當(dāng)點(diǎn) P在線段 GM的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí) ,OP2,點(diǎn) P不是☉ O的關(guān)聯(lián)點(diǎn) . 連接 OM,可知△ GOM為等邊三角形 . 過點(diǎn) M作 MN⊥ x軸于點(diǎn) N,可得 ∠ MON=30176。,ON=? . ∴ 0≤ m≤ ? . (2)設(shè)該圓圓心為 C. 根據(jù)②可得 ,若點(diǎn) P是☉ C的關(guān)聯(lián)點(diǎn) ,則 0≤ PC≤ 2r. 由題意知 ,點(diǎn) E,F都是☉ C的關(guān)聯(lián)點(diǎn) , ∴ EC≤ 2r,FC≤