【正文】 (2)當(dāng) t=9時 ,得到 ∠ APN=180176。15176。915176。π),BD有最大值 3. 三、與圓相關(guān)的平移與滾動問題 1.(2022石家莊模擬 ,25)如圖 ,△ ABC中 ,∠ ACB=90176。. 在 Rt△ ABC中 ,AB=? =2, ∴ 在 Rt△ BDA中 ,BD=? =? . (4)1。 BD的最大值為 ,此時 tan∠ CPB= . ? 圖 1 圖 2 備用圖 2解析 (1)證明 :∵∠ ACB=90176。根據(jù)垂線段最短可知 :當(dāng) AP⊥ OP時 ,PA的值最小 ,根據(jù)三角函數(shù)可求 AP的最小值 .(2)過點 P作 PN⊥ OM,可得矩形 PCBN, 等邊三角形 POM,☉ P與線段 OA圍成的封閉圖形是大弓形 OM或小弓形 OM,利用扇形面積公 式、三角形面積公式可得結(jié)論 .(3)分三種情況 :①當(dāng)☉ P與矩形 ABCD的邊 BC所在的直線相切 時 ,是第 (2)問中的情況 ,此時 t=? 。=90176。30176。 (2)當(dāng)☉ P過點 C時 ,求☉ P與線段 OA圍成的封閉圖形的面積 。,過點 P39。(2)當(dāng) P在 AD上時 ,AP最小也就是 PP39。, 過點 P39。,AP39。=45176。=? =2? . (3)45176。=DP=3. 思考 : (1) PD⊥ AD時 ,如圖所示 : 39。,∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,∴ BC=AB=AD=5,∠ BAD=90176。的長是 . 思考 :(1)△ APD的最大面積是 。B是矩形 ,利用勾股定理求得 O39。=? 2? =? , 即 O到折痕 PQ的距離為 ? . ? 224 (2 2)? 612 126 66思路分析 (1)連接 OQ,利用直角三角形直角邊是斜邊的一半 ,則這條直角邊所對的銳角為 30176。C⊥ AO, ∴ O39。P,設(shè) OO39。恰好與半徑 OA相切于 C點 (如圖 2).若 OP=3,則 O到 折痕 PQ的距離為 . ? 解析 (1)? ,連接 OQ,∵ P是 OB中點 ,OB=4,∴ OP=2, ∵ PQ∥ OA,∴∠ BPQ=∠ AOB=90176。=70176。 176。,? =?= ? , ∴ l? =l? =l? =? =π, ∴ 線段 MN的長為 l? +l? +l? =3π. (2)如圖 , ? 由題意知 ,AG⊥ AF,又 AB⊥ DE, 等邊△ DEF的邊長為 2π,等邊△ ABC的邊長為 3, ∴ S矩形 AGHF=2π3=6π, 易知 ∠ BAG=120176。,OK=3,∴ KU=OU=? ? ,EU=3? ? , 作 KL⊥ MN于 L,可得 KL=EU, ∵∠ KCL=45176。 (2)當(dāng)點 E與點 H重合時 ,求半圓在 BC上截得的線段長 。, ∴ 當(dāng)點 P運動到 OC中點時 , ☉ P與 AC邊所在直線相切 , 92 334 92 2 7 316圖 4 此時 t=? . 當(dāng)☉ P與 BC的邊所在直線相切時 ,切點為點 B(如圖 5). ∵∠ PBC=90176。, ∴ OE經(jīng)過點 C,∠ ACO=90176。M2(4AG)2, 在 Rt△ AMG中 ,GM2=AM2AG2,∴ C39。,∴ MH=MN,∴ AD與☉ M相切 . (3)在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。60176。與☉ M相切于 G, 連接 MG,MN,∴∠ AGM=90176?！?α≤ 180176?；?240176。第二次落在直線 CD上時 (如圖 4), 半圓弧開始與直線 CD有兩個交點 . 此時半圓弧與直線 CD的交點與點 D重合并且出現(xiàn)第二個交點 ,即 d=4. 當(dāng)半圓弧與直線 CD相切時 (如圖 2),半圓弧與直線 CD只有一個交點 , 2243? 7 7此時 ,AQ=DN=? ,CN=4+? . ∴ d的取值范圍是 4? ≤ d4或 d=4+? . 3 37 3思路分析 (1)利用圓周角定理和相似三角形的性質(zhì)引出含有 AM的等式得解 。ACAB 4AM 54 165? 圖 2 ∵ 半圓弧與直線 CD相切于點 N, ∴ ON⊥ CN,∴ NQ=AD=3,ON=2,OQ=1. ∴ 在 Rt△ OAQ中 ,sin∠ OAQ=? =? , ∴∠ OAQ=30176。為直徑 ,∴∠ AMB39。 ③請直接寫出線段 CD的長度的范圍 . ? AB︵AOB︵ AOB︵解析 (1)如圖 ,連接 OH,交 AB于 M,連接 BO, ∵ ☉ O的半徑為 6,沿 AB折疊 ,H和 O重合 , ∴ OM=HM=3,OH⊥ AB, 由勾股定理得 BM=? =3? , 由垂徑定理得 AB=2BM=6? . (2)①當(dāng)點 E與點 O重合時 ,CD∥ AB, 理由如下 :如圖 1,連接 HE, ∵ OH是半徑 ,CD切☉ H于 E,∴ OH⊥ CD, ∵ OH⊥ AB,∴ CD∥ AB. 2263? 33②如圖 2,當(dāng)點 C與點 A重合時 ,CD=AB=6? . 理由如下 :連接 HD, ∵ CD切☉ H于 A,∴ HA⊥ CD,∴∠ HAD=90176。G2,∴ 82=(102x)2+x2, 解得 x=4177。作 B39。. ∵ OC∥ AM,∴∠ AB39。與半圓的位置關(guān)系 。167。 ③當(dāng) EB39。C+∠ B39。G⊥ AE. 若 EB39。? ,∴ EB39。,∴ HD為直徑 , 即 HD=26=12, ∵ AH=6,∴ 在 Rt△ DAH中 ,AD=? =6? ,即 CD=AB=6? . ③ 6? ≤ CD≤ 12. 32212 6? 3 33思路分析 (1)連接 OH,交 AB于 M,連接 BO,根據(jù)勾股定理求出 BM,根據(jù)垂徑定理求出 AB=2BM, 得出弦 AB 的長 。=90176。,∴∠ PAO=60176。(2)利用切線的 性質(zhì)先求得 OQ的長 ,進而得出 ∠ OAQ和 ∠ PAO的大小 ,最后利用弧長公式求出 ? 的長 。. (2)AC=BD. 證明 :∵ △ AOB為等邊三角形 , ∴∠ AOB=∠ COD=60176。) (1)當(dāng) α為 時 ,AC和☉ M相切 。, ∵ AN與☉ M相切于 N,∴∠ ANM=90176。=60176。,∠ BAC=60176。M2(4AG)2=AM2AG2, 3 3 33∴ (? )2(4AG)2=(2? )2AG2,∴ AG=? , ∴ x=MG=? =? ,∴ 0≤ x? 或 x=? . 3 325822 25(2 3 )8???????1438 1438 3思路分析 (1)先利用切線的性質(zhì)得出 ∠ GAN=2∠ MAN,再利用三角函數(shù)求出 ∠ MAN,進而得 出 α的值 .(2)①把三角形 ABC繞 A旋轉(zhuǎn) 120176。, 當(dāng) ∠ PBO=90176。,PB=OP=PC (3)當(dāng)半圓與△ ABC的邊相切時 ,求 CE的長 . DE︵ DE︵解析 發(fā)現(xiàn) :如圖 1, 圖 1 ①當(dāng) F與 E重合時 ,CF的最小值為 CE的長 =6. ②當(dāng) CF經(jīng)過圓心時 ,CF的長最大 , 最大值 =OC+OF=? +3=3? +3. 探究 :(1)如圖 2,當(dāng)點 G落在 AC邊上時 ,點 E與 C重合 ,連接 OG, 2236? 5? 圖 2 ∵ G為 ? 的中點 ,則 ∠ DOG=∠ GOC=90176。,∴ CK=CE=? KL=? EU=3? 3. ②如圖 6,當(dāng)半圓與 BC相切時 ,設(shè)切點為 W,連接 OW,則 CE=CW,∠ OCE=∠ OCW=30176。,∴ S扇形 BAG=? =3π, AC︵ BC︵ AB︵AC ︵ BC ︵ AB ︵60 3180? ?AC ︵ BC ︵ AB ︵2120 3360? ?∴ 圖形在運動過程中所掃過的區(qū)域的面積為 3(S矩形 AGHF+S扇形 BAG)=3(6π+3π)=27π. (3)如圖 , ? 連接 BI并延長交 AC于 D,連接 AI, ∵ I是△ ABC的外心也是內(nèi)心 ,∴∠ DAI=30176。 176。. 根據(jù)翻折的性質(zhì) ,? 所對的圓周角為 ∠ B,? 所對的圓周角為 ∠ ADC,∴∠ ADC+∠ B=180176。, ∵ OP=? OQ,∴∠ 1=30176。與 PQ交于點 M, 則 OM=O39。C∥ OB,∴ 四邊形 OCO39。 及平行線的性質(zhì)求出 ∠ PQO=∠ AOQ=30176。B的長 ,從 而求出 OO39。 (2)點 P與 P39。, ∴∠ BAD∠ DAP39。,39。.當(dāng)點 P在射線 BD上時 ,如圖所示 : ? 點 P與點 B之間的距離最大 , 此時 ∠ ABP39。. 探究 : 分兩種情況 :①如圖所示 : ? 連接 DP、 DP39。=AP=? =4, 在 Rt△ A