【正文】 ? 253 76解析 ∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,∴ AB=BC=CD=2,∵ 點(diǎn) M是 AB的中點(diǎn) ,∴ AM=1,∴ DM= ? =? ,∵ AM∥ CD,∴ ? =? =? ,∴ DP=? . ∵∠ EDP=∠ PDC,∠ DFE=∠ DCP=45176。,∴ △ ACE∽ △ BFC, ∴ ? =? ,③正確 。,過點(diǎn) E、 F分別作 BC、 AC的垂線 ,相交于點(diǎn) M,垂足分別為 H、 :① AB =? 。 乙 :作△ ABC關(guān)于點(diǎn) (4,3)對稱的圖形△ A2B2C2,則△ A2B2C2與△ ABC是位似三角形 . 對于兩人的觀點(diǎn) ,下列說法正確的是 ? ( ) ? ,乙不對 ,乙對 答案 A 按甲的作法 ,點(diǎn) A1的坐標(biāo)為 (2,2),點(diǎn) B1的坐標(biāo)為 (4,2),點(diǎn) C1的坐標(biāo)為 (5,3), 易知直線 AA1,BB1,CC1交于點(diǎn) (2,0). ∵ ? =? =? =? , ∴ △ A1B1C1與△ ABC是位似三角形 ,甲正確 . 按乙的作法 ,△ ABC≌ △ A2B2C2, 易知直線 AA2,BB2,CC2交于點(diǎn) (4,3), 所以△ A2B2C2與△ ABC是位似三角形 ,乙正確 .故選 A. 11ABAB 11BCBC 11ACAC 124.(2022唐山灤南一模 ,15)如圖 ,等腰直角三角形 ABC中 ,∠ ACB=90176。 ∵ DE⊥ AB,∴∠ DEB=90176。 提升題組 (時(shí)間 :35分鐘 分值 :50分 ) 一、選擇題 (每小題 2分 ,共 12分 ) 1.(2022保定蓮池期末 ,14)如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=1,在 BC上取一點(diǎn) E,沿 AE將△ ABE向上折疊 , 使 B點(diǎn)落在 AD上的 F點(diǎn) ,若四邊形 EFDC與矩形 ABCD相似 ,則 AD=? ( ) A.? B.? C.? 512 ? 512? 3答案 B 由題意可知四邊形 ABEF為正方形 ,∴ AF=EF=AB=1, 若四邊形 EFDC與矩形 ABCD相似 ,則 ? =? , ∴ ? =? ,∴ DF=? (舍負(fù) ), ∴ AD=1+? =? ,故選 B. EFAD DFCD11 DF?1DF152??152?? 152?2.(2022邯鄲一模 ,15)如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。AACC 22ADDC 2239。2=AE2+A39。,∠ ADA39。落在 CE上 ,連接 AA39。② ? =? 。(11,4). (每寫出一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)給 1分 )? (6分 ) 考點(diǎn)一 相似的有關(guān)概念 三年模擬 A組 2022— 2022年模擬 B39。A B CABCSS 239。C39。B39。BG. ∵∠ A=∠ AFE,∠ B=∠ CFH, ∴∠ C=180176。AG6 =? (9? 6)6? 6 12CF1222AB BG? 3EFEG CFAG6EG 4633 312123 3=7518? . (3)AD=? . 詳解 :過點(diǎn) C作 CH⊥ AD,交 AE于點(diǎn) H,則 CH=4,DH=3, ∴ EH=n+3,∴ tan∠ E=? . 過點(diǎn) A作 AG⊥ DF,交 DF于點(diǎn) G, 設(shè) AD=5a,則 DG=3a,AG=4a, ∴ FG=FDDG=5+n3a, ? 由 CH⊥ AD,AG⊥ DF,∠ E=∠ F知△ AFG∽ △ CEH, ∴ ? =? ,∴ ? =? ,∴ ? =? , ∴ a=? ,∴ AD=? . 35( 5)6nn ??4 3n ?AGCH FGEH AGFG CHEH 453ana?? 4 3n ?56nn ?? 5( 5)6nn ??11.(2022浙江杭州 ,19,4分 )如圖 ,在△ ABC中 ,點(diǎn) D,E分別在邊 AB,AC上 ,∠ AED=∠ AG分別 交線段 DE,BC于點(diǎn) F,G,且 ? =? . (1)求證 :△ ADF∽ △ ACG。,∴∠ EDC=∠ ABC, 又 ∠ E為公共角 ,∴ △ EDC∽ △ EBA, ∴ ? =? ,∴ EDEA=EC, ∴∠ MAB=∠ NBC, ∴ △ ABM∽ △ BCN. (2)過點(diǎn) P作 PM⊥ AP交 AC于點(diǎn) M,過點(diǎn) M作 MN⊥ PC交 BC于點(diǎn) N, 則△ PMN∽ △ APB. ∴ ? =? =tan∠ PAC=? ,設(shè) PN=2t,則 AB=? t. ∵∠ BAP+∠ APB=∠ MPC+∠ APB=90176。 當(dāng) AP=PD時(shí) ,P點(diǎn)為 BD的中點(diǎn) ,∴ PE=? CD=3,故答案為 3或 ? . 2268?PECD BPBD 210 6512 65思路分析 根據(jù) ABAD及已知條件先判斷 P點(diǎn)在線段 BD上 ,再根據(jù)等腰三角形腰的情況分兩 種情況 :① AD=PD=8。 (2)以點(diǎn) O為位似中心 ,將△ ABC縮小為原來的 ? ,得到△ A2B2C2,請?jiān)?y軸右側(cè)畫出△ A2B2C2,并求 出 ∠ A2C2B2的正弦值 . ? 12解析 (1)△ A1B1C1為所求作三角形 .? (3分 ,正確作出一個(gè)點(diǎn)給 1分 ) (2)△ A2B2C2為所求作三角形 .? (6分 ,正確作出一個(gè)點(diǎn)給 1分 ) ? 根據(jù)勾股定理得 :A2C2=? =? , ∴ sin∠ A2C2B2=? =? .? (8分 ) 2213? 10110 1010C組 教師專用題組 考點(diǎn)一 相似的有關(guān)概念 1.(2022黑龍江哈爾濱 ,9,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,D、 E分別為 AB、 AC邊上的點(diǎn) ,DE∥ BC,點(diǎn) F為 BC邊上一點(diǎn) ,連接 AF交 DE于點(diǎn) ? ( ) ? A.? =? B.? =? C.? =? D.? =? ADAB AEEC AGGF AEBD BDAD CEAE AGAF ACEC答案 C 根據(jù)平行線分線段成比例定理可知 ? =? ,? =? ,? =? ,? =? ,所以選 項(xiàng) A、 B、 D錯(cuò)誤 ,選項(xiàng) C正確 .故選 C. ADAB AEACAGGF AEECBDAD CEAEAGAF AEAC2.(2022黑龍江牡丹江 ,6,3分 )若 x∶ y=1∶ 3,2y=3z,則 ? 的值是 ? ( ) ? C.? 2 xyzy??103 103答案 A ∵ x∶ y=1∶ 3, ∴ 設(shè) x=k,y=3k, ∵ 2y=3z,∴ z=2k, ∴ ? =? = A. 2 xyzy?? 23kk??3.(2022云南 ,5,3分 )如圖 ,已知 AB∥ CD,若 ? =? ,則 ? = . ? ABCD 14OAOC答案 ? 14解析 ∵ AB∥ CD,∴∠ A=∠ C,∠ B=∠ D, ∴ △ AOB∽ △ COD.∴ ? =? =? . OAOCABCD144.(2022吉林長春 ,11,3分 )如圖 ,直線 a∥ b∥ c,直線 l l2與這三條平行線分別交于點(diǎn) A、 B、 C和 點(diǎn) D、 E、 AB∶ BC=1∶ 2,DE=3,則 EF的長為 . ? 答案 6 解析 ∵ a∥ b∥ c,∴ ? =? ,∵ ? =? ,DE=3,∴ EF=6. ABBC DEEF ABBC 125.(2022江蘇南京 ,15,2分 )如圖 ,AB、 CD相交于點(diǎn) O,OC=2,OD=3,AC∥ △ ODB的中位 線 ,且 EF=2,則 AC的長為 . ? 答案 ? 83解析 ∵ EF是△ ODB的中位線 ,∴ OE=? OD=? ,EF∥ BD,∵ AC∥ BD,EF∥ BD,∴ AC∥ EF,∴ ? =? ,∴ ? =? , ∴ AC=? . 12 32ACEF OCOE 2AC23283考點(diǎn)二 相似三角形的性質(zhì)與判定 1.(2022甘肅蘭州 ,13,4分 )如圖 ,小明為了測量一涼亭的高度 AB(頂端 A到水平地面 BD的距離 ),在 涼亭的旁邊放置一個(gè)與涼亭臺(tái)階 BC等高的平臺(tái) DE(DE=BC= ,A,C,B三點(diǎn)共線 ),把一面鏡 子水平放置在平臺(tái)上的點(diǎn) G處 ,測得 CG=15米 ,然后沿著直線 CG后退到點(diǎn) E處 ,這時(shí)恰好在鏡子 里看到?jīng)鐾さ捻敹?A,測得 GE=3米 ,小明身高 EF= ,則涼亭的高度 AB約為 ? ( ) ? 答案 A 由光線反射可知 ∠ AGC=∠ FGE,又 ∵∠ FEG=∠ ACG=90176。 39。B39。AD,? (5分 ) ACAP ABAC設(shè) BP=x,則 22=(3x)(3+x). 解得 x=? (舍去負(fù)根 ),即 BP=? .? (7分 ) 解法二 :取 AP的中點(diǎn) E,連接 EM. ? ∵ M為 CP中點(diǎn) ,∴ ME∥ AC,EM=? AC=1.? (4分 ) ∴∠ PME=∠ ACP, ∵∠ PBM=∠ ACP,∴∠ PME=∠ PBM. 由 (1)得 EM2=EP∠ GAC, 又因?yàn)?∠ EAF=∠ GAC,所以 ∠ AEF=∠ C, 又因?yàn)?∠ DAE=∠ BAC,所以△ ADE∽ △ ABC. (2)因?yàn)椤?ADE∽ △ ABC,所以 ∠ ADE=∠ B, 又因?yàn)?∠ AFD=∠ AGB=90176。,∴∠ ACB+∠ DCE=90176。,∴∠ FAB+∠ DAE=90176。,∴∠ 1=∠ 2=30176。,所以 ∠ B39。C39。,則 ∠ B39。=∠ B,故選 D. 3.(2022河北 ,15,2分 )如圖 ,△ ABC中 ,∠ A=78176。. 在 Rt△ BCD中 ,BD=BC,∠ FAB+∠ ABF=90176。,∵∠ ACB+∠ BAC=9 0176。,所以△ AFD∽ △ AGB, 所以 ? =? ,又因?yàn)?AD=3,AB=5,所以 ? =? . AFAG ADAB AFAG 3511.(2022湖北武漢 ,23,10分 )在△ ABC中 ,P為邊 AB上一點(diǎn) . (1)如圖 1,若 ∠ ACP=∠ B,求證 :AC2=APEB,? (5分 ) 設(shè) BP=x,則 12=? C39。 39。,∴ △ FEG∽ △ ACG, ∴ FE∶ AC=EG∶ CG,∴ ∶ AC=3∶ 15,∴ AC=8米 .∵ BC= ,∴ AB=AC+BC= . 解題關(guān)鍵 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì) ,解答本題的關(guān)鍵是判定△ FEG與△ ACG相似 . 2.(2022重慶 ,8,4分 )△ ABC與△ DEF的相似比為 1∶ 4,則△ ABC與△ DEF的周長比為 ? ( ) ∶ 2 ∶ 3 ∶ 4 ∶ 16 答案 C 因?yàn)椤?ABC與△ DEF的相似比為 1∶ 4,所以由相似三角形周長的比等于相似比 ,得 △ ABC與△ DEF的周長比為 1∶ 4,故選 C. 3.(2022黑龍江哈爾濱 ,9,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,D、 E分別為 AB、 AC邊上的點(diǎn) ,DE∥ BC,BE與 CD相交于點(diǎn) F,則下列結(jié)論一定正確的是 ? ( ) ? A.? =? B.? =? C.? =? D.? =? ADAB AEAC DFFC AEECADDB DEBC DFBF EFFC答案 A ∵ DE∥ BC, ∴ △ ADE∽ △ ABC, ∴ ? =? =? ,故選項(xiàng) A正確 ,故選 A. ADAB AEAC DEBC4.(2022四川綿陽 ,12,3分 )如圖 ,D是等邊△ ABC邊 AB上的一點(diǎn) ,且 AD∶ DB=1∶ 2,現(xiàn)將△ ABC折 疊 ,使點(diǎn) C與 D重合 ,折痕為 EF,點(diǎn) E、 F分別在 AC和 BC上 ,則 CE∶ CF=? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 34 45 56 67答案 B 設(shè)等邊△ ABC的邊長為 3,則 AD=1,BD=2,由折疊的性質(zhì)可知 ∠ C=∠ EDF=60176。② AP=PD,再由相似三角形中對應(yīng)邊的比相等求解即可 . 難點(diǎn)突破 判斷 P點(diǎn)在線段 BD上是解答本題的突破口 . 6.(2022浙江杭州 ,15,4分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ BAC=90176。,∠ BAP=∠ C, ∴∠ MPC=∠ C,∴ CN=PN=2t. 易得△ ABP∽ △ CBA, ∴ AB2=BPEB。EA=EC (2)若 ? =? ,求 ? 的值 . ? ADAC DFCGADAC 12AFFG解析 (1)證明 :因?yàn)?∠ AED=∠ B,∠ DAE=∠ CAB, 所以 ∠ ADF=∠ C,又因?yàn)?? =? , 所以△ ADF∽ △ ACG. (2)因?yàn)椤?ADF∽ △ ACG,所以 ? =? , 又因?yàn)?? =? ,所以 ? =? ,所以 ? =1. ADAC DFCGADAC AFAGADAC 12AFAG 12AFFG12.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,在四邊形 ABCD中 ,點(diǎn) E、 F分別是 AB、 CD的中點(diǎn) .過點(diǎn) E作 AB的 垂線 ,過點(diǎn)